Die Reaktionsgeschwindigkeit ist definiert als Ableitung der Konzentration nach der Zeit. Mathematisch formuliert sieht das so aus:
![{v = \frac{d[A]}{dt}}](http://www.chemieonline.de/images/forum_latex/7f2da0a2f0162dbc580d2c856f18167d.gif "{v = \frac{d[A]}{dt}}")
Du hast also im Prinzip eine Funktion, die die Konzentration [A] bechreibt. Wird diese nach der Zeit abgeleitet dann hast du die Reaktionsgeschwindigkeit. Im Prinzip ist das nur eine andere Schreibweise für das sonst häufig übliche f'(x) für die Ableitung. Aber das hilft einem jetzt erstmal nicht sonderlich weiter.
Ich zeige dir einmal ein typisches Prozedere, wenn man mit Differentialgleichungen in der Reaktionskinetik arbeitet.
Erstmal: Was will man überhaupt erreichen jetzt mit einer kinetischen Beschreibung einer Reaktion? Man will z.B. aus einer gegebenen Startkonzentration vorhersagen, wie viel einer Substanz nach einer bestimmmten Zeit vorhanden ist.
Dazu muss man zunächst die Reaktionsgleichung kennen. Z.B. für die einfache Reaktion
Dann muss man für diese Reaktion eine Differentialgleichung aufstellen.
Wie ändert sich jetzt die Konzentration von A mit der Zeit oder mathematisch:
![{\frac{d[A]}{dt}=?}](http://www.chemieonline.de/images/forum_latex/35a5ce7f139b39a4f862c2b958c18c6f.gif "{\frac{d[A]}{dt}=?}")
1. [A] nimmt ab, also negatives Vorzeichen
2. A wird mit einer bestimmten (unbekannten) Geschwindigkeit verbraucht, die wir mal k (Geschwindigkeitskonstante) nennen. (mathematisch als Multiplikation mit [A], wenn die Reaktionsgeschwindigkeit abhängt von der Konzentration von A).
![{\frac{d[A]}{dt}=-k[A]}](http://www.chemieonline.de/images/forum_latex/bcf273d1dc58a01840805f33c4eb4450.gif "{\frac{d[A]}{dt}=-k[A]}")
(differentielles Geschwindigkeitsgesetz)
Das ist nun eine Differentialgleichung, die man lösen kann, denn damit kann man noch nichts wirklich berechnen. Und zwar nach "Trennung der Variablen". Hier kommt der Vorteil der differentiellen Schreibweise zum Tragen. Ich kann jetzt leider kein Mathebuch hier reintippen.
Einfach gesagt müssen alle Terme mit [A] nach links und alle Terme mit t nach rechts, also die Variablen getrennt werden (daher der Name). Einfache mathematische Umformung:
![{\frac{1}{[A]}\cdot d[A]=-k\cdot dt}](http://www.chemieonline.de/images/forum_latex/23bf275bf2e570ca88d785d97e0f54a8.gif "{\frac{1}{[A]}\cdot d[A]=-k\cdot dt}")
Jetzt müssen wir integrieren auf beiden Seiten. Bei einer bestimmten Integration brauchen wir außerdem noch Randwerte. Links integrieren wir von einer Ausgangskonzentration
![{[A]_0}](http://www.chemieonline.de/images/forum_latex/621c4c21f7c0eda39e53838d987aaa77.gif "{[A]_0}")
bis zu einer Konzentration zum Zeitpunkt t
![{[A]_t}](http://www.chemieonline.de/images/forum_latex/ee8a17adfbcf92c94afe3b592601a2df.gif "{[A]_t}")
. Rechts integrieren wir von 0 bis t.
![{\int_{[A]_0}^{[A]_t}(\frac{1}{[A]})d[A]=-k\cdot \int_0^t(1)dt}](http://www.chemieonline.de/images/forum_latex/34bd8708d576a03479dd55d9f43cea2e.gif "{\int_{[A]_0}^{[A]_t}(\frac{1}{[A]})d[A]=-k\cdot \int_0^t(1)dt}")
Zur Erinnerung: Integral von 1/[A]=ln[A] und Integral von 1 = x (oder hier t).
![{[ln[A]]_{[A]_0}^{[A]_t}=-k\cdot[t]_0^t}](http://www.chemieonline.de/images/forum_latex/60c30585a2c430bd5373b1a046a4608b.gif "{[ln[A]]_{[A]_0}^{[A]_t}=-k\cdot[t]_0^t}")
--->
![{ln[A]_t-ln[A]_0=-k\cdot t+k\cdot 0}](http://www.chemieonline.de/images/forum_latex/cc2368ac6df0c5965b7aa50ec176bca8.gif "{ln[A]_t-ln[A]_0=-k\cdot t+k\cdot 0}")
--->
![{ln\frac{[A]_t}{[A]_0}=-k\cdot t}](http://www.chemieonline.de/images/forum_latex/52e734eec5682534f00b022ed9955a24.gif "{ln\frac{[A]_t}{[A]_0}=-k\cdot t}")
--->
![{\frac{[A]_t}{[A]_0}=e^{-k\cdot t}}](http://www.chemieonline.de/images/forum_latex/d99bc93b1c7dbc2c58f626d046a0e466.gif "{\frac{[A]_t}{[A]_0}=e^{-k\cdot t}}")
--->
![{[A]_t=[A]_0\cdot e^{-k\cdot t}}](http://www.chemieonline.de/images/forum_latex/5bd4c1e72f6106768016eea1b8353b6d.gif "{[A]_t=[A]_0\cdot e^{-k\cdot t}}")
So, damit haben wir jetzt eine Gleichung mit der wir arbeiten können (typisches Geschwindigkeitsgesetz 1. Ordnung). Wenn wir jetzt die jeweils anderen gegeben haben können wir eine der Größen der Gleichung berechnen oder z.B. überprüfen ob irgendwelche gemessenen Daten dieser Gleichung folgen.
Oder man könnte noch so Spielchen mit P machen. Wenn für jedes A, das verbraucht wird ein P gebildet wird, dann ist
![{[P]=[A]_0-[A]}](http://www.chemieonline.de/images/forum_latex/5f0576670530d849f9b3a8666044641e.gif "{[P]=[A]_0-[A]}")
Das ist jetzt so ziemlich die einfachste Variation. Das ganze kann je nach Reaktion
beliebig komplizierter werden. Z.B. für eine Reaktion
. Das Vorgehen ist aber immer das gleiche. 1. Aufstellen des differentiellen Geschwindigkeitsgesetzes. 2. Lösen der Differentialgleichung mit Randwerten.
Ich hoffe du hast vielleicht ein bisschen was davon verstanden. Sonst gerne noch mal fragen, oder ein Buch/Video auf Youtube suchen.
. Um das zu lösen wird nach x integriert.![{\int \frac{1}{[A]}\cdot d[A]}](http://www.chemieonline.de/images/forum_latex/1e1568ffd43525ae13dc5f5a69b1d4bc.gif "{\int \frac{1}{[A]}\cdot d[A]}")
. Um das zu lösen muss eben nach [A] integriert werden, bzw. nach t auf der anderen Seite. Mit diesen Differentialausdrücken (mit dem d davor) kann man einfach direkt nicht so viel anfangen. Es ist aber wichtig sich damit vertraut zu machen, wenn man mit Differentialgleichungen und Integration arbeitet.
Linear-Darstellung
