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Alt 12.01.2018, 19:38   #1   Druckbare Version zeigen
hubie Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 76
Berechnung des Erwartungswertes einer Zufallsvariable höherer Potenz

Hallo allerseits.

Ich bin kein Mathematiker, von daher habe ich ein Problem welches euch hoffentlich "trivial" erscheinen wird.

Ich bin gerade dabei die doch schon relativ umfangreiche Abschätzungs Theorie nachzuvollziehen. Dazu habe ich mir das Buch von Stephen Kay "Estimation Theory" (1993) zugelegt.

Ich möchte keine Buchkritik anbringen, aber einige Dinge werden vorausgesetzt. Das ist auch in Ordnung und oft kann ich folgen. Bei einigen Zwischenrechnungen hänge ich mich jedoch an für den Autor offensichtlich trivialen Problemen auf.

und zwar (s. Foto):



Ich habe eine Größe
{\xi \sim N\big(\mu;\sigma^2\big)}
die normalverteilt ist.


Warum

{E[\xi^2]=\mu^2+\sigma^2}

ist mir klar. Das folgt aufgrund der Linearität des Erwartungswertes aus dem Verschiebungssatz

{var(\xi)=E[\xi^2]-E[\xi]^2}

Nun verstehe ich nicht wie das Ergebnis für {E[\xi^4]} zustande kommt... Ich hab es versucht mit

{E[\big(\xi^2\big)^2]}

bin mir aber fast sicher, dass das ohnehin nicht geht weil ich meine, dass

{\xi^4\neq\big(\xi^2\big)^2}

Falls die Transformation zulässig wäre, komme ich jedenfalls zu dem Punkt, dass

{E[\big(\xi^2\big)^2]=E[\xi^2]^2+var\big(\xi^2\big)\\=E[\xi^2]^2+E[\big(\xi^2-E[\xi^2]\big)^2]}

Wenn ich letzteres Ausmultipliziere steht da am Ende ja wieder sowas wie

{E[\xi^4]=...+E[\xi^4]...}

weshalb das ja irgendwo Blödsinn ist.

Weiß jemand Rat wie ich auf das Ergebnis komme aus dem Foto?

Grüße,
Hubie

Geändert von hubie (12.01.2018 um 19:39 Uhr) Grund: Titelanpassung
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Alt 13.01.2018, 17:38   #2   Druckbare Version zeigen
shipwater Männlich
Mitglied
Beiträge: 2.106
AW: Berechnung des Erwartungswertes einer Zufallsvariable höherer Potenz

Hi,

ich denke dafür muss man schon bisschen rechnen. Vielleicht hilft es, wenn du "Momente der Normalverteilung" googlest.

Ist {X} standardnormalverteilt, so ist {E[X^{2k-1}]=0} und für gerade Exponenten folgt die Rekursion {E[X^{2k}]=(2k-1)E[X^{2k-2}]} aus partieller Integration. Damit findest du {E[X^4]=3E[X^2]=3}. Das allgemeine Ergebnis findest du nun mittels {E[\xi^4]=E[(\mu+\sigma X)^4]}.

Gruß Shipwater
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Alt 15.01.2018, 10:19   #3   Druckbare Version zeigen
hubie Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 76
AW: Berechnung des Erwartungswertes einer Zufallsvariable höherer Potenz

Moin,

habe etwas gerätselt wie du auf

{E[\xi^4]=E[(\mu+\sigma X)^4]}

kommst. Jetzt begreife ich, dass das eine die normal verteilte Größe {\xi} und das andere die standardnormal verteilte Größe {X} ist...

Weshalb führst du das nochmal aus, wenn die Lösung schon mit

{E[X^4]=3E[X^2]}

erreicht ist? Zumindest wenn ich dort {\xi} für {X} einsetze... aber anscheinend gibt es dort diesen Umformungs-Unterschied, das führt zwar in diesem Fall zum richtigen Ergebnis ... aber naja.

Oder meintest du in der letzten Zeile mit der Umformung, wie man die allgemeine Rekursion herleitet? Dazu finde ich leider so auf Anhieb nicht viel bei Google (-> Normalverteilung Rekursion), hast du da eine gute Seite parat die das etwas erläutern würde?

Danke schonmal!

Geändert von hubie (15.01.2018 um 10:37 Uhr)
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Alt 15.01.2018, 11:00   #4   Druckbare Version zeigen
hubie Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 76
AW: Berechnung des Erwartungswertes einer Zufallsvariable höherer Potenz

Okay, ich hatte vergessen, dass du von Momenten gesprochen hattest, da finde ich schon mehr, wenn auch nicht sofort das, was ich suche (die Erläuterung wie man das Moment 4ter Ordnung bei der Normalverteilung ermittelt ). Mal schauen.
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Alt 15.01.2018, 11:04   #5   Druckbare Version zeigen
shipwater Männlich
Mitglied
Beiträge: 2.106
AW: Berechnung des Erwartungswertes einer Zufallsvariable höherer Potenz

Zitat:
Zitat von hubie Beitrag anzeigen
Weshalb führst du das nochmal aus, wenn die Lösung schon mit

{E[X^4]=3E[X^2]}

erreicht ist? Zumindest wenn ich dort {\xi} für {X} einsetze... aber anscheinend gibt es dort diesen Umformungs-Unterschied, das führt zwar in diesem Fall zum richtigen Ergebnis ... aber naja.
Ich verstehe nicht was du meinst. {\xi} ist nicht standardnormalverteilt, also darfst du es nicht in diese Formel einsetzen.

Zitat:
Zitat von hubie Beitrag anzeigen
Oder meintest du in der letzten Zeile mit der Umformung, wie man die allgemeine Rekursion herleitet? Dazu finde ich leider so auf Anhieb nicht viel bei Google (-> Normalverteilung Rekursion), hast du da eine gute Seite parat die das etwas erläutern würde?
Nein, da geht es wirklich nur darum das Ergebnis für die Standardnormalverteilung auf die Normalverteilung zu übertragen. Vielleicht hilft dir diese Seite.

Gruß Shipwater
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Alt 15.01.2018, 11:40   #6   Druckbare Version zeigen
hubie Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 76
AW: Berechnung des Erwartungswertes einer Zufallsvariable höherer Potenz

Genau das war mein Gedanke, {\xi} und {X} einfach gleich zu behandeln hielt ich auch für komisch, nur witzig, dass dabei das Ergebnis herauskommt wie es im Buch steht , aber das ist vlt. ja nur Zufall...

Auf der anderen Seite ist niemand perfekt, auch nicht der Autor

Danke für die Seite, ich schaue sie mir an.
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Alt 15.01.2018, 12:22   #7   Druckbare Version zeigen
shipwater Männlich
Mitglied
Beiträge: 2.106
AW: Berechnung des Erwartungswertes einer Zufallsvariable höherer Potenz

Zitat:
Zitat von hubie Beitrag anzeigen
Genau das war mein Gedanke, {\xi} und {X} einfach gleich zu behandeln hielt ich auch für komisch, nur witzig, dass dabei das Ergebnis herauskommt wie es im Buch steht , aber das ist vlt. ja nur Zufall...
Kannst du das mal ausführen?

Gruß Shipwater
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Alt 15.01.2018, 15:20   #8   Druckbare Version zeigen
hubie Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 76
AW: Berechnung des Erwartungswertes einer Zufallsvariable höherer Potenz

Du hast Recht, ich hab mich verrechnet... ich habe jetzt auch "verstanden" (steht ja eigentlich schon da) wie du das in deiner ersten Antwort meintest...

{E[\xi^4]=E[(\mu+\sigma X)^4]\\E[\xi^4]=E[\mu^4+4\mu^3\sigma X+6\mu^2\sigma^2 X^2+4\mu\sigma^3 X^3+\sigma^4 X^4]\\E[\xi^4]=\mu^4+4\mu^3\sigma E[X]+6\mu^2\sigma^2 E[X^2]+4\mu\sigma^3 E[X^3]+\sigma^4 E[X^4]\\E[\xi^4]=\mu^4+4\mu^3\sigma\cdot0+6\mu^2\sigma^2\big(\mu^2+\sigma^2\big)+4\mu\sigma^3\cdot0+\sigma^4\cdot3E[X^2]\\E[\xi^4]=\mu^4+6\mu^2\sigma^2\cdot\big(0+1^2\big)+\sigma^4\cdot3\cdot1\\E[\xi^4]=\mu^4+6\mu^2\sigma^2\cdot+3\sigma^4}

dann folgt aus

{var(\xi^2)=E[\xi^4]-\big(E[\xi^2]\big)^2\\var(\xi^2)=\mu^4+6\mu^2\sigma^2+3\sigma^4-\big(\mu^2+\sigma^2\big)^2\\var(\xi^2)=\mu^4+6\mu^2\sigma^2+3\sigma^4-\big(\mu^4+2\mu^2\sigma^2+\sigma^4\big)\\var(\xi^2)=4\mu^2\sigma^2+2\sigma^4}

Danke! Wieder was gelernt. Auch wenn ich nicht alles verstanden habe (habe mir jetzt die Momente Herleitung z. B. nicht so genau angeschaut...), habe ich zumindest diese Rechnung verstanden.
Warum ich mich an sowas aber auch immer aufhalte ... vlt. melde ich mich hier nochmal, vlt. ist ja wieder jemand so hilfsbereit wie du!

Viele Grüße,
hubie
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Alt 15.01.2018, 16:37   #9   Druckbare Version zeigen
shipwater Männlich
Mitglied
Beiträge: 2.106
AW: Berechnung des Erwartungswertes einer Zufallsvariable höherer Potenz

Zitat:
Zitat von hubie Beitrag anzeigen

{E[\xi^4]=\mu^4+4\mu^3\sigma E[X]+6\mu^2\sigma^2 E[X^2]+4\mu\sigma^3 E[X^3]+\sigma^4 E[X^4]\\E[\xi^4]=\mu^4+4\mu^3\sigma\cdot0+6\mu^2\sigma^2\big(\mu^2+\sigma^2\big)+4\mu\sigma^3\cdot0+\sigma^4\cdot3E[X^2]\\}
{E[X^2]} solltest du direkt durch {1} ersetzen, sonst belegst du {\mu} und {\sigma} doppelt.

Zitat:
Zitat von hubie Beitrag anzeigen
Danke! Wieder was gelernt. Auch wenn ich nicht alles verstanden habe (habe mir jetzt die Momente Herleitung z. B. nicht so genau angeschaut...), habe ich zumindest diese Rechnung verstanden.
Die Rekursion folgt sofort mit partieller Integration, da steckt also nicht viel dahinter. Im weiter oben erwähnten Link wird es vorgerechnet.

Gruß Shipwater
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Alt 15.01.2018, 17:05   #10   Druckbare Version zeigen
hubie Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 76
AW: Berechnung des Erwartungswertes einer Zufallsvariable höherer Potenz

Zitat:
Zitat von shipwater Beitrag anzeigen
{E[X^2]} solltest du direkt durch {1} ersetzen, sonst belegst du {\mu} und {\sigma} doppelt.


Die Rekursion folgt sofort mit partieller Integration, da steckt also nicht viel dahinter. Im weiter oben erwähnten Link wird es vorgerechnet.

Gruß Shipwater
Das mit sofort 1 setzen stimmt ja, war mir aufgefallen, ich hab es nur vergessen zu kennzeichnen

{E[\xi^4]=E[(\mu+\sigma X)^4]\\E[\xi^4]=E[\mu^4+4\mu^3\sigma X+6\mu^2\sigma^2 X^2+4\mu\sigma^3 X^3+\sigma^4 X^4]\\E[\xi^4]=\mu^4+4\mu^3\sigma E[X]+6\mu^2\sigma^2 E[X^2]+4\mu\sigma^3 E[X^3]+\sigma^4 E[X^4]\\E[\xi^4]=\mu^4+4\mu^3\sigma\cdot0+6\mu^2\sigma^2\big(\mathrm{\mu_X}^2+\mathrm{\sigma_X}^2\big)+4\mu\sigma^3\cdot0+\sigma^4\cdot3E[X^2]\\E[\xi^4]=\mu^4+6\mu^2\sigma^2\cdot\big(0+1^2\big)+\sigma^4\cdot3\cdot1\\E[\xi^4]=\mu^4+6\mu^2\sigma^2\cdot+3\sigma^4}

dann folgt aus

{var(\xi^2)=E[\xi^4]-\big(E[\xi^2]\big)^2\\var(\xi^2)=\mu^4+6\mu^2\sigma^2+3\sigma^4-\big(\mu^2+\sigma^2\big)^2\\var(\xi^2)=\mu^4+6\mu^2\sigma^2+3\sigma^4-\big(\mu^4+2\mu^2\sigma^2+\sigma^4\big)\\var(\xi^2)=4\mu^2\sigma^2+2\sigma^4}
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