Negation von Quantoren - Mathematik

Physiklaische Technik · 06.01.2017, 11:34

Hallo liebe Helfer,

ich hab mal wieder eine Frage. Es geht um die Negation von Quantoren.

a) Bilden sie die Negation von: Vy ${\ni}$ x mit x|y

Das V soll das ungekehrte große "A" sein (finde ich nicht im Formeleditor, oder bin ich blind?)...gilt für alle.
Ich würde es so lesen: für alle y existiert mindestens ein x bei dem y aus x folgt....wäre das erst einmal richtig? Bin mir bei dem "|" Zeichen nicht ganz sicher.
Wenn ich das negieren sollte, würde ich schreiben:
Für alle y existiert kein x bei dem y aus x folgt.
--> Vy- ${\ni}$ x mit x|y ?

b)Bilden sie die Negation von ${\ni}$ xVy mit x|y
--> Es existiert mindestens ein X für alle Y bei denen y aus x folgt...
-> Negation: Es existiert kein X für alle y bei denen y aus x folgt
--> - ${\ni}$ xVy mit x|y ?

c) Vereinfachen sie die Aussage:
"Es ist falsch, dass 4 keine Primzahl ist oder keine gerade Zahl" und bestimmen sie den Wahrheitsgehalt.
--> Vereinfachung: 4 ist eine Primzahl und eine ungerade Zahl --> Wahrheitsgehalt Null

d) Bilden sie zu -(A->B) mindestens zwei äquivalente Aussagen durch eine geeignete Verknüpfung von A und B und bilden sie entsprechend die Negation zu 2|n ${\cap}$ 3|m -> 6|nm
-> zwei äquivalente bilden:
1) A ${\cap }$ -B
2) -(A <-> B ${\cup }$ -A)
Nun noch die Frage zur Negation:....muss ich zugeben das ich mit der Gleichung nicht wirklich viel anfangen kann.
Lösungsvorschlag: 2|n ${\cap}$ 3|m -> -6|nm

Vielen Dank für eure Hilfe im Voraus...ich hoffe wenigstens ein bisschen richtig ist.
VG
David

Florian B · 06.01.2017, 14:23

Logische symbole:

Negation: \neg
Und: \land
Oder: \lor
Für alle: \forall
Es esxitiert: \exists

a)
x|y bedeutet in der regel x teilt y.
Die negation der aussage "alle häuser haben ein rotes dach" ist nicht "kein haus hat ein rotes dach", sondern "es existiert ein haus, dessen dach nicht rot ist".
Beachte:
Sei M eine menge und A eine aussage.
${\neg (\forall x\in M: A(x)) <=> \exists x\in M: \neg A (x)}$
${\neg (\exists x\in M: A(x)) <=> \forall x\in M: \neg A (x)}$

b)
Forme die aussage mit oben genannter regel weiter um.

c)
richtig.

d)
Ich bin mir nicht sicher ob das gemeint ist, aber mein vorschlag für die negation wäre:
${\exists m,n\in \mathbb{Z}2|n\land 3|m)\land 6|mn}$

Physiklaische Technik · 06.01.2017, 14:30

Ich versuch mal meine Frage ein wenig selber zu beantworten.
Das mit der negation bei 1. und 2 geht wohl etwas anders.
1. Vy ${{\ni}}$ x mit x|y -> negiert: ${{\ni}}$ yVx mit x|y
(Das große "V" ist immer noch das umgekehrte A-> gilt für alle und die Bedeutung von dem "|" kenne ich immer noch nicht, ist aber vlt auch nicht so wichtig)
2. ${\ni}$ }xVy mit x|y -> negiert: Vx ${\ni}$ }Vy mit x|y

zu d)2|n ${{\cap}}$ 3|m -> -6|nm
negiert: -(2|n) ${\cup }$ -(3|m)-> -(6|mn)

kommt das evtl. mehr der richtigen Lösung näher? Ja, Nein, Vlt?

Physiklaische Technik · 06.01.2017, 15:14

Hallo Florian,

erstmal Danke für die Antwort.
Hatte dich überlesen.
Also ist das wirklich nur geteilt durch...ich dachte das wäre auch so ein Sonderzeichen....gut, ein Problem weniger
also mit deinen Worten, wäre dann die Lösung zu
1) ${\forall y \exists x }$ mit x|y --> ${\exists y \forall x }$ mit ${\neg x|y}$
und 2)
${\exists x \forall y}$ mit x|y -> ${\forall x \exists y}$ mit ${\neg x|y}$
...so meinst du?

zu d)...muss ich mir ersteinmal deine Lösung nochmal richtig aufschreiben

...da ist mir zuviel "Land" drin

${\exists m,n \in \mathbb{Z}; 2|n \cap 3|m \cap 6|mn}$
das mit dem "\land" scheint nicht zu funktionieren.
Wie komsmt du nun auf Z (ganze Zahlen) und das da nun zweimal "und" stehen muss?

Physiklaische Technik · 06.01.2017, 15:37

ich habe mir Aufgabe d noch mal über die Wahrheitstabelle angeschaut.
Aufgabe: ${2|n\cap3|n-> 6|mn}$
In einzelnen Schritten:
${A\cap B}$ -> Negation: ${\neg (A)\cup \neg(B)}$
{A -> B}

-> Negation: ${A ->\neg(B)}$
oder? Weiß jetzt nicht wie ich mich ausdrücken soll....wie es in der Wahrheitstabelle aussieht weiß ich.
oder muss die Negation so heißen: ${\neg(A ->B)}$

Physiklaische Technik · 06.01.2017, 16:52

Zitat:

Zitat von Physiklaische Technik

ich habe mir Aufgabe d noch mal über die Wahrheitstabelle angeschaut.
Aufgabe: ${2|n\cap3|n-> 6|mn}$
In einzelnen Schritten:
${A\cap B}$ -> Negation: ${\neg (A)\cup \neg(B)}$
{A -> B}

-> Negation: ${A ->\neg(B)}$
oder? Weiß jetzt nicht wie ich mich ausdrücken soll....wie es in der Wahrheitstabelle aussieht weiß ich.
oder muss die Negation so heißen: ${\neg(A ->B)}$

Das müsste die Lösung sein:
${\neg(2|n)\cup \neg(3|n)-> \neg(6|mn)}$
Wäre schön wennd as jemand bestätigen könnte.
Hoffe es stört nicht das ich gleich noch eine kleine Aufgabe poste zm Thema Mengenlehre

Florian B · 07.01.2017, 12:55

Anscheinend kennt der editor hier die befehle \land und \lor nicht, aber \wedge für ${\wedge}$ und \vee für ${\vee}$ funktioniert.
Kurz zur notation:
Das "mit", dass du zwischen die quantoren und die aussage schreibst ergibt nur nach einem existenzquantor sinn.
Aber die aussage "es existiert ein y, sodass für alle x mit x teilt nicht y" ergibt keinen sinn.
Schreib am besten anstatt dem "mit" einen doppelpunkt, dann ist immer klar was gemeint ist.

Zitat:

Zitat von Physiklaische Technik

Wie komsmt du nun auf Z (ganze Zahlen) und das da nun zweimal "und" stehen muss?

Das problem bei der aufgabenstellung ist, dass nicht festgelegt wurde, aus welcher menge m und n kommt. Deswegen hatte ich die ganzen zahlen gewählt, weil dort die teilbarkeit sinnvoll definiert ist.
Ich habe die aufgabe so interpretiert, dass sie für alle ganzen zahlen m und n gelten soll, demnach wäre die negation dadurch gegeben, dass zwei zahllen m und n existieren, für die sowohl m teit 2 und n teilt 3, als auch mn teilt nicht 6 gilt.
Das wäre die negation gemäß ${\neg (A=>B) <=> A\wedge \neg B}$ .
Gesucht ist aber vermutlich nur der ausdruck ${(m|2\wedge n|3)\wedge mn\not{|}6}$ (hier im fall, dass die aussage nicht für beliebige m und n gilt, sondern nur für ein spezielles paar m und n)

Florian B · 07.01.2017, 13:04

Zitat:

Zitat von Physiklaische Technik

-> Negation: ${A ->\neg(B)}$

Das ist nicht die negation!
Betrachte die aussage: "wenn es regnet ist die straße nass"
Die negation ist: "wenn es regnet kann es sein, dass die straße nicht nass ist"
Das ist nicht gleichbedeutend mit: "wenn es regnet ist die straße nicht nass"

Physiklaische Technik · 07.01.2017, 14:14

HY Florian,

du hast recht. Ich hatte wohl nicht richtig in die Tabelle geschaut.
{A->B}

-> Negation: ${A \wedge \neg (B)}$
Ich würde nn den gesamten Ausdruck so negieren:

${\neg(2|n) \vee \neg (3|m) \wedge (6|mn)}$
Keine Ahnung warum du nun die Kehrwerte gebildet hast und warum bei dir zweimal das ${\wedge}$ steht. Denn durch die Negation muss man das Zeichen doch vorn rumdrehen.

Ich habe die Aufgaben von einem Script einer Freundin, welche sie wieder rum von ihrem Prof hat. 1 zu 1 abgeschrieben. Ich soll ihr ein wenig in Mathe helfen. Nur der Teil mit der Mengenlehre gehört nun nicht gerade zu meinem Spezial Gebiet bzw. es ist schon eine ganze Weile her

Nick F. · 07.01.2017, 15:59

derp me. ignorieren bitte

Nick

Florian B · 07.01.2017, 18:26

Wieso negierst du A, aber nicht B?

Physiklaische Technik · 08.01.2017, 14:15

Gute Frage, hab das Minuszeichen vergessen.

Also die Lösung zu meiner Aufgabe müsste so sein:
${\neg (2|n) \vee \neg (3|m) \wedge \neg (6|mn)}$

Florian B · 08.01.2017, 22:28

Wieso negierst du A?

Physiklaische Technik · 09.01.2017, 09:06

Die Aufgabe lautet:
Bilden sie die Negation zu: ${2|n \wedge 3|m -> 6|nm }$
Also muss ich doch alles negieren oder etwa nicht?
Kann ich das nicht Schritt für Schritt machen?
${A \wedge B -> C }$
Aus ${ A \wedge B }$ wird doch ${ \neg A \vee \neg B }$
und aus { B -> C }

wird ${ B \wedge \neg C }$
Also ist die Negation von ${2|n \wedge 3|m -> 6|nm }$
${\neg (2|n) \vee \neg (3|m) \wedge \neg (6|nm)}$

Florian B · 09.01.2017, 15:55

Zitat:

Zitat von Physiklaische Technik

Die Aufgabe lautet:
Bilden sie die Negation zu: ${2|n \wedge 3|m -> 6|nm }$
Also muss ich doch alles negieren oder etwa nicht?

Nein.
${\neg A =>\neg B}$ ist nicht die Negation von {A=>B}

.
Betrachte die implikation: "Wenn es regnet, dann ist die straße nass."
${\neg A =>\neg B}$ würde bedeuten: "Wenn es nicht regnet, dann ist die straße nicht nass."
Daraus kann man weder eine aussage über die richtigkeit von {A=>B}

machen, noch ist das die negation.

Du hast vorher 2 äquivalente aussagen zu negation einer implikation aufgestellt.
Nur sollst du eine davon nutzen und auf das beispiel anwenden.