Bewegungsberechnung - Physik

Rosentod · 08.12.2004, 13:35

Dieser Thread stellt einfach mal die grundlegenden Gleichungen für translatorische Bewegungen zusammen. Am Ende gibt's dann noch eins, zwei Beispiele.

Symbolerläuterung
${\vec s}$ - Weg (Der Pfeil gibt an, dass der Weg nicht nur einen Betrag, sondern auch eine Richtung hat, also eine vektorielle Größe ist.)
${\vec v}$ - Geschwindigkeit
${\vec a}$ - Beschleunigung
{t}

- Zeit

- Radius einer Kreisbahn
{T}

- Umlaufzeit der Kreisbahn

Differentiale und Integrale
Ich stelle ganz kurz die entsprechenden Differentiale und Integrale an den Anfang. (Keine Angst. Die einfachen Formeln, die daraus folgen, kommen weiter unten.)

${\vec s=\int_{t_{\tiny{0}}}^{t_{\tiny{1}}}{\vec v \ dt}}$ , ${\vec v=\int_{t_{\tiny{0}}}^{t_{\tiny{1}}}{\vec a \ dt}}$
${\vec v=\frac{d\vec s}{dt}}$ , ${\vec a=\frac{d\vec v}{dt}=\frac{d^2\vec s}{dt^2}}$

Die gleichmäßig beschleunigte Bewegung
Damit die folgenden Gleichungen gelten, muss die Beschleunigung konstant sein!
${\vec s=\frac{\vec a}{2}t^2+\vec v_0t+\vec s_0}$
${\vec v=\vec at+\vec v_0}$
${\vec a=\frac{\Delta \vec v}{\Delta t}}$
Normalerweise darf man die Vektorpfeile beim Rechnen einfach ignorieren. Man kann die Formeln dann auch ohne Vektorpfeile aufschreiben.
Das ${\Delta}$ steht für die Differenz aus Endwert und Anfangswert, also: ${\Delta v=v_1-v_0}$ (Endgeschwindigkeit minus Anfangsgeschwindigkeit).
Alle Größen außer der Zeit können jeden reellen Wert haben. Es sind also auch negative Beschleunigungen, Geschwindigkeiten, Wege möglich. Genauso gut können Anfangsweg ${\vec s_0}$ und Anfangsgeschwindigkeit ${\vec v_0}$ den Wert Null haben.

Gleichförmige Bewegung
${ \vec a=0}$
${\vec v=\frac{\Delta \vec s}{\Delta t}}$
${\vec s = \vec v t +\vec s_0}$

Gleichförmige Kreisbewegung
${ v=\frac{2 \pi r}{T}}$ für eine stabile Kreisbahn
${a_r=\frac{v^2}{r}}$
Die Radialbeschleunigung ${a_r}$ ist immer zum Mittelpunkt der Kreisbahn gerichtet.

Beispiel 1
Ein Güterzug verringert durch gleichmäßiges Bremsen seine Geschwindigkeit von 54 km/h auf 36 km/h und legt dabei eine Strecke von 500 m zurück. Wie lange bremst er?

gegeben:
v₀=54 km/h
v₁=36 km/h
s=500 m=0,5 km

Lösung:
${ s=\frac{ a}{2}t^2+v_0t}$ (s₀=0)
${a=\frac{\Delta v}{\Delta t}}$
${s=\frac{\Delta v}{2}t+v_0t}$ (die zweite Gleichung in die erste eingesetzt)
${t=\frac{s}{\frac{\Delta v}{2}+v_0}=\frac{s}{\frac{v_1-v_0}{2}+v_0}}$ (nach t umgestellt)
${t=\frac{0,5 \ km}{\frac{36\ \frac{km}{h}-54\ \frac{km}{h}}{2}+54\ \frac{km}{h}}*3600\ \frac{s}{h}=40s}$ (eingesetzt und in Sekunden umgerechnet)

Beispiel 2
Ein Körper befindet sich auf einer Kreisbahn mit dem Radius 1 km. Er schafft in einer Minute 6 Umrundungen.
a) Wie groß ist seine Geschwindigkeit?
b) Wie lange würde es dauern, bis der Körper den Mittelpunkt der Kreisbahn erreicht, wenn seine Geschwindigkeit plötzlich auf 0 verringer würde? (Das ist physikalisch unmöglich, wird hier aber aus didaktischen Gründen angenommen.)

zu a)
Zunächst berechnet man die Umlaufzeit: ${T=\frac{1}{6}min=10 s}$ .
${ v=\frac{2 \pi r}{T}=\frac{2 \pi 1000m}{10s}=628,3 \frac{m}{s}}$
zu b)
${a_r=\frac{v^2}{r}=\frac{(628,3\frac{m}{s})^2}{1000m}=395\frac{m}{s^2} }$
${s=r=\frac{a_r}{2}t^2}$
${t=\sqrt{\frac{2r}{a_r}}=\sqrt{\frac{2\cdot 1000m}{395\frac{m}{s^2}}}=2,3s}$

kat1 · 18.03.2005, 12:26

Ich mache diesen Thread der Übersichtlichkeit halber mal zu. Fragen können in eigenen Threads im Physikforum mit Link auf diesen Thread erstellt werden.