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Mathematik Mathematik benötigt man immer, auch in anderen Fächern. Dieses Forum soll als Anlaufpunkt bei der Lösung von mathematischen Fragestellungen dienen.

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Alt 01.07.2004, 17:57   #1   Druckbare Version zeigen
madmax2000 Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 38
Taylorreihe von f(x)=wurzel(x), wenn x(Null)=1

Hi Leute,

hoffe einer von euch kann mir weiterhelfen.
wie sieht denn das summenzeichen der Taylorreihe aus, die man aus der Funktion f(x)=wurzel(x) entwickelt, wenn x0=1 ist ?

Bitte bitte helft mir ! *verzweifel*

Gruß Matthes
madmax2000 ist offline   Mit Zitat antworten
Alt 02.07.2004, 09:40   #2   Druckbare Version zeigen
kat1 Männlich
Moderator
Beiträge: 4.406
AW: Taylorreihe von f(x)=wurzel(x), wenn x(Null)=1

Hm ich verstehe nicht genau, wo Dein Problem liegt, die Form eines Summenzeichens verändert sich nicht

Die Taylorentwicklung dieser Funktion sieht folgendermaßen aus:

{\mathrm \sqrt{x} \approx  1 + \frac{1}{2} \cdot (x-1) - \frac{1}{8} \cdot (x-1)^2 + \frac{3}{24} \cdot (x-1)^3 - \frac{15}{384} \cdot (x-1)^4 + \frac{105}{3840} \cdot (x-1)^5 - \frac{945}{46080} \cdot (x-1)^6 } usw.
__________________
Mfg Uwe

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Alt 02.07.2004, 14:11   #3   Druckbare Version zeigen
madmax2000 Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 38
AW: Taylorreihe von f(x)=wurzel(x), wenn x(Null)=1

Hi,

ich habe das problem, dass ich beim 4. glied immer {\frac{3}{48} \cdot (x-1)^3} herausbekomme, weil meine dritte Ableitung {f'''(1)=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} } ist.
also sieht meine Tayler-Reihe folgendermaßen aus, und daraus bekomme ich das Summenzeichen nicht heraus.

{\mathrm \sqrt{x} \approx  1 + \frac{1}{2} \cdot (x-1) - \frac{1}{8} \cdot (x-1)^2 + \frac{3}{48} \cdot (x-1)^3 -+... }

Wie sieht denn deine 3. Ableitung von {x_0=1} aus ?

Gruß Matthes
madmax2000 ist offline   Mit Zitat antworten
Alt 02.07.2004, 14:51   #4   Druckbare Version zeigen
Tejas  
Mitglied
Beiträge: 570
AW: Taylorreihe von f(x)=wurzel(x), wenn x(Null)=1

Die 3/48 sind schon richtig. Denk mal ans kürzen, dann erkennt man da schon eher, wie die Summe aussieht. Und die Fakultäten nicht vergessen!

Tejas
Tejas ist offline   Mit Zitat antworten
Alt 02.07.2004, 14:54   #5   Druckbare Version zeigen
kat1 Männlich
Moderator
Beiträge: 4.406
AW: Taylorreihe von f(x)=wurzel(x), wenn x(Null)=1

Ups ja sorry, Schreibfehler von mir, sind 3/48.
__________________
Mfg Uwe

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Alt 02.07.2004, 15:29   #6   Druckbare Version zeigen
madmax2000 Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 38
AW: Taylorreihe von f(x)=wurzel(x), wenn x(Null)=1

Echt ?
Dann ist das also doch richtig, was ich mir da zusammengerechnet hab ?
Und wie sieht nun der Ausdruck hinter {\sum} aus ?
ich muss nämlich von der reihe auf den ausdruck hinter dem summenzeichen schließen.
ich komme auf
{ \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2^{n-1}} \cdot (x-1)^n }
aberwenn ichs mir so anschaue, ist es doch falsch oder ?
man kommt doch nicht auf
{\mathrm \sqrt{x} \approx  1 + \frac{1}{2} \cdot (x-1) - \frac{1}{8} \cdot (x-1)^2 + \frac{3}{48} \cdot (x-1)^3 -+... }
oder ?
ich werd noch mischugge hier, Reihen sind echt ein Grauen für mich
gruß matthes
madmax2000 ist offline   Mit Zitat antworten
Alt 03.07.2004, 16:59   #7   Druckbare Version zeigen
buba Männlich
Mitglied
Beiträge: 18.467
allg.: {\displaystyle T_{1;n}(x) = \sum_{i=0}^{n} \frac{f^{(i)}(1)}{i!}(x-1)^i}

Ich komme nur auf einen expliziten Ausdruck für n 2 :




Geändert von buba (03.07.2004 um 23:20 Uhr)
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Alt 03.07.2004, 17:11   #8   Druckbare Version zeigen
madmax2000 Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 38
AW: Taylorreihe von f(x)=wurzel(x), wenn x(Null)=1

Sorry, aber da werd ich jetzt echt gar nicht schlau draus
Is aber auch nciht so schlimm, man muss halt nur Mut zur Lücke haben
Besonders mit dem letzten Teil deines expliziten Ausdrucks komm ich nicht klar, d.h. ich könnte nie aus der Reihe von Wurzel (x) auf diesen Ausdruck schließen.
Und das musste eigentlich in der aufgabe vollbracht werden, um den konvergenzradius zu bestimmen.
Na ja, ist aber auch egal, muss halt noch fleißig üben, um dann mal ein Hirnakrobat zu werden.
Danke trotzdem
Gruß Matthes
madmax2000 ist offline   Mit Zitat antworten
Alt 03.07.2004, 18:01   #9   Druckbare Version zeigen
buba Männlich
Mitglied
Beiträge: 18.467
Ich stand vor zwei Problemen.

f(1) und f'(1) haben beide ein positives Vorzeichen, erst dann alterniert es. Denkbare Lösung: "1 + Σ (bla) bis n" für n ≥ 1 schreiben. Zweites Problem hierbei: Die erste und zweite Ableitung haben beide die Form 1/2n, erst ab der dritten Ableitung kommen Faktoren im Abstand 2 dazu: 1/21, 1/22, (1·3)/23, (1·3·5)/24,... [daher auch der letzte Ausdruck "Produkt über alle (2j+1)"]
Deswegen ist mir nichts besseres eingefallen als die ersten beiden Glieder (n=0 und 1) auszuformulieren und den restlichen Quark ab n=2 so zu formulieren, wie er oben steht. Sieht nicht besonders elegant aus, ist aber mathematisch korrekt.

Was studierst du eigentlich? Steht nicht in deinem Profil.

Geändert von buba (05.07.2004 um 19:59 Uhr) Grund: Formatierung
buba ist offline   Mit Zitat antworten
Alt 03.07.2004, 18:05   #10   Druckbare Version zeigen
madmax2000 Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 38
AW: Taylorreihe von f(x)=wurzel(x), wenn x(Null)=1

ja, ich habs mir nochmal genauer angeschaut und so langsam wirds mir klarer, aber auf so einen monster-ausdruck wäre ich alleine niemals gekommen
Ich studiere chemieingenieurwesen
gruß matthes
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