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Alt 16.12.2003, 20:15   #1   Druckbare Version zeigen
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Beiträge: n/a
zentraler teilelastischer Stoß

Hallo!

Ich habe bei der Lösung folgender Aufgabe ein widersrpüchliches
Ergebnis herausgekommen, und wüsste gerne, wo der Fehler liegt:

Ein Körper K1 der Masse m1 stößt zentral und teilelastisch
auf den ruhenden Körper K2 der Masse m2. Das Massenverhältnis
ist µ = m1/m2. Beim Stoß bleibt von der mechanischen Energie
vor dem Stoß das k-fache als mechanische Energie erhalten.
Nach dem Stoß beträgt die Geschwindigkeit v1 des Körpers
K1 das q-fache seiner Geschwindigkeit u1 vor dem Stoß; die
Geschwindigkeitsrichtung bleibt erhalten.

a) Zeigen Sie : Es gilt k=q^2 + µ(1-q)^2

Nun schön. Es ist also

Ekinnach = k*Ekinvor <=>
1/2*m1*v1^2 + 1/2*m2*v2^2 = k*1/2*m1*u1^2 <=>
k = (1/2*m1*v1^2+1/2*m2*v2^2)/(1/2*m1*u1^2) <=>
k = v1^2/u1^2 + (m2*v2^2)/(m1*v1^2) = q^2 + 1/µ*v2^2/v1^2
---------
ferner gilt: m1u1 = m1v1 + m2v2 <=>
v2 = (m1u1-m1v1)/m2) = µ*(u1-v1) = µ(u1-q*u1) = µ*u1*(1-q)
---------
also
k = q^2 + µ(1-q)^2 / q^2

und eben dieses letzte q^2 darf ja laut Aufgabenstellung nicht sein,
denn es ist ja nicht immmer gleich 1.

Wo liegt der Fehler?

Des weiteren hat die Aufgabe auch noch einen zweiten Teil:

b)Folgern sie daraus mit Hilfe der Differentialrechnung: Wenn beim
teilelastischen Stoß unter den gegebenen Bedingungen die erhaltene
Energie minimal ist, dann ist der Stoß unelastisch.
Anleitung: Folgern sie aus dk/dq = 0, dass v1=v2.

Man soll also die Funktion k(q) ableiten und deren Nullstellen
bestimmen, klingt ja logisch.
k(q) = q^2 + µ(1-q)^2 = q^2 + µq^2-2µq+µ
k'(q) = 2q + 2µq - 2µ
Das setzen wir dann gleich Null:
2q+2µq-2µ = 0 <=>
q = µ/(1+µ) <=> (nach kurzem Zusammenrechnen)
v1/u1 = m1/(m1+m2) was nichts anderes als der Impulserhaltungssatz ist!
Was soll das? Dass hieße der Impulserhaltungssatz gilt nur bei einer
minimal erhaltenen Energie und mit mit v1=v2 hat das ja nichts zu tun!
Wo liegt hier der Fehler?

Über Vorschläge und Antworten wäre ich sehr erfreut, Jens

P.S. Ich hoffe nicht allzu viele Tippfehler gemacht zu haben...
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Alt 16.12.2003, 20:37   #2   Druckbare Version zeigen
upsidedown Männlich
Moderator
Beiträge: 7.640
Bei mir gehts auf:
Energiesatz:
k µ u1² = µ q² u1² + v2
dein Impulssatz stimmt, das eingesetzt:
k µ u1² = µ q² u1² + u1² µ² (1-q)²
k = q² + µ (1-q)²

Zur 2.
Natürlich ist das der Impulssatz - unter der Randbedingung, dass v1=v2 ist. Womit gezeigt ist was zu zeigen war
upsidedown ist offline   Mit Zitat antworten
Alt 16.12.2003, 21:27   #3   Druckbare Version zeigen
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Beiträge: n/a
vielen Dank für die schneller AW.

zu a) hast recht,
hier ist mein fehler k = v1^2/u1^2 + (m2*v2^2)/(m1*v1^2)
dass quadrat ganz hinten muss natürlich u1^2 heißen
(wie blöd, dass die u's und v's meiner Handschrift so ähnlich
aussehen...).

zu b) stimmt, ist ja der fall des voll-nichtelastischen Stoßes.
eigentlich recht offensichtlich...
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