Stetige Abbildung, Int. - Seite 2 - Mathematik

Nick F. · 06.05.2012, 20:49

das ist gut.

jetzt stetigkeit von G

Nick

Nirvana- · 06.05.2012, 23:32

danke,
Ich bin da noch am Grübeln...und verstehe die ABbildung G noch nicht ganz.

ZZ.:

stetig

muss ich abschätzen auf { L * (f-g) }

oder?

und das x als obere Grenze des Integrals bleibt da immer gleich??

LG

Nick F. · 07.05.2012, 09:41

Zitat:

Zitat von Nirvana-

muss ich abschätzen auf { L * (f-g) }

oder?

was ist das für ein betrag? was sollen die klammern um (f-g)?

für mich stehen da links und rechts funktionen, das kann nicht sein.

Nick

Nirvana- · 07.05.2012, 16:41

Wo soll ich den beginnen abzuschätzen?
Mir fehlt der Start von wo ich beginne. Ich komme immer nur zu dem selben was wir in G(f) ist stetig gezeigt haben.

LG

Nick F. · 07.05.2012, 16:47

sei ${F:\ (M,||\cdot||_M)\to(N,||\cdot||_N)}$ . schreibe auf was es bedeutet, dass F lipschitzstetig ist

Nick

Nirvana- · 07.05.2012, 17:03

${ (M,||.||_M) }$ .. ist ein normiertet Raum M mit einer Struktur (Norm m)
Die Abbildung geht vom Raum M in den Raum N

Eine Funktion F ist Lipschitzstetig wenn:
${ x \in M, y\in N }$
{d(F(x),F(y)) < L * d(x,y)}

Nick F. · 07.05.2012, 17:05

ich habe dir keine metriken, sondern normen gegeben. wie sieht die aussage mit den normen aus? außerdem wären quantoren nicht schlecht

Nick

Nirvana- · 07.05.2012, 17:18

${ \forall x,y \in M}$
${ || F(x) - F(y)||_N < L * ||x-y||_M }$

Nick F. · 07.05.2012, 17:33

richtig. jetzt zum problem: was sind ${F,M,||\cdot||_M,N,||\cdot||_N}$ hier?

Nick

Nirvana- · 07.05.2012, 18:40

hier?

F .. G
und Norm ist jeweils die Supremumsnorm.
M und N sind C([a,b])

Nick F. · 07.05.2012, 19:12

richtig. dh was ist zu zeigen?

Nick

Nirvana- · 07.05.2012, 19:23

F .. G
und Norm ist jeweils die Supremumsnorm.
M und N sind C([a,b])

${\forall f,g \in C([a,b])}$
${||G(f)-G(g)||_\infty < L* ||f-g||_\infty}$

${||G(f)-G(g)||_\infty = ||\int_a^x f(y) dy - \int_a^x g(y)dy ||_\infty = || \int_a^x (f-g) (y) dy ||_\infty <= ||\int_a^x sup(f-g) dy||_\infty}$
Ist der Anfang richtig?

Nick F. · 07.05.2012, 19:35

soweit so gut, aber dieser schritt

Zitat:

Zitat von Nirvana-

${|| \int_a^x (f-g) (y) dy ||_\infty <= ||\int_a^x sup(f-g) dy||_\infty}$

stimmt nicht

davon abgesehen ist die sup-norm nach der ersten gleichheit sehr ambitioniert

Nick

Nirvana- · 07.05.2012, 19:41

${||G(f)-G(g)||_\infty = ||\int_a^x f(y) dy - \int_a^x g(y)dy ||_\infty = || \int_a^x (f-g) (y) dy ||_\infty}$
Wie geht es dann weiter? Wollte eigentlich zum sup übergehen!

> davon abgesehen ist die sup-norm nach der ersten gleichheit sehr ambitioniert
Verstehe nicht was das heißen soll.-.Auch nach google frage nach dem wort ambitioniert, erklärt sich für mich nicht der sinn des satzes.
Ich möchte das bsp. heute noch fertig bekommen, deshalb frag ich so schnell nochmal nach.

Nick F. · 07.05.2012, 20:19

ambitioniert sein: ehrgeizig nach etwas streben

mit anderen worten: die sup-norm kann man zwar interpretieren, aber sie ist dort falsch. durch das einsetzen von x hast du nämlich keine funktion mehr in der sup-norm.

wenn du die supnorm berichtigst, dann siehst du, wie es weiter geht

edit
vielleicht noch als hinweis: schreib die sup-norm aus.

Nick