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Alt 03.06.2009, 12:24   #1   Druckbare Version zeigen
sugarbabe Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 2
Berechnung einer Kugel in Wasser

Hallo zusammen,

ich habe eine Frage zur Berechnung der Tauchtiefe einer Kugel in Wasser. Ich habe leider keine Möglichkeit das Ergebnis zu prüfen, deshalb hoffe ich, ihr könnt mir das hier berechnete bestätigen.

Zu berechnen gilt:

Wie viel mm ragt eine Metall-Hohlkugel mit einem Durchmesser von 200mm über der Wasseroberfläche. An der Kugel ist eine Kette befestigt, mit 200gr. Gewicht

Daten:
Durchmesser: 200mm
Wandstärke: 0,7mm
Dichte Metall: 4,5 gr/cm3
Dichte Wasser: 1gr/ cm3
Gewicht Kette: 200gr.

Überlegung: Dichte der Kugel berechnen und ins Verhältnis zur Wasserdichte setzen.


Schritt 1: Volumen (V) und Fläche (A) der Kugel

V der Kugel= 4·π·r3/3 = 4·π·1003/3 = 4188790,205mm3 = 4188,79 cm3

A der Kugel= π·d2 = π·2002 = 125663,706mm2 = 1256,63 cm2


Schritt 2: Gewicht (Gewichtskraft G) der Kugel

Über Fläche, Wandstärke und Dichte

Zuerst die Masse der Kugel cm3 (Dichte rho x Volumen V): m = rho*V

Volumen Wand (Fläche x Höhe) = A*H = 1256,6 cm2 x 0,07cm = 87,96 cm3

m = rho Metall x V Wandstärke= 4,5 gr/cm3 x 87,96 cm3 = 395,82 gr

Zu der eigentlichen Masse der Kugel rechne ich jetzt noch die 200gr. der Kette hinzu, also:

m Gesamt = Masse Kugel + Masse Kette = 395,82gr + 200gr = 595,82gr

Die Kugel inkl. Kette besitzt eine Masse von 595,82gr


Schritt 3: Dichte Kugel

rho = m/V

rho Kugel = m/V = 595,82gr / 4188,79 cm3 = 0,14 gr/cm3

Die Kugel besitzt also eine Dichte von 0,14 gr/cm3


Schritt 4: Eintauchtiefe = Dichteverhältnis Kugel zu Wasser (rho Kugel/rho Wasser)


0,14g/cm3 (Dichte Kugel) x 4188,79cm3 (Volumen Kugel) x 1cN/g
geteilt durch
1g/cm3 (Dichte Wasser) x 4188,79cm3 (Volumen Kugel) x 1cN/g = 0,14


Die Kugel ragt zu 14% noch aus dem Wasser, wäre in mm 14% von 200mm (Durchmesser Kugel) = 28mm über der Wasseroberfläche.


Ich bin mir nicht sicher, aber ich glaube ich mache irgend ein Rechenfehler … oder stimmt das doch?

Danke für jede Hilfe, Kai
sugarbabe ist offline   Mit Zitat antworten
Alt 04.06.2009, 18:14   #2   Druckbare Version zeigen
isi1  
Mitglied
Beiträge: 554
AW: Berechnung einer Kugel in Wasser

Zitat:
Zitat von sugarbabe Beitrag anzeigen
Schritt 2: Gewicht (Gewichtskraft G) der Kugel

Über Fläche, Wandstärke und Dichte

Zuerst die Masse der Kugel cm3 (Dichte rho x Volumen V): m = rho*V

Volumen Wand (Fläche x Höhe) = A*H = 1256,6 cm2 x 0,07cm = 87,96 cm3

m = rho Metall x V Wandstärke= 4,5 gr/cm3 x 87,96 cm3 = 395,82 gr
ist nur 393g ... Außenkugel-Innenkugel

Übrigens Nach Norm ist gr falsch, es heißt g
Zitat:
Zitat von sugarbabe Beitrag anzeigen
Zu der eigentlichen Masse der Kugel rechne ich jetzt noch die 200gr. der Kette hinzu, also:
Das stimmt leider nicht, denn das Wasser trägt auch die Kette (etwas).
{G_{Kette}=200*3,5/4,5=155,6g}
Zitat:
Zitat von sugarbabe Beitrag anzeigen
m Gesamt = Masse Kugel + Masse Kette = 395,82gr + 200gr = 595,82gr
548,6g
Schritt 3: Dichte Kugel
rho Kugel = m/V = 595,82gr / 4188,79 cm3 = 0,14 gr/cm3 0,13g/cm³

Schritt 4: Eintauchtiefe = Dichteverhältnis Kugel zu Wasser (rho Kugel/rho Wasser)
Ja, es sind also 4188,8cm³*13%=548,6cm³ der Kugel im Wasser

Jetzt musst Du die Höhe der Kugelkalotte berechnen.
http://de.wikipedia.org/wiki/Kugelkalotte


{V_{Kalotte} \, = \, \frac{h^2 \pi}{3} (3r - h)}

Mit eem Taschenrechner h = 45,4mm

Die Kugel ragt also 200-45,4=154,6mm aus dem Wasser
__________________
Grüße aus München, isi
isi1 ist offline   Mit Zitat antworten
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Alt 05.06.2009, 11:48   #3   Druckbare Version zeigen
sugarbabe Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 2
AW: Berechnung einer Kugel in Wasser

Hallo ISI, vielen Dank für die Antwort, jetzt habe ich kapiert wo die Fehler lagen.

Eine Frage habe ich noch, da ich so etwas schon seit Lichtjahren nicht mehr gerechnet habe und ich nun schon eine Stunde dran sitze und es nicht mehr hin bekomme: wie stellst Du die Formel für die Berechnung der Kalotte von V= ... nach h= ... um, damit ich auf die 45,4mm komme??

Vielen, vielen Dank, Kai
sugarbabe ist offline   Mit Zitat antworten
Alt 05.06.2009, 17:53   #4   Druckbare Version zeigen
isi1  
Mitglied
Beiträge: 554
AW: Berechnung einer Kugel in Wasser

Zitat:
Zitat von sugarbabe Beitrag anzeigen
wie stellst Du die Formel für die Berechnung der Kalotte von V= ... nach h= ... um, damit ich auf die 45,4mm komme?
Habe ich nicht getan, sugarbabe, der TR hat das getan.

Ich schreibe die oben angegebene Formel hinter 'Solve(' , dann ',h)'
Dann ersetze ich die bekannten Größen durch ihre Zahlenwerte
Da es eine Gleichung 3. Grades ist, spuckt er drei Lösungen aus, von denen 2 nicht passen (negativ oder >200mm).

Wenn Du die Formel analytisch lösen willst, musst Du die kubische Gleichung lösen.
Wie geht das? Brünner macht das vor.

Die einzugebende Gleichung heißt (x = h)
x³-30x²+523,874=0

Zitat:
Zitat von Brünner
Lösen der kubischen Gleichung x³ - 30x² + 523,874 = 0
—————————————————————————————————————————————————————————

Die kubische Gleichung liegt bereits in der Normalform x³ + rx² + sx + t = 0 vor.

Durch die Substitution x = y - r/3 wird die Gleichung in eine reduzierte Form
y³ + py + q = 0 gebracht, in der kein quadratisches Glied mehr auftritt.

(y + 10)³ - 30(y + 10)² + 523,874 = 0

Die neuen Koeffizienten können bequemer auch direkt berechnet werden:

p = s - r²/3 = -300
q = 2r³/27 - rs/3 + t = -1476,126

y³ - 300y - 1476,126 = 0

Aus der Gleichung liest man also ab:

p = -300 q = -1476,126

Nun muß der Wert R = (q/2)²+(p/3)³ betrachtet werden.

Ist R > 0, so hat die kubische Gleichung eine reelle und zwei komplexe Lösungen,
ist R = 0, hat sie drei reelle Lösungen, von denen zwei zusammenfallen,
und im Falle R < 0 drei verschiedene reelle Lösungen.

Für die ersten beiden Fälle verwendet man die Lösungsformel von Cardano/Tartaglia,
im dritten Fall, dem sogenannten "casus irreducibilis", löst man mithilfe
trigonometrischer Funktionen.

Im Falle dieser Gleichung ist R = -455263,00803100003.

Da R < 0, liegt der casus irreducibilis vor. Man erhält die Lösungen mit
y = 2·kubikwurzel(u)·cos(w/3 + v), wobei u = sqr(-(p/3)³) und cos(w) = -q/(2u) ist,
und v die Werte 0, 120° und 240° annimmt.

cos(w) = 0,738063 u = 1000

y = 19,39365520496398
1
y = -13,929392232021629
2
y = -5,464262972942349
3

Die Substitution x = y - r/3 wird durch Subtraktion von r/3 rückgängig gemacht.
r=-30 ist der quadratische Koeffizient der kubischen Gleichung.
Damit ergeben sich, der Größe nach geordnet, diese Lösungen:

x = -3,929392232021635
1
x = 4,535737027057651
2
x = 29,39365520496398
3
__________________
Grüße aus München, isi

Geändert von isi1 (05.06.2009 um 18:01 Uhr)
isi1 ist offline   Mit Zitat antworten
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