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Alt 02.03.2009, 01:47   #1   Druckbare Version zeigen
VollHart Männlich
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Beiträge: 14
Fehlerfortpflanzung Dichtebestimmung Mohrsche Waag

Guten Tag an alle!

Ich habe eigentlich ein mathematisches Problem. Da dies im Rahmen eines Versuchs für mein Physikalisches Anfängerpraktikum auftaucht, versuch ich's mal im Physikforum.

In meinem Versuch soll mit der Mohrschen Waage die Dichte von Ethylenglykol bestimmt werden. Bei der Mohrschen Waage handelt es sich um eine einarmige Waage an deren Ende ein Glaskörper befestigt ist, der in eine Flüssigkeit bekannter Dichte taucht, in meinem Fall Wasser. Die Auftriebskraft des Glaskörpers bewegt den Arm nach oben. Durch Anbringen von Gewichtsstücken auf dem Arm der Waage, wird der Arm ins Gleichgewicht gebracht. Anhand der Masse der Gewichtsstücke und deren Hebelarm kann man nach dem Hebelgesetz folgende Gleichung aufstellen:

{ V_{\tiny Glas} \cdot \rho_{\tiny Fluessigkeit} \cdot g \cdot R_{\tiny Glas} = m_{\tiny 1} \cdot g \cdot R_{\tiny 1} + m_{\tiny 2} \cdot g \cdot R_{\tiny 2} + ... }

Mit
{ V_{\tiny Glas} } = Volumen des Glaskörpers
{ \rho_{\tiny Fluessigkeit} } = Dichte der Flüssigkeit
{ g } = Fallbeschleunigung
{ R_{\tiny Glas} } = Hebelarm des Glaskörpers
{ m_{\tiny i} } = Masse des jeweiligen Gewichtsstückes
{ R_{\tiny i} } = Hebelarm des jeweiligen Gewichtsstückes

Es gilt weiterhin die Beziehung:

{ \frac {Auftrieb_{\tiny Ethylenglykol}}{Auftrieb_{\tiny Wasser}} = \frac {Dichte_{\tiny Ethylenglykol}}{Dichte_{\tiny Wasser}} }

Man taucht also den Glaskörper einmal in Wasser und bringt den Wägearm ins Gleichgewicht und macht das ganze dann für Ethylenglykol, dessen Dichte bestimmt werden soll.

Durch Einsetzen und Umformung etc. fallen einige Größen wie z. B. das Volumen des Glaskörpers und die Fallbeschleunigung auf der Erde raus und man erhält im Endeffekt folgende Gleichung zur Dichtebestimmung von Ethylenglykol:

{ \rho_{\tiny Ethylenglykol} = \frac {m_{\tiny 1,E} \cdot R_{\tiny 1,E} + m_{\tiny 2,E} \cdot R_{\tiny 2,E} + m_{\tiny 3,E} \cdot R_{\tiny 3,E} }{m_{\tiny 1,W} \cdot R_{\tiny 1,W} + m_{\tiny 2,W} \cdot R_{\tiny 2,W}} \cdot \rho_{\tiny W} }

Die Indizes stehen hier für die jeweilige Masse des Gewichtsstückes und dessen Abstand bzw. E für Ethylenglykol und W für Wasser. Durch Einsetzen meiner Werte kommt auch ein passables Ergebnis für die Dichte von Ethylenglykol heraus.

Soweit zur Theorie, nun zum Problem.

Wie berechne ich nach der Fehlerfortpflanzung den Fehler der Dichte des Ethylenglykols?

Den relativen Fehler für die einzelnen Produkte { m_{\tiny i} \cdot R_{\tiny i} } kann man nach

{ \frac {\delta (m_{\tiny i} \cdot R_{\tiny i})}{m_{\tiny i} \cdot R_{\tiny i}} = \sqrt { \left ( \frac {\delta m_{\tiny i}}{m_{\tiny i}} \right )^{\tiny 2} + \left ( \frac {\delta R_{\tiny i}}{R_{\tiny i}} \right )^{\tiny 2}} }

berechnen. Für den absoluten Fehler löst man die Formel nach { \delta (m_{\tiny i} \cdot R_{\tiny i}) } auf.

Das bringt mir aber nicht so furchtbar viel. Man könnte noch den Fehler für die Summe der Produkte berechnen.

{ \delta ( \sum m_{\tiny i} \cdot R_{\tiny i}) = \sqrt { \left (\delta m_{\tiny 1} \cdot R_{\tiny 1} \right )^{\tiny 2} + \left (\delta m_{\tiny 2} \cdot R_{\tiny 2} \right )^{\tiny 2} +...} }

Aber davon hab ich auch nicht viel, weil die Formel für die Berechnung der Dichte einen komplizierteren Zusammenhang der Größen aufweist, und ich keinen Plan hab, wie ich daraus einen Fehler berechnen soll!

Meine Idee wäre ja gewesen, die Formel für die Berechnung der Dichte nach jeder fehlerbehafteten Größe abzuleiten und nach folgender Formel für den absoluten Fehler vorzugehen:

{ \delta \rho_{\tiny Ethylenglykol} = \sqrt { \left ( \frac {\partial \rho_{\tiny E}}{\partial m_{\tiny 1,E}} \cdot \delta m_{\tiny 1,E} \right )^{\tiny 2} + \left ( \frac {\partial \rho_{\tiny E}}{\partial R_{\tiny 1,E}} \cdot \delta R_{\tiny 1,E} \right )^{\tiny 2} + ...+ \left ( \frac {\partial \rho_{\tiny E}}{\partial R_{\tiny 2,W}} \cdot \delta R_{\tiny 2,W} \right )^{\tiny 2} + \left ( \frac {\partial \rho_{\tiny E}}{\partial \rho_{\tiny W}} \cdot \delta \rho_{\tiny W} \right )^{\tiny 2} } }

Das Problem dabei ist aber, dass die Größen für Wasser im Nenner eines Bruches stehen. Leite ich die Funktion partiell nach ihnen ab, erhalte ich für Teile des Radikanden Einheiten, die sich nicht addieren / subtrahieren lassen – die Einheit für den absoluten Fehler { \delta \rho_{\tiny Ethylenglykol} } muss ja der Einheit für die Dichte entsprechen. Das ist also der falsche Weg, es sei denn, ich hab falsch abgeleitet.

Also, wenn mir irgendjemand einen Hinweis geben könnte, wie ich eine anständige Berechnung für den Fehler nach der Fehlerfortpflanzung hinkriege, wäre ich sehr dankbar. Ich bin glaub ich ziemlich auf dem Holzweg, von Fehlerrechnung hab ich nicht so die Ahnung

Danke schon mal im Voraus.
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Stichworte
dichtebestimmung, ethylenglykol, fehlerfortpflanzung, mohrsche waage

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