Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
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Alt 08.12.2012, 19:30   #1   Druckbare Version zeigen
Stayfo Männlich
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Beiträge: 222
Berechnung des Poisson-Erwartungswertes mit Hilfe von Lebesgue/Maßtheorie

hallo gemeinde,

mich beschäftigt gerade eine kleine problemstellung, die vllt. noch zu den grundlagen gehört, aber dennoch interessant ist. ich möchte den erwartungswert einer diskreten wahrscheinlichkeitsverteilung mit der integrationstheorie berechnen. als verteilung nehme ich beispielhaft die poisson-verteilung, den grund dafür nenne ich im folgenden.

sei also {X : (\Omega, \mathcal{A}, P) \to (\mathbb{N},\mathfrak{P}(\mathbb{N}),\mu)} eine zufallsvariable, wobei {\mu} die poisson-verteilung mit parameter {\lambda} bezeichne, also {\mu(k) = e^{- \lambda} \cdot \frac{\lambda^{k}}{k!}} für {k \in \mathbb{N}}.

in der einführenden stochastik-vorlesung definiert man für diskrete verteilungen {P} einer zufallsvariablen {Y} den erwartungswert ja folgendermaßen: {\mathbb{E} Y = \sum_{k=0}^{\infty} y_k \cdot P(Y = y_k)}. im falle unserer obigen zufallsvariable {X} erhalten wir {\mathbb{E} X = \lambda}.

die allgemeine maßtheoretische definition des erwartungswertes ist ja so:

{\mathbb{E} X = \int_{\Omega} X(\omega) dP(\omega)}

ich würde gerne aus dieser definition in unserem spezialfall die definition aus der einf. stochastik-vorlesung herleiten. mein erstes problem ist, dass unsere zv {X} nicht endlich viele werte annimmt, sodass ich nicht die definition des lebesgue-integrals für treppenfunktionen anwenden kann (deshalb die poisson-verteilung, da z.B. die binomial-verteilung einfach wäre). muss ich jetzt eine folge von zv's {X_1 , X_2 , \ldots} finden, die gegen {X} konvergieren?

danke im voraus!
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Alt 08.12.2012, 20:45   #2   Druckbare Version zeigen
Nick F. Männlich
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Beiträge: 21.565
AW: Berechnung des Poisson-Erwartungswertes mit Hilfe von Lebesgue/Maßtheorie

deine zufallsvariable ist falsch modelliert

Nick
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Alt 08.12.2012, 21:03   #3   Druckbare Version zeigen
Stayfo Männlich
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Beiträge: 222
AW: Berechnung des Poisson-Erwartungswertes mit Hilfe von Lebesgue/Maßtheorie

kann ich gerade leider nicht nachvollziehen! was ist falsch daran? ich hab ja im definitions- und wertebereich zwei maßräume, so wie es sein soll.
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Alt 08.12.2012, 21:18   #4   Druckbare Version zeigen
Nick F. Männlich
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Beiträge: 21.565
AW: Berechnung des Poisson-Erwartungswertes mit Hilfe von Lebesgue/Maßtheorie

aber diese sind falsch gewählt

was ist denn {(\Omega,\mathcal{A},P)}? und X darf nur natürliche zahlen als werte annehmen?

Nick
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Alt 08.12.2012, 21:37   #5   Druckbare Version zeigen
Stayfo Männlich
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Beiträge: 222
AW: Berechnung des Poisson-Erwartungswertes mit Hilfe von Lebesgue/Maßtheorie

Zitat:
Zitat von Nick F. Beitrag anzeigen
was ist denn {{(\Omega,\mathcal{A},P)}}?
hmm ... das ist allerdings eine gute frage! das ist eigentlich niedrigste grundschule, aber irgendwie finde ich keine antwort darauf.

Zitat:
Zitat von Nick F. Beitrag anzeigen
und X darf nur natürliche zahlen als werte annehmen?
hier bin ich mir sicher, da {\mu} nur für natürliche zahlen definiert ist.
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Alt 08.12.2012, 22:08   #6   Druckbare Version zeigen
Nick F. Männlich
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Beiträge: 21.565
AW: Berechnung des Poisson-Erwartungswertes mit Hilfe von Lebesgue/Maßtheorie

{(\Omega,\mathcal{A},P)} muss {(\mathbb{N},\mathfrak{P}(\mathbb{N}),\mu)} sein. wohin X abbildet ist so ziemlich banane, da es die identität sein muss

Nick
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Alt 14.12.2012, 22:28   #7   Druckbare Version zeigen
Stayfo Männlich
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Beiträge: 222
AW: Berechnung des Poisson-Erwartungswertes mit Hilfe von Lebesgue/Maßtheorie

sorry, dass ich eine zeitlang nicht geantwortet habe, aber im moment habe ich einiges um die ohren. naja, machen wir weiter:

Zitat:
Zitat von Nick F. Beitrag anzeigen
{(\Omega,\mathcal{A},P)} muss {(\mathbb{N},\mathfrak{P}(\mathbb{N}),\mu)} sein. wohin X abbildet ist so ziemlich banane, da es die identität sein muss
hmm ... verstehe ich leider nicht so ganz. es ist ja {\mu(k) = P(X=k)}, und die rechte seite ist ja äquivalent zu {P(X(\omega)=k)}, d.h. also {(\mathbb{N},\mathfrak{P}(\mathbb{N}),\mu)} muss im wertebreich von X sein.

was du hier mit identität meinst ist mir leider auch nicht ganz klar.
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Alt 14.12.2012, 23:25   #8   Druckbare Version zeigen
Nick F. Männlich
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Beiträge: 21.565
AW: Berechnung des Poisson-Erwartungswertes mit Hilfe von Lebesgue/Maßtheorie

die identität auf {\mathbb{N}} ist eine wohlbekannte abbildung

Nick
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Alt 15.12.2012, 00:15   #9   Druckbare Version zeigen
Stayfo Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 222
AW: Berechnung des Poisson-Erwartungswertes mit Hilfe von Lebesgue/Maßtheorie

nun denn ... die zufallsvariable ist so also richtig?

{X : (\mathbb{N},\mathfrak{P}(\mathbb{N}),\mu) \to (\mathbb{N},\mathfrak{P}(\mathbb{N}),\mu)}
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Alt 15.12.2012, 00:23   #10   Druckbare Version zeigen
Nick F. Männlich
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AW: Berechnung des Poisson-Erwartungswertes mit Hilfe von Lebesgue/Maßtheorie

ja.

Nick
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Alt 15.12.2012, 00:28   #11   Druckbare Version zeigen
Stayfo Männlich
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Themenersteller
Beiträge: 222
AW: Berechnung des Poisson-Erwartungswertes mit Hilfe von Lebesgue/Maßtheorie

okay, und wie geht's jetzt weiter? wie muss ich zuer berechnung des erwartungswertes vorgehen?

und kurze frage nebenbei: warum muss die zv eigentlich die identität sein?
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Alt 15.12.2012, 00:41   #12   Druckbare Version zeigen
Nick F. Männlich
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Beiträge: 21.565
AW: Berechnung des Poisson-Erwartungswertes mit Hilfe von Lebesgue/Maßtheorie

Zitat:
Zitat von Stayfo Beitrag anzeigen
und kurze frage nebenbei: warum muss die zv eigentlich die identität sein?
das ist die große frage. ich dachte das wäre klar.

das problem ist: du willst nicht den erwartungswert einer beliebigen zv berechnen. du willst den erwartungswert des maßes berechnen

Nick
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Alt 15.12.2012, 13:03   #13   Druckbare Version zeigen
Stayfo Männlich
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Themenersteller
Beiträge: 222
AW: Berechnung des Poisson-Erwartungswertes mit Hilfe von Lebesgue/Maßtheorie

Zitat:
Zitat von Nick F. Beitrag anzeigen
das ist die große frage. ich dachte das wäre klar.
leider nicht
du siehst, es gibt da noch einige lücken, die ich schließen möchte!

Zitat:
das problem ist: du willst nicht den erwartungswert einer beliebigen zv berechnen. du willst den erwartungswert des maßes berechnen
erwartungswert des maßes? das höre ich jetzt zum ersten mal!
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Alt 15.12.2012, 14:45   #14   Druckbare Version zeigen
Nick F. Männlich
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Beiträge: 21.565
AW: Berechnung des Poisson-Erwartungswertes mit Hilfe von Lebesgue/Maßtheorie

Zitat:
Zitat von Stayfo Beitrag anzeigen
{\mathbb{E} X = \lambda}.
das ding willst du reproduzieren. die poisson verteilung, hast du ins maß gesteckt. was du nun fragst ist, wenn ich eine zahl k mit der wkeit {\mu(k)} ziehe, was erwarte ich für k?

ich habe die relevanten teile mal markiert. wkeit gibt mir das maß. gesucht ist also die zv. diese bekomme ich, indem ich mir anschaue, was ich ziehe und wovon ich den erwartungswert haben möchte. ich ziehe k und suche den erwartungswert für k. mit anderen worten, die zv ist die identität.

also ist

{\mathbb{E}\mathrm{id}=\int_{\mathbb{N}}\mathrm{id}d\mu\int_{\mathbb{N}}xd\mu(x)=\lambda}

Nick
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Alt 21.12.2012, 18:48   #15   Druckbare Version zeigen
Stayfo Männlich
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Themenersteller
Beiträge: 222
AW: Berechnung des Poisson-Erwartungswertes mit Hilfe von Lebesgue/Maßtheorie

okay, das ergibt sinn. danke für die erklärung, nick. leider habe ich momentan sehr wenig zeit und kann mich deshalb nicht länger mit diesem problem befassen. vielleicht greife ich das problem wieder auf, wenn die umstände es wieder zulassen.

vielen dank für deine hilfe, nick!
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