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Alt 29.01.2008, 19:01   #1   Druckbare Version zeigen
asus1889  
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 53
Schnittpunkt einer Funktion 3. Grades mit einer Geraden berechnen, aber wie?

Hallo zusammen,

wie berechne den Schnittpunkt einer Funktion 3. Grades mit einer Geraden?

Die Funktionen lauten folgendermaßen:


f(x)=g(x)


x^3-6x^2+9x-2=2x+4

Wie bekommt man das x^3 weg? Man muss ja eine quadratische Funktion erhalten um diese in die pq Formel einsetzen zu können.

Gruß

asus1889
asus1889 ist offline   Mit Zitat antworten
Alt 29.01.2008, 19:41   #2   Druckbare Version zeigen
DonCarlos Männlich
Moderator
Beiträge: 1.550
AW: Schnittpunkt einer Funktion 3. Grades mit einer Geraden berechnen, aber wie?

Zitat:
Zitat von asus1889 Beitrag anzeigen
Hallo zusammen,

wie berechne den Schnittpunkt einer Funktion 3. Grades mit einer Geraden?

Die Funktionen lauten folgendermaßen:


f(x)=g(x)


x^3-6x^2+9x-2=2x+4

Wie bekommt man das x^3 weg?
Du meinst sicherlich, wie man den Grad des Polynoms von 3 auf 2 reduziert.
Stichworte: Nullstelle erraten, dann Polynomdivision.


Zitat:
Zitat von asus1889 Beitrag anzeigen
Man muss ja eine quadratische Funktion erhalten um diese in die pq Formel einsetzen zu können.
Vergiss die pq Formel. Versuche es mit quadratischer Ergaenzung.
DonCarlos ist offline   Mit Zitat antworten
Alt 01.02.2008, 18:24   #3   Druckbare Version zeigen
ehemaliges Mitglied  
nicht mehr Mitglied
Beiträge: n/a
AW: Schnittpunkt einer Funktion 3. Grades mit einer Geraden berechnen, aber wie?

Zitat:
Zitat von DonCarlos Beitrag anzeigen
Vergiss die pq Formel. Versuche es mit quadratischer Ergaenzung.
Warum denn?
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Alt 01.02.2008, 18:47   #4   Druckbare Version zeigen
Jingles Männlich
Mitglied
Beiträge: 1.872
AW: Schnittpunkt einer Funktion 3. Grades mit einer Geraden berechnen, aber wie?

Mit dem Newtonverfahren kommt auch ziemlich schnell auf ein brauchbares Ergebnis. Allerdings weiß ich nicht ob es dem Threadersteller bekannt ist. Falls ja:
{x^3-6x^2+9x-2=2x+4} zu {x^3-6x^2+7x-6=0} umformen. Den linken Termen kann man als neue Funktion {h(x) = x^3-6x^2+7x-6} betrachten, deren Nullstelle(n) man berechnen möchte.


Gruß
Oliver
Jingles ist offline   Mit Zitat antworten
Alt 01.02.2008, 20:11   #5   Druckbare Version zeigen
DonCarlos Männlich
Moderator
Beiträge: 1.550
AW: Schnittpunkt einer Funktion 3. Grades mit einer Geraden berechnen, aber wie?

Zitat:
Zitat von DonCarlos Beitrag anzeigen
Du meinst sicherlich, wie man den Grad des Polynoms von 3 auf 2 reduziert.
Stichworte: Nullstelle erraten, dann Polynomdivision.
Ich muss mich hier korrigieren! Dieses Beispiel laesst sich durch Nullstellen erraten nicht loesen, da es keine ganzzahligen Nullstellen gibt! Ergo: Du kannst ein Naehrungsverfahren wie Jingles es vorgeschlagen hat anwenden.
Wenn mir noch eine analytische Loesung einfaellt, melde ich mich noch einmal.
DonCarlos ist offline   Mit Zitat antworten
Alt 02.02.2008, 02:14   #6   Druckbare Version zeigen
DonCarlos Männlich
Moderator
Beiträge: 1.550
AW: Schnittpunkt einer Funktion 3. Grades mit einer Geraden berechnen, aber wie?

Es gibt eine analytische Loesung mit der Formel von del Ferro, die er gegen 1515 entdeckte! Fuer Details siehe das Buch "Algebra" von S. Bosch.

Wir betrachten eine kubische Gleichung der Form
{x^3 + px + q = 0}.
Ferner setzen wir
{D:= (\frac{p}{3})^3 + (\frac{q}{2})^2}.

Dann ist
{x = \sqrt[3]{\frac{q}{2} + \sqrt{D}} + \sqrt[3]{\frac{q}{2} - \sqrt{D}}} eine Loesung der o.g. kubischen Gleichung.

Um diese Loesungsformel auf unsere
Gleichung
{x^3 - 6x^2 + 7x - 6 = 0}
anwenden zu koennen, fuehren wir eine Variablensubstitution
via {z = x - 2} durch, denn es gilt
{(x-2)^3 = x^3 - 6x^2 +12x -8}.

Die Gleichung ist dann aequivalent zu
{z^3 - 5z -8 =0}.
Insofern ist {p = -5} und {q = -8}.
Damit ist {D = \frac{307}{27}}.
Also
{z = \sqrt[3]{16 + \sqrt{\frac{307}{27}}} + \sqrt[3]{16 -\sqrt{\frac{307}{27}}}},
folglich ist
{x = 2 + \sqrt[3]{16 + \sqrt{\frac{307}{27}}} + \sqrt[3]{16 -\sqrt{\frac{307}{27}}}}.

Und numerisch ausgewertet {x = 4.8025887521...}

Die (zwei) anderen Loesungen sind komplexwertig.
DonCarlos ist offline   Mit Zitat antworten
Alt 03.02.2008, 21:05   #7   Druckbare Version zeigen
Jingles Männlich
Mitglied
Beiträge: 1.872
AW: Schnittpunkt einer Funktion 3. Grades mit einer Geraden berechnen, aber wie?

Mit einem Näherungsverfahren (ich habe das schon erwähnte Newtonverfahren angewandt) sähe die Sache folgendermaßen aus (nur um es mal vorgestellt zu haben):

Als "Startwert" wähle ich nach Betrachtung des Graphen und einer Überprüfung auf Vorzeichenwechsel im Intervall [4;5] {x_n=5} und nähere mich von diesem Wert ausgehend der Nullstelle:

{x_{n+1} = x_n - \frac{f({x_n})}{f'({x_n})}}


{x_{n+1} = 5 - \frac{f({5})}{f'({5})} = 5 - \frac{(5)^3 - 6 \cdot (5)^2 + 7*5 - 6}{3 \cdot (5)^2 - 12 \cdot 5 + 7} = \frac{53}{11} \approx 4,81818}


{x_{n+2} = \frac{53}{11} - \frac{f({\frac{53}{11}})}{f'({\frac{53}{11}})} = \frac{53}{11} - \frac{(\frac{53}{11})^3 - 6 \cdot (\frac{53}{11})^2 + 7*\frac{53}{11} - 6}{3 \cdot (\frac{53}{11})^2 - 12 \cdot \frac{53}{11} + 7} = \frac{60173}{12529} \approx 4,802697741}

Die von DonCarlos vorgestellte Methode erscheint mir allerdings schicker, da analytisch.


Gruß
Oliver
Jingles ist offline   Mit Zitat antworten
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