Physikalische Chemie
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Physikalische Chemie Ob Elektrochemie oder Quantenmechanik, das Feld der physikalischen Chemie ist weit! Hier könnt ihr Fragen von A wie Arrhenius-Gleichung bis Z wie Zeta-Potential stellen.

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Alt 21.10.2018, 00:37   #1   Druckbare Version zeigen
noneofyourbusiness Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 1.733
Wechselbeziehung zwischen Symmetrieelementen

Aus Cotton, Chemical Applications of Group Theory, 3rd edition, S. 33

(die erwähnten Operationen sind Symmetrieoperationen, bzw. die entsprechenden Symmetrieelemente)

Zitat:
(...)useful rules (...)
2. The product of two reflections, in planes A and B, intersecting at an angle {\phi_{AB}}, is a rotation by 2{\phi_{AB}} about the axis defined by the line of intersection.(...)It is clear that this rule has far-reaching consequences. If the two planes are seperated by the angle {\phi_{AB}}, a {C_n} axis, where {n = 2\pi/2\phi_{AB}}, is required to exist. Here n must be an integer, and the {C_n} axis will then assure that a total of n such planes exists. (...)
3. When there is a rotation axis, {C_n}, and a plane containing it, there must be n such planes seperated by angles of {2\pi/2n}. This follows from rule 2.
Ich verstehe nicht, wie er die dritte Regel aus der zweiten schließt. In der zweiten zeigt er, dass zwei Spiegelebenen eine Drehachse generieren (aus A folgt B). In der dritten Regel scheint er das - nach meinem Verständnis - lediglich umzukehren (aus B folgt A). Da dies nicht logisch wäre, scheine ich etwas misszuverstehen.
noneofyourbusiness ist offline   Mit Zitat antworten
Alt 21.10.2018, 00:58   #2   Druckbare Version zeigen
Peter Schulz  
Mitglied
Beiträge: 450
AW: Wechselbeziehung zwischen Symmetrieelementen

Ich denke, das siehst du richtig. Wo ist jetzt genau das Problem?
Peter Schulz ist offline   Mit Zitat antworten
Alt 21.10.2018, 01:10   #3   Druckbare Version zeigen
noneofyourbusiness Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 1.733
AW: Wechselbeziehung zwischen Symmetrieelementen

Der Autor scheint aus der Tatsache, dass zwei existente Spiegelebenen die Existenz einer Drehachse erzwingen, zu folgern, dass aus der Existenz einer Drehachse auf die Existenz solcher Spiegelebenen geschlossen werden kann.
noneofyourbusiness ist offline   Mit Zitat antworten
Alt 21.10.2018, 11:50   #4   Druckbare Version zeigen
NapalmDeath Männlich
Mitglied
Beiträge: 144
AW: Wechselbeziehung zwischen Symmetrieelementen

Zitat:
Zitat von noneofyourbusiness Beitrag anzeigen
Der Autor scheint aus der Tatsache, dass zwei existente Spiegelebenen die Existenz einer Drehachse erzwingen, zu folgern, dass aus der Existenz einer Drehachse auf die Existenz solcher Spiegelebenen geschlossen werden kann.
Nicht ganz. Eine n-zählige Drehachse zieht nicht gleich die Existenz von n vertikalen Spiegelebenen nach sich. Nur eine n-zählige Drehachse, welche in einer Spiegelebene liegt, hat die Existenz von n vertikalen Spiegelebenen zur Folge.

Eine nützliche Art der Darstellung für solche Probleme ist die stereographische Projektion. Wenn du damit vertraut bist, dann kannst du einfach einmal in den Mittelpunkt des Kreises z.B. eine vierzählige Drehachse setzen und in irgendeiner beliebigen Orientierung eine Spiegelebene durch die Drehachse legen. Dann lässt du zuerst die Drehachse und dann die Spiegelung auf einen beliebigen Punkt (der nicht auf einem Symmetrieelement liegt) wirken. Du wirst feststellen, dass aus dem einen Punkt insgesamt 8 Punkte werden und zusätzlich zu der vorhandenen Spiegelebene 3 weitere existieren.
NapalmDeath ist offline   Mit Zitat antworten
Alt 21.10.2018, 17:40   #5   Druckbare Version zeigen
noneofyourbusiness Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 1.733
AW: Wechselbeziehung zwischen Symmetrieelementen

Zitat:
Zitat von NapalmDeath Beitrag anzeigen
Nicht ganz. Eine n-zählige Drehachse zieht nicht gleich die Existenz von n vertikalen Spiegelebenen nach sich. Nur eine n-zählige Drehachse, welche in einer Spiegelebene liegt, hat die Existenz von n vertikalen Spiegelebenen zur Folge.
ja. Die Zusatzvoraussetzung der Spiegelebene, in der die Drehachse liegen muss, hatte ich bei dem Versuch, mein Problem zusammenzufassen, auf die Schnelle, übersehen. In der dritten Regel, die ich ja nachvollziehen möchte, steht diese Voraussetzung allerdings mit drin.

Ich habe zwei Probleme mit der dritten Regel:

1. Ich kann sie nur für gerades n nachvollziehen.

2. selbst dann aber nicht als Schlussfolgerung aus Regel 2 (so wie es der Autor offenbar tut).


zu 1.:
Warum nur für gerades n nachvollziehbar?
Bei geradem n (zb n=4) wird durch die {C_4}-Operation die Spiegelebene, die die {C_4}-Achse enthält, in eine zweite, senkrecht zu ihr positionierte überführt.
Durch {C_4^2 = C_2} wird sie allerdings wieder in sich selbst überführt und durch {C_4^3} wieder in die Spiegelebene, die aus ihr im ersten Schritt erzeugt wurde. Somit sind dies zunächst zwei Spiegelebenen, die {C_4} enthalten und die Ebene senkrecht zu {C_4} in vier Quadranten teilen. Weiterhin wurde aber im Buch bereits gezeigt, dass noch zwei weitere Spiegelebenen, die {C_4} enthalten, existieren, die sich im 45°-Winkel zu den erstgenannten befinden. Somit hat man (in Übereinstimmung mit der Aussage von Regel 3) "n Spiegelebenen im Abstand von {2\pi/2n = \pi / n} = 45°".
Wenn n ungerade ist, kommt es durch die Drehungen um {C_n} aber nicht zur Abbildung von bereits generierten Spiegelebenen auf sich selbst, so dass hier zwar auch in Übereinstimmung mit Regel 3 "n Spiegeleben existieren", diese haben nun aber nicht den in der Regel vorausgesagten Winkel zueinander, sondern lediglich {2\pi /n}.

zu 2.:
verstehe ich einfach nicht, wie Regel 3 aus Regel 2 folgt. Kommt mir vor wie eine Argumentation der Art " {(A \Rightarrow B) \Rightarrow (B \Rightarrow A)} "
noneofyourbusiness ist offline   Mit Zitat antworten
Alt 21.10.2018, 19:34   #6   Druckbare Version zeigen
Peter Schulz  
Mitglied
Beiträge: 450
AW: Wechselbeziehung zwischen Symmetrieelementen

Nimm NH3 (Punktgruppe C3v) als Beispiel für ungerades n:


n=3


(2*180°)/(2*3)=60°


Die Winkel zwischen den drei vertikalen Spiegelebenen betragen also 60°.
Peter Schulz ist offline   Mit Zitat antworten
Alt 21.10.2018, 19:43   #7   Druckbare Version zeigen
noneofyourbusiness Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 1.733
AW: Wechselbeziehung zwischen Symmetrieelementen

ja, stimmt. Danke. Da hatte ich wohl einen Denkfehler.

Bleibt noch das zweite Problem.
noneofyourbusiness ist offline   Mit Zitat antworten
Alt 21.10.2018, 20:52   #8   Druckbare Version zeigen
Peter Schulz  
Mitglied
Beiträge: 450
AW: Wechselbeziehung zwischen Symmetrieelementen

Im Prinzip hast du die Antwort ja schon gegeben.


Wenn sich zwei (oder mehr) Spiegelebenen schneiden, dann bedingt das entlang der der Schnittgeraden eine Drehachse. Das wäre Regel 2 vereinfacht ausgedrückt.


Und wenn man eine Spiegelebene hat, in der eine Drehachse liegt, dann müssen folglich (also wenn Regel 2 gültig ist) Spiegelebenen (je nach Zähligkeit der Drehachse) vorhanden sein, die die erste Spiegelebene in der Drehachse schneiden.
Peter Schulz ist offline   Mit Zitat antworten
Alt 21.10.2018, 21:07   #9   Druckbare Version zeigen
noneofyourbusiness Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 1.733
AW: Wechselbeziehung zwischen Symmetrieelementen

Zitat:
Zitat von Peter Schulz Beitrag anzeigen

Und wenn man eine Spiegelebene hat, in der eine Drehachse liegt, dann müssen folglich (also wenn Regel 2 gültig ist) Spiegelebenen (je nach Zähligkeit der Drehachse) vorhanden sein, die die erste Spiegelebene in der Drehachse schneiden.
nach meinem Verständnis gälte das, wenn Drehachsen ausschließlich durch Spiegelebenen generiert würden.
Vielleicht verstehe ich dich aber auch falsch.
noneofyourbusiness ist offline   Mit Zitat antworten
Alt 21.10.2018, 21:38   #10   Druckbare Version zeigen
Peter Schulz  
Mitglied
Beiträge: 450
AW: Wechselbeziehung zwischen Symmetrieelementen

  • Zwei Spiegelebenen, die sich schneiden, bedingen eine Drehachse in der Schnittgeraden.
  • Eine Spiegelebene, in der eine Drehachse liegt, bedingt eine weitere Spiegelebene, die sich mit der ersten in der Drehachse schneidet.
Peter Schulz ist offline   Mit Zitat antworten
Alt 21.10.2018, 22:41   #11   Druckbare Version zeigen
noneofyourbusiness Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 1.733
AW: Wechselbeziehung zwischen Symmetrieelementen

Zitat:
Zitat von Peter Schulz Beitrag anzeigen
  • Zwei Spiegelebenen, die sich schneiden, bedingen eine Drehachse in der Schnittgeraden.
ja

Zitat:
Zitat von Peter Schulz Beitrag anzeigen
  • Eine Spiegelebene, in der eine Drehachse liegt, bedingt eine weitere Spiegelebene, die sich mit der ersten in der Drehachse schneidet.
ja


noneofyourbusiness ist offline   Mit Zitat antworten
Alt 22.10.2018, 16:45   #12   Druckbare Version zeigen
DaTei Männlich
Mitglied
Beiträge: 1.008
AW: Wechselbeziehung zwischen Symmetrieelementen

Regel (2) lautet anders ausgedrückt: Seien {\sigma, \sigma' \in G} zwei Spiegelungen, die den Winkel {\phi} eingeschließen, dann gibt es eine Drehung {C_n \in G} mit:
{\sigma' \circ \sigma = C_n} und {n = \frac{\pi}{\phi}}.

Mit dem inversen Element zu {\sigma} gilt äquivalent dazu
{\sigma' = C_n \circ \sigma^{-1}}.

Man kann also eine Spiegelung durch Verknüpfung einer gegebenen Spiegelung und Drehung erzeugen. Regel (3) macht nun die simple Folgerung, dass man aus der so erzeugten Spiegelung eine dritte basteln kann usw. und zwar insgesamt (n-1) mal.
__________________
Der Beginn aller Wissenschaften ist das Staunen, dass die Dinge so sind, wie sie sind. Aristoteles
DaTei ist offline   Mit Zitat antworten
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Alt 23.10.2018, 12:34   #13   Druckbare Version zeigen
noneofyourbusiness Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 1.733
AW: Wechselbeziehung zwischen Symmetrieelementen

Zitat:
Zitat von DaTei Beitrag anzeigen
Regel (2) lautet anders ausgedrückt: Seien {\sigma, \sigma' \in G} zwei Spiegelungen, die den Winkel {\phi} eingeschließen, dann gibt es eine Drehung {C_n \in G} mit:
{\sigma' \circ \sigma = C_n} und {n = \frac{\pi}{\phi}}.

Mit dem inversen Element zu {\sigma} gilt äquivalent dazu
{\sigma' = C_n \circ \sigma^{-1}}.

Man kann also eine Spiegelung durch Verknüpfung einer gegebenen Spiegelung und Drehung erzeugen. Regel (3) macht nun die simple Folgerung, dass man aus der so erzeugten Spiegelung eine dritte basteln kann usw. und zwar insgesamt (n-1) mal.
ich glaube, damit kann ich erstmal leben. danke.
noneofyourbusiness ist offline   Mit Zitat antworten
Alt 23.10.2018, 13:24   #14   Druckbare Version zeigen
Peter Schulz  
Mitglied
Beiträge: 450
AW: Wechselbeziehung zwischen Symmetrieelementen

Zitat:
Zitat von DaTei Beitrag anzeigen
Regel (3) macht nun die simple Folgerung, dass man aus der so erzeugten Spiegelung eine dritte basteln kann
Oder erst mal eine zweite? Muss nicht mal unbedingt eine dritte sein, wenn ich das richtig verstehe.


Was bedeutet eigentlich das \circ Zeichen in deinen Gleichungen? Also warum schreibt man \circ statt einem normalen Punkt?
Peter Schulz ist offline   Mit Zitat antworten
Alt 23.10.2018, 13:35   #15   Druckbare Version zeigen
noneofyourbusiness Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 1.733
AW: Wechselbeziehung zwischen Symmetrieelementen

Zitat:
Zitat von Peter Schulz Beitrag anzeigen
Also warum schreibt man \circ statt einem normalen Punkt?
Komposition von Abbildungen. Muss man hier aber nicht zwingend schreiben. Dadurch wird aber klar, dass zunächst die rechtsstehende Abbildung wirkt.
noneofyourbusiness ist offline   Mit Zitat antworten
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