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Alt 17.04.2013, 18:08   #1   Druckbare Version zeigen
EJRicks Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 1
Beitrag Analysis-Aufgabe Verkettete Funktionen

Hallo liebe Community,
ich arbeite gerade an meiner Hausaufgabe und komme einfach nicht weiter.
Es geht um das Thema Verkettete Funktionen des Themengebiets Analysis. Ich habe das Lösungsbuch und daher auch die Lösung der Aufgabe aber ich kann den Rechenweg nicht nachvollziehen, und da morgen warscheinlich ein überraschungstest droht bitte ich um Hilfe!
Hier die Aufgabe:


Gegeben ist die Funktion: f:x --> 3sin(1+2x).
a) Bestimmen Sie die Definitions- und Wertemenge von f.
b) Geben sie die Nullstellen an und untersuchen Sie die Funktion f auf Extremstellen.
c) Berechnen Sie im Intervall [-6; 5] die Nullstellen und Extrema, untersuchen Sie dort die Funktion auf Monotonie und skizzieren Sie den Graphen im angegebenen Bereich.


Würde mich wirklich seehr über eine Erklärung dieser Aufgabe freuen.
Schonmal danke
EJRicks ist offline   Mit Zitat antworten
Alt 20.04.2013, 13:37   #2   Druckbare Version zeigen
TRM  
Mitglied
Beiträge: 208
AW: Analysis-Aufgabe Verkettete Funktionen

Für deinen Test vielleicht etwas zu spät, aber dennoch:

a) Definitionsbereich:
Dies ist der Bereich, in dem die Definition definiert ist, d.h. er enthält alle Zahlen, die du in die Funktion einsetzen darfst. Aufpassen musst du nur, wenn du bei einer Zahl durch 0 teilen würdest, eine Zahl <=0 im Logarithmus steht oder eine negative Zahl unter der Wurzel (2., 4.,... Wurzel) stehen würde. Diese Zahlen wären dann im Definitionsbereich nicht enthalten. Bei deinem Beispiel also: D = R.
Wertebereich:
Dies ist der Bereich, in dem die Funktionswerte liegen. Bei deinem Beispiel:
Der Sinus ergibt immer Werte zwischen -1 und 1. mit 3 multipliziert ergibt das einen Wertebereich von W=[-1;1]

b) Nullstellen:
Das sind alle x-Werte, für die der Funktionswert 0 ist, also im Beispiel:
3*sin(1+2x)=0 => Auflösen nach x:
also: 1+2x = k*pi (mit k aus Z)
damit: x=0,5*(k*pi-1)
Extremwerte:
Die sind überall dort, wo die erste Ableitung gleich 0 ist.
also: f'(x) = 3*cos(1+2x)*2 = 0 => Auflösen nach x:
damit: 1+2x = 0,5*pi+k*pi (mit k aus Z)
Die zweite Ableitung sagt dir, ob es ein Maximum oder Minimum ist.

c) Nullstellen im Intervall:
einfach für k ganze Zahlen einsetzen und prüfen, ob der Wert im Intervall liegt. Einsetzen in obige Formel: x=0,5*(k*pi-1)
Extreme im Intervall:
Genau wie bei den Nullstellen.
Monotonie:
zweite Ableitung bilden, also f''(x) = ...
diese gibt das Krümmungsverhalten an.
Wendepunkt (keine Krümmung) bei f''(x) = 0
f''(x)>0 => linksgekrümmt
f''(x)<0 => rechtsgekrümmt

Gruß
TRM
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analysis, aufgabe, hausaufgabe, mathe

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