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Alt 28.12.2015, 21:25   #1   Druckbare Version zeigen
Physiklaische Technik Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 164
Cauchy-Folge

Hallo liebe Helfer,

leider muss ich noch mal stören.
Bin mir mal wieder ein wenig unsicher bei einer Aufgabe. Sie lautet folgender maßen:
Ist die Folge xn = n/(3n-1) eine Cauchy-Folge? Zeigen Sie dies mittels Definition.
Soweit ich weiß müssen doch 2 Kriterien bzw Bedingungen erfüllt sein damit es sich um einer Cauchy-Folge handelt. Einmal das sie konvergent ist und einen Grenzwert besitzt und das andere ist das gilt |xn-xm|<. für alle n,mE > und alle > 0
Bei den Bedingungen bin ich mir das erstemal unsicher.
Konvergenz:{\frac{n*(1)}{n*(3-\frac{1}{n})}}
für n konvegiert xn{\frac{-1}{3}}
Damit ist doch auch mein Grenzwert -1/3
Den setzte ich dann für Xm ein
--> {|\frac{n}{3n-1}-\frac{1}{3}|&lt;}
Das muss ich doch nun nach n umstellen oder?
{|\frac{n}{3n-1}|&lt;}{ +\frac{1}{3}}
{|\frac{3n-1}{n}|&gt;}{ \frac{3} {3e+1}} e=
{|\frac{3n}{n}- \frac{1}{n}|&gt;}{ \frac{3} {3e+1}}
{|3- \frac{1}{n}|&gt;}{ \frac{3} {3e+1}}
{|-\frac{1}{n}|&gt;}{ \frac{3} {3e+1}-3}
{|-\frac{1}{n}|&gt;}{ \frac{-9e} {3e+1}}
{|\frac{1}{n}|&lt;}{ \frac{9e} {3e+1}}
{n &gt;}{ \frac{3e+1} {9e}}
Verdammt, wieso funktioniert das jetzt.....vorher war die rechte Seite immer negativ, so das das das Kriterium nicht erfüllt war. Egal.
Wäre das soweit richtig für die Aufgabe? Müsste ich die Beschränktheit bzw noch die obere und untere Grenze bestimmen?

Andere Frage noch:
Es gilt: {(1-\frac{1}{n})^{n}=e}
Nun habe ich aber da stehen: {(1-\frac{3}{n})^{n}} {e?}
Ist ist doch ähnlich, ich weiß nur nicht was ich mit der 3 machen soll.
Physiklaische Technik ist offline   Mit Zitat antworten
Alt 29.12.2015, 15:34   #2   Druckbare Version zeigen
Auwi Männlich
Mitglied
Beiträge: 9.766
AW: Cauchy-Folge

Zitat:
Bei den Bedingungen bin ich mir das erstemal unsicher.
Konvergenz:{{\frac{n*(1)}{n*(3-\frac{1}{n})}}}
für {n -&gt;\,\infty} konvegiert {xn\ -&gt;\ {\frac{-1}{3}}}
wieso minus {\ \frac 1 3 \ \ \ }?
Auwi ist offline   Mit Zitat antworten
Alt 29.12.2015, 16:30   #3   Druckbare Version zeigen
Physiklaische Technik Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 164
AW: Cauchy-Folge

Gute Frage.
Hast recht es kommt + 1/3 raus.
Das macht zum Glück nicht viel aus.
Das Ergebnis wäre dann:
{ n&gt; \frac {3e-1} {9e} }
Wäre das nun rchtig für den Beweis der Cauchy-Folge?
Man könnte auch schreiben:
{ n&gt; \frac {1} {3}-\frac {1} {9e} }
Physiklaische Technik ist offline   Mit Zitat antworten
Alt 29.12.2015, 22:22   #4   Druckbare Version zeigen
Nick F. Männlich
Mitglied
Beiträge: 21.618
AW: Cauchy-Folge

das ist nicht die definition einer cauchy-folge. eine cauchy-folge erfuellt nur

{|x_m-x_n|&lt;\varepsilon}

fuer hinreichend grosse m und n

Nick
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Alt 29.12.2015, 22:38   #5   Druckbare Version zeigen
Physiklaische Technik Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 164
AW: Cauchy-Folge

hmmmmm....
Ich dachte es wären immer zwei Bedingungen. HAtte ich vlt auch shclecht in Erinnerung...
Also reicht es wenn ich den Grenzwert bilde, das in die Gleichung einetzte und dann n auflöse, in Abhängigkeit von Epsilon. Oder ist das komplett falsch?
Physiklaische Technik ist offline   Mit Zitat antworten
Alt 01.01.2016, 22:30   #6   Druckbare Version zeigen
Nick F. Männlich
Mitglied
Beiträge: 21.618
AW: Cauchy-Folge

der grenzwert sollte nicht berechnet werden. du sollst zeigen, dass dies eine cauchy-folge ist.

Nick
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Alt 01.01.2016, 23:16   #7   Druckbare Version zeigen
Physiklaische Technik Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 164
AW: Cauchy-Folge

Hy Nick,

das ist mir klar, nur wenn meine Antwort nicht passend auf die Frage ist, habe ich keine Ahnung wie ich das sonst machen soll.
Physiklaische Technik ist offline   Mit Zitat antworten
Alt 01.01.2016, 23:24   #8   Druckbare Version zeigen
Florian B Männlich
Mitglied
Beiträge: 396
AW: Cauchy-Folge

Setze xm und xn in
Zitat:
Zitat von Nick F. Beitrag anzeigen
{|x_m-x_n|&lt;\varepsilon}
ein und schau ob du ein N so groß wählen kannst, dass die ungleichung für alle m,n>N erfüllt ist.
__________________
Gott existiert, weil die Mathematik widerspruchsfrei ist, und der Teufel existiert, weil wir das nicht beweisen können.
André Weil
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Alt 02.01.2016, 09:50   #9   Druckbare Version zeigen
Physiklaische Technik Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 164
AW: Cauchy-Folge

{|\frac{m}{3m-1}-\frac{n}{3n-1}|&lt;}
da die Betragsstriche dort stehen gilt es doch immer oder?
--> gemeinsamen Nenner suchen und erstmal Brüche zusammenfassen
{|\frac{3mn-m}{9mn-3n-3m+1}-\frac{3mn-n}{9mn-3n-3m+1}|&lt;}
{|\frac{3mn-m-3mn-n}{9mn-3n-3m+1}|&lt;}
{|\frac{-m-n}{9mn-3n-3m+1}|&lt;}

nun gilt m>n und n,m >
Die Gleichung ist nun immer erfüllt solange nicht n=m ist.
Und so lange gilt {9mn-3n-3m+1}{0}
wenn ich also für m=1 wähle:
{9n-3n-2}{0}
{6n-2}{0}
{n}{\frac{1}{3}}
nun weiß ich allerdings nicht wie ich daran erkennen kann das es für alle vorllem für größere gilt
Physiklaische Technik ist offline   Mit Zitat antworten
Alt 02.01.2016, 16:02   #10   Druckbare Version zeigen
Nick F. Männlich
Mitglied
Beiträge: 21.618
AW: Cauchy-Folge

Zitat:
Zitat von Physiklaische Technik Beitrag anzeigen
Die Gleichung ist nun immer erfüllt solange nicht n=m ist.
die UNgleichung ist fuer m=n immer erfuellt. fuer m ungleich n nicht unbedingt. du musst nun aber N so waehlen, dass die ungleichung auch fuer alle m und n groesser als N gilt. normalerweise muss man dabei m und n gegen N abschaetzen.

Nick
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Alt 02.01.2016, 16:17   #11   Druckbare Version zeigen
Physiklaische Technik Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 164
AW: Cauchy-Folge

Achso stimmt...ja da hatte ich gerade eine Denkfehler. Hauptsache die linke Seite ist kleiner als Epsilon, kann also auch Null werden.
Da ich doch aber das Epsilon nicht kenne, kann ich doch sowas nicht abschätzen.
Egal was ich für die linke Seite an m und n einsetze, die Zahl wird immer positiv. Und Epsilon ist doch einfach eine Zahl größer Null. Da kann ich nun auch alles beliebige einsetzten, so das Gleichung immer gilt.
Ich seh da ja nichts was nicht passen sollte bzw. kann ich sowas schlecht abschätzen.
ICh sehs zumindest nicht, wahrscheinlich ist es es ganz einfach
Physiklaische Technik ist offline   Mit Zitat antworten
Alt 02.01.2016, 16:26   #12   Druckbare Version zeigen
Physiklaische Technik Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 164
AW: Cauchy-Folge

Ich könnt das natürlich so abschätzen wie am Anfang bei der Konvergenz bzw. bei der Granzwertberechnung. Aber das sollte ich ja nicht machen.

{\frac{m*(1)}{m*(3-\frac{1}{m})}-\frac{n*(1)}{n*(3-\frac{1}{n})}&lt;}

{|\frac{1}{(3-\frac{1}{m})}-\frac{1}{(3-\frac{1}{n})}|&lt;}
Das würdemir evtl.zeigen das es auch für größere gilt.
Dann frag ich mich aber, wie sieht dann eine Folge aus die dem Cauchy-Kriterium nicht entspricht? Gibt es da mal ein Beispiel?
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Alt 04.01.2016, 19:33   #13   Druckbare Version zeigen
Nick F. Männlich
Mitglied
Beiträge: 21.618
AW: Cauchy-Folge

Zitat:
Zitat von Physiklaische Technik Beitrag anzeigen
Da ich doch aber das Epsilon nicht kenne, kann ich doch sowas nicht abschätzen.
du schaetzt bezueglich epsilon ab. dh, du gehst davon aus, dass dir epsilon gegeben wird und suchst dann ein passendens N.

Zitat:
Zitat von Physiklaische Technik Beitrag anzeigen
Egal was ich für die linke Seite an m und n einsetze, die Zahl wird immer positiv. Und Epsilon ist doch einfach eine Zahl größer Null. Da kann ich nun auch alles beliebige einsetzten, so das Gleichung immer gilt.
niemand sagt, dass die ungleichung fuer alle m und n und alle epsilon gelten soll. du bekommst ein epsilon, dann musst du N bzgl des epsilons waehlen, sodass die ungleichung fuer alle m und n groesser als N gilt.

Zitat:
Zitat von Physiklaische Technik Beitrag anzeigen
Ich könnt das natürlich so abschätzen wie am Anfang bei der Konvergenz bzw. bei der Granzwertberechnung. Aber das sollte ich ja nicht machen.
du sollst nicht den grenzwertberechnen und dagegen abschaetzen. das bedeutet nicht, dass du nicht die selben methoden zum abschaetzen benutzen darfst.

Zitat:
Zitat von Physiklaische Technik Beitrag anzeigen
{|\frac{1}{(3-\frac{1}{m})}-\frac{1}{(3-\frac{1}{n})}|&lt;}
das sit schonmal ein guter anfang, aber du musst hier noch mehr machen. ich sehe hier noch kein N.

Zitat:
Zitat von Physiklaische Technik Beitrag anzeigen
Dann frag ich mich aber, wie sieht dann eine Folge aus die dem Cauchy-Kriterium nicht entspricht? Gibt es da mal ein Beispiel?
{a_n:=(-1)^n} oder {b_n:=n} zum beispiel

Nick
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Alt 04.01.2016, 20:35   #14   Druckbare Version zeigen
Physiklaische Technik Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 164
AW: Cauchy-Folge

Zitat:
Zitat von Nick F. Beitrag anzeigen
{a_n:=(-1)^n} oder {b_n:=n} zum beispiel

Nick
Zu den Beispielen muss ich mal laut denken. Vlt verwechsel ich da gerade etwas oder hau einfach nur noch alles durcheinander.
Das Cauchy Kriterium ist doch allgemein ein hinreichendes Konvergenzkriterium. Damit doch eine Cauchy Folge eine Cauchyfolge ist, muss diese doch auch konvergent sein. Damit eine Folge konvergent ist muss doch die notwendige Bedingung erfüllt sein das es sich um Nullfolgen handelt. Bei ihren Beispielen sieht man gleich das es keine Nullfolgen sind, also können das auch von vorherein keine Cauchyfolgen sein. Sehe ich das richtig oder hat das eine mit dem anderen gar nichts zu tun?
Solle es doch richtig sein, dann meinte ich natürlich ein Beispiel welches eine Nullfolge erfüllt aber dennoch keine Cauchyfolge ist.
Physiklaische Technik ist offline   Mit Zitat antworten
Alt 04.01.2016, 20:54   #15   Druckbare Version zeigen
Physiklaische Technik Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 164
AW: Cauchy-Folge

Zitat:
Zitat von Nick F. Beitrag anzeigen
das sit schonmal ein guter anfang, aber du musst hier noch mehr machen. ich sehe hier noch kein N.

{a_n:=(-1)^n} oder {b_n:=n} zum beispiel

Nick
Schön das es langsam vorwärts geht. Hab ich wohl doch mal was richtig gemacht
JA, wo soll ich da denn noch ein N reinbauen?
ICh versuch mal anhand deiner Aussage zu machen:
"du bekommst ein epsilon, dann musst du N bzgl des epsilons waehlen, sodass die ungleichung fuer alle m und n groesser als N gilt."
- du bekommst ein epsilon -> ich wähle = 10
- dann musst du N bzgl des epsilons waehlen, sodass die ungleichung fuer alle m und n groesser als N gilt -> Da n, m nur Werte der natürlich Zahlen annehmen, ist die Gleichung für alle N's erfüllt. Also m,n > N...
kein schimmer wie ich das jetzt noch die GLeichung einbauen soll...ich hab das Gefühlt das das voll kompliziert ist mit dem Cauchy-Quatsch
ODer soll ich nun einfach n, m durch N ersetzen:
{|\frac{1}{(3-\frac{1}{N})}-\frac{1}{(3-\frac{1}{N})}|&lt;}
Physiklaische Technik ist offline   Mit Zitat antworten
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