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Alt 01.02.2015, 22:08   #1   Druckbare Version zeigen
sue12345 weiblich 
Mitglied
Themenerstellerin
Beiträge: 158
Beweis der Gleichheit zweier Operatoren

Hallo Zusammen,

in folgender Aufgabe soll die Gleichheit zweier Operatoren bewiesen werden.
In der Aufgabenstellung wird ohne physiklischen Zusammenhang die Aufgabe gestellt folgende Annahme zu beweisen:

{ \exp(\hat D) \overset{!}{=} \hat T_{1}}

Mit
{\exp(\hat D) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {\hat D_{k}} {k!}}
Mit {\hat D =  \frac{d^{k}} { dx^{k}}}
Und {\hat T_{h} f(x) = f(x+h)}


Dazu gab es den Hinweis von der Reihenentwicklung einer beliebig oft differenzierbaren Funktion Gebrauch zu machen. Dabei fiel mir die Taylor-Reihe der Funktion cos(x) ein.


{cos(x) = 1 + \frac {x^2} {2!} + \frac {x^4} {4!}  + \frac {x^6} {6!} }

Wobei dies eher das Polynom darstellt, damit in der Rechnung nicht mit unendlichen Gliedern gerechnet werden muss. Ich weiß nicht wie ich es sonst aufschreiben kann.

Ab hier komme ich nicht weiter. Würde ich die Reihenentwicklung links einsetzen so müsste ich durch Umformen auf die rechte Seite kommen. So stelle ich mir das in der Theorie vor.
{ \exp(\hat D) f(x) \overset{!}{=} \hat T_{1} f(x)}
{ \exp(\hat D) f(x) \overset{!}{=} f(x+1)}
Wenn ich es aber tatsächlich tue, müsste ich jedoch ein endliches Polynom der cosinus-Funktion einsetzten und darauf kommen, dass durch die Anwendung des Operators { \exp(\hat D) } auf {cos(x) }, die Funktion {cos(x+1) } herauskommt.


Dies ist was ich bisher habe:

mit f(x) = cos(x)

{ \exp(1+ \frac {d} {dx} + \frac {d^2}{2 dx^2} + \frac  {d^3} { 3!dx^3}  + \frac{d^4} {4! dx^4} ) cos(x) = cos(x+1)}

Ab hier weiß ich schon nicht mehr wie ich weiter sinnvoll umformen kann.
Sind allein die bisherigen Schritte in Ordnung oder ist der Ansatz mit cos(x) schon falsch? Als ich das Ganze gerade nochmal durchgegangen bin kam mir die Idee f(x) als \exp(x) anzunehmen.

Dann wäre
{ \exp(1+ \frac {d} {dx} + \frac {d^2}{2 dx^2} + \frac  {d^3} { 3!dx^3}  + \frac{d^4} {4! dx^4} ) exp(x) = exp(x+1)}
{ \exp( 1+ \frac {d} {dx} + \frac {d^2}{2 dx^2} + \frac  {d^3} { 3!dx^3}  + \frac{d^4} {4! dx^4} +x ) = \exp(x+1)}
{ \exp( 1+ x ) \cdot \exp ( \frac {d} {dx} + \frac {d^2}{2 dx^2} + \frac  {d^3} { 3!dx^3}  + \frac{d^4} {4! dx^4}) = \exp(x+1)}


Jedoch führt mich das auch nicht auf einen grünen Zweig. Warscheinlich ist das was ich gerade mache ein permanentes "Sich-im-Kreis-Drehen". Ich bin dankbar für jeden Tipp.

Viele Grüße,

Sue

Geändert von sue12345 (01.02.2015 um 22:16 Uhr)
sue12345 ist offline   Mit Zitat antworten
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Alt 01.02.2015, 23:25   #2   Druckbare Version zeigen
Nick F. Männlich
Mitglied
Beiträge: 21.618
AW: Beweis der Gleichheit zweier Operatoren

entwickle {f(x+1)} in einer taylor reihe um x

Nick

ps. die rechnung, die hier im hinweis angedeutet ist, hat mit mathematik nicht viel zu tun. das ist reines handwaving. die eigentliche rechnung ist sogar sehr viel einfacher

{\frac{1}{h}(T_hf-T_0f)(x)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\to f'(x)\ (h\searrow 0)}

zeigt die behauptung. allerdings benötigt das tiefe theorie, die euch mit sicherheit nicht beigebracht wurde
__________________
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WIGGUM2016!
fridge := { elephant }

Bitte keine Fachfragen per PN.
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