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Alt 26.12.2015, 14:09   #1   Druckbare Version zeigen
Physiklaische Technik Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 164
vollständige Induktion bei rekrusiven Folgen

Erstmal frohe Weihnachten an alle.
Ich sitze hier an folgender Aufgabe:
Für die rekursiv definierte Folge a1=0, an+1=1/4*(an-3) für n>=1 ist lim n an= -1. Zeigen Sie per vollständiger Induktion das die Folge beschränkt ist, also es gilt -1 < an <= 0. Zeigen Sie anschließend das die Folge monoton fallend ist (Monotoniekriterium)
Für die vollständige Induktion muss ich doch erst eine Folge ermitteln, oder?
Also habe ich die ersten Glieder berechnet:
a1=0, a2= -1/4, a3= -13/16, a4= -61/64
Daraus versuche ich nun meine Vermutung aufzustellen für an.
Genau daran scheitert es gerade. Ich komme nicht über meinen Ansatz an=(1/4)^(n-1)*(n-1)hinaus. Wie muss ich das erwetern/vervollständigen das die Folge stimmt. ODer ist meine Idee falsch?
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Alt 26.12.2015, 16:31   #2   Druckbare Version zeigen
Florian B Männlich
Mitglied
Beiträge: 396
AW: vollständige Induktion bei rekrusiven Folgen

Du brauchst keine explizite darstellung der folge um die aufgabe zu lösen. Die rekursive darstellung ist gerade für die induktion gut geeignet.
Für die induktion musst du zeigen:
1. Induktionsanfang
{-1&lt;a_0\le 0}
(trivial)

2. Induktionsschritt
Falls gilt:
{-1&lt;a_n\le 0}
Dann gilt:
{-1&lt;a_{n+1}\le 0}
Um das zu zeigen kannst du die rekursionsformel verwenden.
__________________
Gott existiert, weil die Mathematik widerspruchsfrei ist, und der Teufel existiert, weil wir das nicht beweisen können.
André Weil
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Alt 26.12.2015, 17:38   #3   Druckbare Version zeigen
Physiklaische Technik Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 164
AW: vollständige Induktion bei rekrusiven Folgen

Das dachte ich mir shcon fast, das ich es nicht brauche.
Okay wir brauchen die Vorrausetzung für eine Induktion, die ist ja schon gegeben.
(Du meinst sicherlich bei nicht a0 sondern a1, denn das ist ja gegeben, a0 kenne ich ja gar nicht)
Danach stelle ich die Behauptung auf das die es für alle n=k und a=n+1 gelten muss.
Und dann versuche ich das irgendwie zu Beweisen.

Quasi darüber was du aufgeschrieben hast:
2. Induktionsschritt
Falls gilt:

Dann gilt:

Irgendwie weiß ich gerade nicht was ich machen soll. Bei einer normalen vollständigen Induktion wenn ich also die Reihe gegebenen habe, setzte ich einmal n=k ein und setzte die Gleichung gleich mit n=k+1. Dann rechne ich aus und vergleiche beide miteinander.
Setze ich dann hier a(n+1)=1/4*(an-3) mit der Gleichung a(n+2)=(a(n+1)-3) gleich? Aber die stimmen ja nie überein.
Physiklaische Technik ist offline   Mit Zitat antworten
Alt 26.12.2015, 18:39   #4   Druckbare Version zeigen
Florian B Männlich
Mitglied
Beiträge: 396
AW: vollständige Induktion bei rekrusiven Folgen

Zitat:
Zitat von Physiklaische Technik Beitrag anzeigen
(Du meinst sicherlich bei nicht a0 sondern a1, denn das ist ja gegeben, a0 kenne ich ja gar nicht)
Ja da ist a1 gemeint.

Beim induktionsschritt fängst du bei
{-1&lt;a_n\le 0}
an und versuchst auf
{-1&lt;\frac{1}{4}(a_n-3)\le 0}
zu kommen.
__________________
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André Weil
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Alt 26.12.2015, 19:03   #5   Druckbare Version zeigen
Physiklaische Technik Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 164
AW: vollständige Induktion bei rekrusiven Folgen

um von
auf

zu kommen, muss ich das erste doch mit 1/4 erweitern.
--> -1/41/4 an0 danach muss ich noch 3/4 subtrahieren
--> -11/4 an-3/4-3/4...dann klammer ich nur noch 1/4 aus
--> -11/4 (an-3)-3/4

und nun? Ich habe gerade das Gefühl das ich nicht das gemacht habe was ich machen soll Die Gleichung ist zwar nicht ganz die Gleiche aber erfüllt dennoch die Kriterien und man hat den Bereich weiter gegen -1 eingeschränkt.
Da der rechte Grenzwert weiter zu -1 eins wandert kann ich davon ausgehen das die Folge den Grenzwert -1 besitzt?
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Alt 26.12.2015, 19:29   #6   Druckbare Version zeigen
Florian B Männlich
Mitglied
Beiträge: 396
AW: vollständige Induktion bei rekrusiven Folgen

Du hast gezeigt, dass
{-1&lt;a_{n+1}\le -\frac{3}{4}}
gilt. Also gilt insbesondere:
{-1&lt;a_{n+1}\le 0}
was zu zeigen war.

Zitat:
Zitat von Physiklaische Technik Beitrag anzeigen
Da der rechte Grenzwert weiter zu -1 eins wandert kann ich davon ausgehen das die Folge den Grenzwert -1 besitzt?
Was meinst du mit rechter grenzwert?
Du hast bisher nur gezeigt dass alle folgenglieder zwischen 0 und -1 liegen. Im beweis dazu hast du auch gezeigt, dass alle an für n>1 zwischen -3/4 und -1 liegen, d.h. falls ein grenzwert existiert, liegt dieser zwischen -3/4 und -1. Es ist aber bisher weder gezeigt, dass die folge überhaupt konvergiert (das folgt wenn du die monotonie gezeigt hast), noch dass der grenzwert dann -1 ist (der grenzwert ist tatsächlich -1 aber die begründung ist unzureichend).
Also irgendwelche ideen für die monotonie?
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André Weil
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Alt 26.12.2015, 19:52   #7   Druckbare Version zeigen
Physiklaische Technik Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 164
AW: vollständige Induktion bei rekrusiven Folgen

Okay....irgendwo einleuchtend.
Mit dem rechten Grenzwert meinte ich die "Null"....an wird doch von 0 und -1 eingeschränkt. Nach dem ich alles umgeformt habe blieb immer noch -1 als Grenze stehen und aus der "null" wurde -3/4.....das meinte ich damit
die Folge konvergiert wenn für an > an+1 gilt, denn dann ist die monotonie fallend bzw. an meinem Beispiel muss ich glaueb ich zwigen das an+1 > an+2 gilt.

an+1=1/4*(an-3)
an+2=1/4*(an+1-3)
1/4*(an-3)>1/4*(an+1-3)
an+1 kann ich ersetzen durch 1/4*(an-3)
--> 1/4*(an-3) > 1/4*(1/4*an-15/4)
--> (an-3) > (1/4*an-15/4)
--> an > 1/4*an-3/4
--> 3/4 an > -3/4
--> da an zwischen -1 und 0 (eigentlich müsste laut der Definition ein statt einem einfach > - Zeichen) liegt ist dies erfüllt also ist die Folge monton fallend.
Damit wäre schon mal bewiesend as die Folge konvergent ist.
Und nun müßte ich beweisen das an den Grenzwert für n -> -1 besitzt.
Das mache ich eigentlich in dem ich für n= einsetze, aber ich habe ja keine Folge mit "n"....
Physiklaische Technik ist offline   Mit Zitat antworten
Alt 26.12.2015, 21:33   #8   Druckbare Version zeigen
Physiklaische Technik Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 164
AW: vollständige Induktion bei rekrusiven Folgen

ich könnte für an+2= -1 in die Gleichung an+2=1/4*(an+1-3) einsetzen und an+1 berechnen.
Wäre das Sinnvoll?
-1 = 1/4*(an+1-3)--> -4 = (an+1-3) --> an+1= -1 was zu beweisen wäre?

Geändert von Physiklaische Technik (26.12.2015 um 21:42 Uhr)
Physiklaische Technik ist offline   Mit Zitat antworten
Alt 26.12.2015, 22:05   #9   Druckbare Version zeigen
Florian B Männlich
Mitglied
Beiträge: 396
Zitat:
Zitat von Physiklaische Technik Beitrag anzeigen
Mit dem rechten Grenzwert meinte ich die "Null"
Die 0 ist eine obere schranke der folge und kein grenzwert.
Zitat:
Zitat von Physiklaische Technik Beitrag anzeigen
die Folge konvergiert wenn für an > an+1 gilt, denn dann ist die monotonie fallend bzw. an meinem Beispiel muss ich glaueb ich zwigen das an+1 > an+2 gilt.
Wieso willst du {a_{n+1}&gt; a_{n+2}} zeigen? {a_n\ge  a_{n+1}} reicht vollkommen aus. Einfach die definition von an+1 einsetzen und umformen. deine lösung ist zwar auch im richtig aber etwas umständlich. Außerdem müssen äquivanlenzpfeile anstatt folgerungspfeile vor die zeilen, weil du mit der zu zeigenden aussage anfängst.
Zitat:
Zitat von Physiklaische Technik Beitrag anzeigen
Und nun müßte ich beweisen das an den Grenzwert für n -> -1 besitzt. Das mache ich eigentlich in dem ich für n= einsetze, aber ich habe ja keine Folge mit "n"....
Da keine natürliche zahl ist kannst du nicht n= einsetzen weil {a_{\infty}} nicht definiert ist. Mit "einsetzen" meinst du wahrscheinlich das bilden des limes. Das geht bei rekursiv definierten folgen nicht.

Du kannst analog zum beweis der beschränktheit zeigen, dass für ein positives reelles c aus
{-1&lt;a_n\le -1+c}
folgt:
{-1&lt;a_{n+1}\le -1+\frac{1}{4}c}
Dann folgt induktiv {-1&lt;a_n\le -1+(\frac{1}{4})^{n-1}}
Die kovergenz gegen -1 folgt dann mit dem einschließungssatz oder direkt mit der grenzwertdefinition.
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André Weil
Florian B ist offline   Mit Zitat antworten
Alt 26.12.2015, 22:19   #10   Druckbare Version zeigen
Florian B Männlich
Mitglied
Beiträge: 396
AW: vollständige Induktion bei rekrusiven Folgen

Zitat:
Zitat von Physiklaische Technik Beitrag anzeigen
ich könnte für an+2= -1 in die Gleichung an+2=1/4*(an+1-3) einsetzen und an+1 berechnen.
Wäre das Sinnvoll?
Nein, denn du zeigst nur, dass falls ein folgenglied -1 ist, das vorherige folgenglied auch -1 sein muss (in dem fall wäre die ganze folge konstant -1). Da es aber wegen an>-1 kein folgenglied mit an=-1 gibt ist die voraussetzung schon falsch und damit kannst du nichts beweisen.
__________________
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André Weil
Florian B ist offline   Mit Zitat antworten
Alt 27.12.2015, 00:30   #11   Druckbare Version zeigen
Physiklaische Technik Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 164
Daumen hoch AW: vollständige Induktion bei rekrusiven Folgen

Zitat:
Zitat von Florian B Beitrag anzeigen
Die 0 ist eine obere schranke der folge und kein grenzwert.

Wieso willst du {a_{n+1}&gt; a_{n+2}} zeigen? {a_n\ge  a_{n+1}} reicht vollkommen aus.

Wieso einfach wenn es kompliziert geht

Zitat:
Zitat von Florian B Beitrag anzeigen
Du kannst analog zum beweis der beschränktheit zeigen, dass für ein positives reelles c aus
{-1&lt;a_n\le -1+c}
folgt:
{-1&lt;a_{n+1}\le -1+\frac{1}{4}c}
Dann folgt induktiv {-1&lt;a_n\le -1+(\frac{1}{4})^{n-1}}
Ah okay...ich glaube da wäre ich nie drauf gekommen. also betrachte ich erst {a_n} in dem ich so tue als würde ich mich von einer Seite annähern.
Danch betrachte ich das Folgeglied, bei dem weiß ich nun das ein 1/4 von irgendeiner Konstante dazu kommt.
Die {(\frac{1}{4})^{n-1}} kommen mir doch sehr bekannt vor. Das war mein Versuch eine Reihe zu bilden. Ich glaube nur nicht das ich von alleine drauf gekommen wäre das ich das nun als Konstante betrachten muss/darf/kann/soll um zu zeigen wie ich mich dem Grenzwert nähere in Abhängikeit von "n"
Erstmal vielen Dank.
Nun muss ich das mal noch sauber auf Papier bringen
Physiklaische Technik ist offline   Mit Zitat antworten
Alt 27.12.2015, 02:02   #12   Druckbare Version zeigen
Florian B Männlich
Mitglied
Beiträge: 396
Das ist eine häufig verwendete methode um grenzwerte von folgen zu berechnen.
Wenn du drei folgen an, bn und cn hast mit
{b_n\le a_n\le c_n}
und bn und cn konvergieren gegen den gleichen grenzwert g, dann muss an auch gegen g konvergieren.
https://de.wikipedia.org/wiki/Einschn%C3%BCrungssatz
in diesem fall ist {b_n=-1} und {c_n=-1+(\frac{1}{4})^{n-1}} und an deine gegebene folge.
bn und cn konvergieren gegen -1 also an auch.
Eigentlich ist der einschließungssatz hier aber überhaupt nicht notwendig, denn es gilt sogar an=cn, also ist cn die explizite darstellung der folge (kann man leicht mit vollständiger induktion zeigen). Mit dem einschließungssatz kann aber darüber hinaus zeigen, dass die folge an für beliebige startwerte a1 mit {-1\le a_1\le 0} gegen -1 konvergiert.
Außerdem sind deine berechneten folgenglieder aus dem 1. beitrag falsch...
es ist a2=-3/4, a3=-15/16 und a4=-63/64.
Hier sieht man schon, dass die explizite darstellung {a_n=-1+(\frac{1}{4})^{n-1}} ist.
__________________
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André Weil
Florian B ist offline   Mit Zitat antworten
Alt 27.12.2015, 08:57   #13   Druckbare Version zeigen
Physiklaische Technik Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 164
AW: vollständige Induktion bei rekrusiven Folgen

Ja, ich hatte schon festgestellt das ich zu doof war das erste Glied zu berechnen, des wegen waren auch die folgenden Glieder falsch.
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