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Physikalische Chemie Ob Elektrochemie oder Quantenmechanik, das Feld der physikalischen Chemie ist weit! Hier könnt ihr Fragen von A wie Arrhenius-Gleichung bis Z wie Zeta-Potential stellen.

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Alt 09.10.2018, 20:19   #1   Druckbare Version zeigen
lafayette  
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 8
Momentane Reaktionsgeschwindigkeit

Hallo,
ich arbeite gerade an meiner Seminararbeit zum Thema "Mathematik in der Chemie" (bin in der 12. Klasse) und möchte ein Kapitel über Differentialgleichungen in der Chemie schreiben. Bei Recherchen bin ich auf Kinetik bzw. Reaktionsgeschwindigkeit gestoßen und hab mich da eingelesen.
Dass die mittlere Änderungsrate detla c durch delta t ist, verstehe ich, aber dann bekomme ich einige Schwierigkeiten.
Die momentane Änderungsrate ist ja normalerweise die Tangentensteigung bzw. die erste Ableitung, hier wird sie nur als dc durch dt dargestellt. Aber was genau man damit anfängt, verstehe ich nicht wirklich. t soll ja gegen Null gehen, heißt das, die momentane Änderungsrate ist eigentlich nur dc? Und wie kann man das dann berechnen/ablesen?
Ich hoffe, ich bringe hier nichts durcheinander und die Frage ist nicht zu banal, aber das sind Studiumsinhalte und ich kenne niemanden, der etwas chemieverwandtes studiert. Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand erklären könnte, wie man konkret die momentane Änderungsrate berechnen kann. Muss dazu eine Funktionsgleichung gegeben sein so wie in Mathe?
Falls mir jemand diese Fragen beantworten kann oder zufällig auch noch einen anderen Bereich der Chemie kennt, in dem man Ableitungen oder Integrale konkret anwenden muss, wäre ich sehr dankbar
LG
lafayette ist offline   Mit Zitat antworten
Alt 09.10.2018, 21:27   #2   Druckbare Version zeigen
Adders Männlich
Mitglied
Beiträge: 591
AW: Momentane Reaktionsgeschwindigkeit

Die Reaktionsgeschwindigkeit ist definiert als Ableitung der Konzentration nach der Zeit. Mathematisch formuliert sieht das so aus:
{v = \frac{d[A]}{dt}}
Du hast also im Prinzip eine Funktion, die die Konzentration [A] bechreibt. Wird diese nach der Zeit abgeleitet dann hast du die Reaktionsgeschwindigkeit. Im Prinzip ist das nur eine andere Schreibweise für das sonst häufig übliche f'(x) für die Ableitung. Aber das hilft einem jetzt erstmal nicht sonderlich weiter.

Ich zeige dir einmal ein typisches Prozedere, wenn man mit Differentialgleichungen in der Reaktionskinetik arbeitet.
Erstmal: Was will man überhaupt erreichen jetzt mit einer kinetischen Beschreibung einer Reaktion? Man will z.B. aus einer gegebenen Startkonzentration vorhersagen, wie viel einer Substanz nach einer bestimmmten Zeit vorhanden ist.


Dazu muss man zunächst die Reaktionsgleichung kennen. Z.B. für die einfache Reaktion {A\rightarrow P}
Dann muss man für diese Reaktion eine Differentialgleichung aufstellen.
Wie ändert sich jetzt die Konzentration von A mit der Zeit oder mathematisch: {\frac{d[A]}{dt}=?}
1. [A] nimmt ab, also negatives Vorzeichen
2. A wird mit einer bestimmten (unbekannten) Geschwindigkeit verbraucht, die wir mal k (Geschwindigkeitskonstante) nennen. (mathematisch als Multiplikation mit [A], wenn die Reaktionsgeschwindigkeit abhängt von der Konzentration von A).


{\frac{d[A]}{dt}=-k[A]} (differentielles Geschwindigkeitsgesetz)

Das ist nun eine Differentialgleichung, die man lösen kann, denn damit kann man noch nichts wirklich berechnen. Und zwar nach "Trennung der Variablen". Hier kommt der Vorteil der differentiellen Schreibweise zum Tragen. Ich kann jetzt leider kein Mathebuch hier reintippen. Einfach gesagt müssen alle Terme mit [A] nach links und alle Terme mit t nach rechts, also die Variablen getrennt werden (daher der Name). Einfache mathematische Umformung:

{\frac{1}{[A]}\cdot d[A]=-k\cdot dt}
Jetzt müssen wir integrieren auf beiden Seiten. Bei einer bestimmten Integration brauchen wir außerdem noch Randwerte. Links integrieren wir von einer Ausgangskonzentration {[A]_0} bis zu einer Konzentration zum Zeitpunkt t {[A]_t}. Rechts integrieren wir von 0 bis t.
{\int_{[A]_0}^{[A]_t}(\frac{1}{[A]})d[A]=-k\cdot \int_0^t(1)dt}
Zur Erinnerung: Integral von 1/[A]=ln[A] und Integral von 1 = x (oder hier t).
{[ln[A]]_{[A]_0}^{[A]_t}=-k\cdot[t]_0^t} --->{ln[A]_t-ln[A]_0=-k\cdot t+k\cdot 0} ---> {ln\frac{[A]_t}{[A]_0}=-k\cdot t} ---> {\frac{[A]_t}{[A]_0}=e^{-k\cdot t}} ---> {[A]_t=[A]_0\cdot e^{-k\cdot t}}
So, damit haben wir jetzt eine Gleichung mit der wir arbeiten können (typisches Geschwindigkeitsgesetz 1. Ordnung). Wenn wir jetzt die jeweils anderen gegeben haben können wir eine der Größen der Gleichung berechnen oder z.B. überprüfen ob irgendwelche gemessenen Daten dieser Gleichung folgen.

Oder man könnte noch so Spielchen mit P machen. Wenn für jedes A, das verbraucht wird ein P gebildet wird, dann ist {[P]=[A]_0-[A]}


Das ist jetzt so ziemlich die einfachste Variation. Das ganze kann je nach Reaktion beliebig komplizierter werden. Z.B. für eine Reaktion {2A\rightarrow P}. Das Vorgehen ist aber immer das gleiche. 1. Aufstellen des differentiellen Geschwindigkeitsgesetzes. 2. Lösen der Differentialgleichung mit Randwerten.
Ich hoffe du hast vielleicht ein bisschen was davon verstanden. Sonst gerne noch mal fragen, oder ein Buch/Video auf Youtube suchen.

Geändert von Adders (09.10.2018 um 21:33 Uhr)
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Alt 12.10.2018, 17:18   #3   Druckbare Version zeigen
lafayette  
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 8
AW: Momentane Reaktionsgeschwindigkeit

Erst mal vielen Dank für die ausführliche Antwort! Zugegeben war ich am Anfang etwas verwirrt, jetzt dürfte ich allerdings den Großteil verstanden haben. ALso die Reaktionsgleichung muss gegeben sein, hab ich das richtig verstanden?
Und könntest du mir vielleicht noch einmal genauer erklären, warum man genau da integriert?
Wenn du einige gute Vorschläge für Bücher oder Videos hast, wäre ich sehr dankbar! Ich habe bisher noch keine richtige ausführliche Erklärung gefunden.
Liebe Grüße
lafayette ist offline   Mit Zitat antworten
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Alt 13.10.2018, 13:28   #4   Druckbare Version zeigen
Adders Männlich
Mitglied
Beiträge: 591
AW: Momentane Reaktionsgeschwindigkeit

Also wenn man so vorgehen will müsste die Reaktionsgleichung schon gegeben sein. Man kann aber auch umgekehrt aus Reaktionsmessdaten prüfen welche Reaktionsordnung vorliegt und daraus Rückschlüsse auf den Mechanismus ziehen.

Integrieren tut man dort um die Gleichung zu lösen. Du kennst ja bestimmt "normale" Integration aus der Analysis. Da steht dann ja idR. irgend eine Fkt. von x "multipliziert" mit dem dx, also z.B. {\int x^2\cdot dx}. Um das zu lösen wird nach x integriert.
Genau so ist es hier. Nur hier ist gegeben eine Fkt. von [A] und analog d[A]. {\int \frac{1}{[A]}\cdot d[A]}. Um das zu lösen muss eben nach [A] integriert werden, bzw. nach t auf der anderen Seite. Mit diesen Differentialausdrücken (mit dem d davor) kann man einfach direkt nicht so viel anfangen. Es ist aber wichtig sich damit vertraut zu machen, wenn man mit Differentialgleichungen und Integration arbeitet.


Hier mal ein Video, das das Vorgehen zur Kinetik noch mal beschreibt.
Und hier eines zu "Trennung der Variablen", wobei das nicht ganz bei null anfängt. Aber zu den Grundlagen von Differentialgleichungen findet man bei ihm auch was, glaube ich.
Und wenn du das verstanden hast aufbauend zu einer Reaktion 2. Ordnung.
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Alt 23.10.2018, 13:06   #5   Druckbare Version zeigen
lafayette  
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 8
AW: Momentane Reaktionsgeschwindigkeit

Vielen lieben Dank für deine Hilfe! Ich denke, jetzt müsste ich alles soweit verstanden haben.
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Stichworte
änderungsrate, kinetik

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