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Mathematik Mathematik benötigt man immer, auch in anderen Fächern. Dieses Forum soll als Anlaufpunkt bei der Lösung von mathematischen Fragestellungen dienen.

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Alt 05.01.2018, 15:39   #16   Druckbare Version zeigen
Lovecraft Männlich
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Themenersteller
Beiträge: 129
AW: Erzeugendensystem/Basis

Achsoo

Okay sind das die Polynome 0., 1. und 2. Grades? Also ist dann folgende Menge eine Basis von U?:

{B = \left{ax^{2}, \: bx, \: c \: \mid a,b,c \in \mathbb{R} \right}}
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Alt 05.01.2018, 17:09   #17   Druckbare Version zeigen
shipwater Männlich
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Beiträge: 2.106
AW: Erzeugendensystem/Basis

Nein, deine Menge ist viel zu groß.

Gruß Shipwater
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Alt 05.01.2018, 18:10   #18   Druckbare Version zeigen
Lovecraft Männlich
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Themenersteller
Beiträge: 129
AW: Erzeugendensystem/Basis

Hmmm also U ist definiert als Linearkombination der drei Funktionen {x^{2}, x, x^{0}} oder?
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Alt 05.01.2018, 20:16   #19   Druckbare Version zeigen
shipwater Männlich
Mitglied
Beiträge: 2.106
AW: Erzeugendensystem/Basis

Als Menge aller Linearkombinationen dieser drei Funktionen.

Gruß Shipwater
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Alt 05.01.2018, 20:36   #20   Druckbare Version zeigen
Lovecraft Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 129
AW: Erzeugendensystem/Basis

Dann sollte diese Menge als Basis reichen:
{B = \left{x^{2} \right}}, denn damit kann man den gesamten Unterraum erzeugen.
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Alt 05.01.2018, 21:58   #21   Druckbare Version zeigen
shipwater Männlich
Mitglied
Beiträge: 2.106
AW: Erzeugendensystem/Basis

Das reicht nicht. Kannst du damit {1} erzeugen?

Gruß Shipwater
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Alt 06.01.2018, 18:30   #22   Druckbare Version zeigen
Lovecraft Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 129
AW: Erzeugendensystem/Basis

Na für x=1 erhält man {x^2=1}? Verwechsel ich da was?
Ich suche doch Funktionen, mit denen man alle Funktionen 2. Grades erzeugen kann oder?
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Alt 06.01.2018, 18:48   #23   Druckbare Version zeigen
shipwater Männlich
Mitglied
Beiträge: 2.106
AW: Erzeugendensystem/Basis

Ich meine nicht als Funktionswert, sondern als Linearkombination. Da erhältst du doch nur die Vielfachen {a x^2} wobei {a \in \mathbb{R}} und das ist niemals gleich der konstanten Einsfunktion.

Gruß Shipwater
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Alt 06.01.2018, 19:33   #24   Druckbare Version zeigen
Lovecraft Männlich
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Themenersteller
Beiträge: 129
AW: Erzeugendensystem/Basis

Ah ok jetzt hab ich's!
Das ist eine Basis von U:
{B = \left{x^{2}+c \right}} mit {c \in \mathbb{R}}
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Alt 06.01.2018, 20:17   #25   Druckbare Version zeigen
shipwater Männlich
Mitglied
Beiträge: 2.106
AW: Erzeugendensystem/Basis

Deine Menge ist wieder viel zu groß. Beachte, dass du in der linearen Algebra hauptsächlich mit endlichdimensionalen Vektorräumen zu tun hast, das heißt deine Basen sind endlich.

Gruß Shipwater
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Alt 07.01.2018, 11:49   #26   Druckbare Version zeigen
Lovecraft Männlich
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Themenersteller
Beiträge: 129
AW: Erzeugendensystem/Basis

Hmm verstehe, d.h. meine Basis enthält exakt so viele Funktionen, wie ich benötige, um in diesem Fall alle Polynome 2. Grades zu erzeugen, wozu ja auch die konstante 1 Funktion gehört.

Also ist es { B = \left{ x^{2}, x, 1 \right} } und mit diesen drei Funktionen kann ich alle Funktionen der Form {ax^{2}+bx+c} erzeugen und zwar mit der Linearkombination {\lambda_1 x^{2} + \lambda_2 x + \lambda_3 1 = ax^{2} + bx + c \: a,b,c, \lambda_1,\lambda_2\lambda_3 \in \mathbb{R} \: } und damit habe ich auch nachgewiesen, dass mein B eine Basis von U ist.
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Alt 07.01.2018, 12:33   #27   Druckbare Version zeigen
shipwater Männlich
Mitglied
Beiträge: 2.106
AW: Erzeugendensystem/Basis

Jetzt ist die Basis richtig. Du hast aber erstmal nur nachgewiesen, dass es ein Erzeugendensystem ist (das ist klar per Definition). Die lineare Unabhängigkeit ist noch zu zeigen.

Gruß Shipwater
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Alt 07.01.2018, 13:18   #28   Druckbare Version zeigen
Lovecraft Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 129
AW: Erzeugendensystem/Basis

Cool

Gut, d.h. ich zeige jetzt, dass mein EZS linear unabhängig ist, also:

{\lambda_1 x^{2} + \lambda_2 x + \lambda_3 = 0 }
Die Gleichung ist Null, wenn {\lambda_1 x^{2}=0} und {\lambda_2x =0} und {\lambda_3 = 0}, somit ist {\lambda_1 = \lambda_3 = 0} und für {\lambda_2x =0} könnte ja wenn x=0, das lambda2 = 1 sein Hä, dann ist es ja nicht linear unabhängig
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Alt 07.01.2018, 13:34   #29   Druckbare Version zeigen
shipwater Männlich
Mitglied
Beiträge: 2.106
AW: Erzeugendensystem/Basis

Hi,

du musst das als Gleichheit von Funktionen lesen. Also seien {\lambda_1, \lambda_2,\lambda_3 \in \mathbb{R}} sodass {\lambda_1 x^2+\lambda_2 x+\lambda_3 =0} für alle {x \in \mathbb{R}}. Daraus soll folgen, dass alle Vorfaktoren trivial sein müssen.

Gruß Shipwater
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Alt 07.01.2018, 13:51   #30   Druckbare Version zeigen
Lovecraft Männlich
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Themenersteller
Beiträge: 129
AW: Erzeugendensystem/Basis

Also wenn ich jetzt die pq-Formel nutze, dann erhalte ich in {x_{1,2} = - \frac12 \pm \sqrt{- \frac34}} und das ist ja nicht mehr reell :l
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