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Mathematik Mathematik benötigt man immer, auch in anderen Fächern. Dieses Forum soll als Anlaufpunkt bei der Lösung von mathematischen Fragestellungen dienen.

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Alt 21.10.2017, 13:48   #1   Druckbare Version zeigen
Lovecraft Männlich
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Beiträge: 65
Boolesche Gesetze

Hi Leute!

Es geht darum folgende Formel so weit es geht zu vereinfachen und die dabei verwendeten Booleschen Gesetze zu nennen:

t=(x^y^¬z) v (x^¬y^z) v (x^¬y^¬z)
Term I v Term II v Term III

Meine erste Überlegung war das Distributivgesetz auf Term I und II anzuwenden, jedoch geht das doch nur wenn ich drei verschiedene Variablen habe oder? (und nicht wie hier 5: x,y,¬z,¬y,z)

Also z.B. bei (y^¬x) v (¬y^¬x) kann ich es anwenden und erhalte ¬x^(y v ¬y) und das ist dann nach Komplementärgesetz ¬x^1 und das ist nach Neutralität ¬x

Meine zweite Überlegung ist das Komplementärgesetz anzuwenden, entweder auf Term I und II (um das y oder z wegzubekommen) oder auf Term I und III (hier um nur das y wegzubekommen). Jedoch weiß ich nicht genau wie ich es da anwende, da die Terme ja durch ein oder getrennt sind.

Stehe auf dem Schlauch und bin für jeden Tipp sehr dankbar
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Alt 21.10.2017, 14:37   #2   Druckbare Version zeigen
Nick F. Männlich
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Beiträge: 21.567
AW: Boolesche Gesetze

x, y, und z in {(x\wedge y)\vee(x\wedge z)=x\wedge(y\vee z)} muessen keine variablen (atome) sein. das koennen auch wieder formeln sein.

Nick
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Alt 21.10.2017, 23:07   #3   Druckbare Version zeigen
Lovecraft Männlich
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Beiträge: 65
AW: Boolesche Gesetze

Ah also wenn ich Term I und III betrachte, kann ich dann folgendes machen:

Ich substituiere {a= y \wedge \neg z } und {b = \neg y \wedge \neg z},
sodass ich dann sagen kann { (x \wedge a) \vee (x \wedge b) } und nach dem Distributivgesetz ist das
{ x \wedge (a \vee b)}
Dann resubstituiere ich a und b und erhalte {x \wedge (y \wedge \neg z \vee \neg y \wedge \neg z)}
Und laut Kommutativgesetz kann man das in der Klammer auch schreiben als {( \neg z \wedge y) \vee  (\neg z \wedge \neg y)} und mit dem Distributivgesetz ist das {\neg z \wedge (y \vee \neg y)} und dann mittels Komplementärgesetz {\neg z \wedge 1} und dann das Neutralitätsgesetz
und ich erhalte { \neg z}, sodass t nun so aussieht:

{(x \wedge \neg z) \vee (x \wedge \neg y \wedge z)}

Ist das soweit richtig?
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Alt 22.10.2017, 14:24   #4   Druckbare Version zeigen
Nick F. Männlich
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Beiträge: 21.567
AW: Boolesche Gesetze

sieht soweit gut aus

Nick
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Alt 22.10.2017, 16:45   #5   Druckbare Version zeigen
Lovecraft Männlich
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Themenersteller
Beiträge: 65
AW: Boolesche Gesetze

Cool. Jetzt sehe ich jedoch, dass das Ergebnis so aussieht:

{(x \wedge \neg z)\vee (x \wedge \neg y)}

Bei mir ist aber noch das {\wedge z} drin in der rechten Klammer.

Ich könnte jetzt noch mal substituieren mit {c= \neg z , d = \neg y \wedge z} und damit {x \wedge (c \vee d)}, dann resubstituieren und es folgt {x \wedge ( \neg z \vee \neg y \wedge z)} und mit Kommutativgesetz {x \wedge ( \neg z \vee z \wedge \neg y)} und das ist mit Komplementärgesetz {x \wedge (1 \wedge \neg y)} und das ist mit dem Neutralitätsgesetz {x \wedge \neg y}
Doch das sieht ja dann nicht mehr nach dem Ergebnis aus. Hab ich was übersehen?
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Alt 22.10.2017, 17:35   #6   Druckbare Version zeigen
Nick F. Männlich
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Beiträge: 21.567
AW: Boolesche Gesetze

du solltest klammern setzen! denn du hast hier ein rechnung der form

{23=3+4\cdot5=7\cdot5=35}

durchgefuehrt

Nick
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Alt 22.10.2017, 18:02   #7   Druckbare Version zeigen
Lovecraft Männlich
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Beiträge: 65
AW: Boolesche Gesetze

Ah also nochmal:

Ich habe ja raus {(x \wedge \neg z) \vee (x \wedge \neg y \wedge z)}
Und da bringt mir eine Substitution nichts mehr, wie es aussieht.

Weil wenn ich es doch mache mit {c = \neg z} und {d = \neg y \wedge z}, dann habe ich {(x \wedge c) \vee (x \wedge d)} und das ist {x \wedge (c \vee d)}, also {x \wedge [(\neg z) \vee ( \neg y \wedge z)]}, aber das hat mich ja nicht weitergebracht?
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Alt 23.10.2017, 08:55   #8   Druckbare Version zeigen
Nick F. Männlich
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Beiträge: 21.567
AW: Boolesche Gesetze

doch, das hat dich weitergebracht schau dir den term in eckigen klammern noch genauer an

Nick
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Alt 23.10.2017, 09:52   #9   Druckbare Version zeigen
Lovecraft Männlich
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Themenersteller
Beiträge: 65
AW: Boolesche Gesetze

Hmm das in den eckigen Klammern sieht ein bisschen aus wie das Absorbtionsgesetz {A \vee (\neg A \wedge B) = A \vee B }, nur dass ich { \neg z} vor dem oder habe ... oder passt das so?
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Alt 23.10.2017, 10:04   #10   Druckbare Version zeigen
Lovecraft Männlich
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Beiträge: 65
AW: Boolesche Gesetze

Ahh ich habs, Danke!
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Alt 23.10.2017, 10:28   #11   Druckbare Version zeigen
Lovecraft Männlich
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Themenersteller
Beiträge: 65
AW: Boolesche Gesetze

Also ich bin so vorgegangen:

Mein Ausgangsterm:
{x \wedge [(\neg z)\vee ( \neg y \wedge z)]} und das ist {x \wedge [( \neg z) \vee (z \wedge \neg y)]} und dann mit deMorgan {x \wedge [ \neg (z \wedge ( \neg z \vee y))]} und dann mit Absorbtion {x \wedge [\neg (z \wedge y)]} und das ist {x \wedge (\neg z \vee \neg y)}
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Alt 24.10.2017, 12:47   #12   Druckbare Version zeigen
Nick F. Männlich
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AW: Boolesche Gesetze



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