Logarithmusgesetz beweisen - Mathematik

Lovecraft · 14.10.2017, 19:25

Hi Leute!

Unter Verwendung der Eigenschaften der Exponentialfunktion und der Definition der Logarithmusfunktion soll folgendes Logarithmusgesetz bewiesen werden:

${\log_{a}({\frac{1}{x}}) = - \log_{a} (x)}$

Ich bin so vorgegangen:

${1 = x^{\ 0} = x^{\ -1+1} = x^{\ -1} \; \cdot \; x^{\ 1}}$
${\frac 1x = x^{\ -1} \; | \: \log_{a}}$
${\log_{a}({\frac 1x}) = \log_{a}(x^{\ -1})}$ und da man den Exponenten vor den Logarithmus ziehen kann, folgt:
${\log_{a}({\frac{1}{x}}) = - \log_{a} (x)}$

Ist das so richtig? Denn ich habe ja hier nicht die Eigenschaften der Exponentialfunktion verwendet ...

pleindespoir · 14.10.2017, 22:46

${ - \log_{a} (x)= (-1) \cdot \log_{a} (x) = \log_{a} (x^{(-1)}) = \log_{a} (\frac {1}{x}) }$

Lovecraft · 15.10.2017, 10:33

Okay ich nahm an das wäre zu kurz. Danke!

pleindespoir · 15.10.2017, 11:55

Als vollständige Beweisführung wäre das auch wirklich zu kurz - schau was der Prof von Euch für einen Stil erwartet und wickel entsprechend ein paar Worte und Bezugnahmen auf andere Sätze drumherum.

Nick F. · 16.10.2017, 09:16

diese antwort wuerde bei mir keine punkte erhalten, da die zu beweisende aussage im "beweis" benutzt wurde.

es ist hier sinnvoller mit der rechten seite zu starten und die linke zu beweisen. dazu muss aber exponiert werden.

Nick