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Alt 11.06.2019, 19:07   #1   Druckbare Version zeigen
milha  
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 4
Fragen zur Elektronenwolke, dem Orbitalmodell und der Schrödingergleichung

Ich bin weiterhin am Repetieren des Abitstoffes und komme leider bei den Orbitallen nicht weiter. Hier einige(viele) Fragen:
1.Was sind Schwingungen? Warum sind Elektronenwolken dreidimensionale schwingende Systeme und deren Schwingunszustände dreidimensionale stehende Wellen?
Warum folgt aus de Brogli das Elektronenwellen eine Wellenlänge haben die im Verhältnis zum Umfang der Kreisbahn steht?
Warum erhält man durch die Schrödingergleichung neben den erlaubeten Schwingungszuständen die räumliche Ladungsverteilung und die Energie(was meint man damit?)? Und wie muss man Schwingungszustände räumlich vorstellen? Versteht man darunter nur die Ausrichtung der stehenden Wellen im Raum? Wie wird den das beschrieben?
2. Was versteht man unter den Quantengrössen l und m_L?Warum steht l im Verhältnis zu Drehimpuls und warum gibt es beim Anlegen eines Magnetfelds(warum wird dieser Fall überhaupt in Betracht gezogen) nur 2l+1 Orientierungsmöglichkeiten des Bahndrehimpulsvektors?Und warum können die Komponenten des Bahndrejimpulsvektors in Feldrihtung nur -h/(2*Pi)l...0...+h(2*Pi)l betragen? Wie kommt man beim d-Orbital auf die Ausrichtungen dx^2-y^2 und dz^2? Warum gibt es keine dx^2-z^2 und x^2 bzw. dy^2 Ausrichtungen?

Danke
milha ist offline   Mit Zitat antworten
Alt 12.06.2019, 07:53   #2   Druckbare Version zeigen
cg Männlich
Mitglied
Beiträge: 1.496
AW: Fragen zur Elektronenwolke, dem Orbitalmodell und der Schrödingergleichung

Zunächst wirst Du Dich in die Vorstellung dreidimensionaler Schwingungen einarbeiten müssen. Das ist nicht einfach. Die werden durch die bekannten Schwingungsgleichungen beschrieben. Es ist die mathematische Eigenart dieser Gleichungen, dass sie bestimmte Lösungen haben. (Vergl. Lösungen einer (zweidimensionalen) quadratischen Gleichung bzw. eines (zweidimensionalen) Polynoms)
Da die elekromagnetischen Schwingungen mit dreidimensionalen Gleichungen beschrieben werden können ergeben sich dreidimensionale Lösungen. Traditionell werden die als Orbitale (N. Bohr) bezeichnet und veranschaulicht, obwohl sie mit kreisenden Körpern nichts zu tun haben, auch nicht mit kreisenden Elektronen . (Die Sateliten im Orbit um die Erde folgen keiner Schwingungsgleichung. Ihre Bahn wird durch den makroskopischen Impuls bestimmt, den ihm die Rakete bzw. die Steuerungsdüsen mitgeben.)

Daraus ergeben sich dann die Antworten auf Deine weiteren Fragen.

Die Schwierigkeit besteht darin, dass die überkommenen Vorstellungen von Orbitalen anhand der chemischen und physikalischen Eigenschaften der Elemente entwickelt wurden, die zugehörige Mathematik jedoch erst viel später kam. (Vergl. Vorstellungen zur Gravitation von Aristoteles und von Newton.)

Damit solltest Du eigentlich das Abiniveau bereits übertroffen haben. Alles Weitere dann - vielleicht - im Studium.

Viel Erfolg und freundliche Grüße
cg
cg ist offline   Mit Zitat antworten
Alt 15.06.2019, 14:14   #3   Druckbare Version zeigen
KreativerBenutzername  
Mitglied
Beiträge: 6
AW: Fragen zur Elektronenwolke, dem Orbitalmodell und der Schrödingergleichung

Ich versuchs mal, ob ich es selbst verstanden habe ^^


Elektronenwolken sind schwingende Systeme, weil das Elektron vollständig durch eine Wellenfunktion beschrieben werden kann.* Die Wellenfunktion beschreibt die Aufenthaltswahrscheinlichkeit für das Elektron. Dadurch, dass Elektronen in Atomen offensichtlich um einen Atomkern herum lokalisiert sind (und dafür gibt es natürlich einen Grund, aber der ist erstmal nicht wichtig), sind ihre Aufenthaltswahrscheinlichkeiten um einen Bereich um den Atomkern herum begrenzt.** Die Summe der Aufenthaltswahrscheinlichkeiten innerhalb dieses Bereichs ist 1, weil das Elektron ja nunmal tatsächlich da ist. Und genau dieser Zustand lässt sich in Form einer stehenden Schwingung beschreiben, weil die Aufenthaltswahrscheinlichkeit über den Raum 1 bleibt, und die Schwingung, also die Wellenfunktion, nicht abklingt.


* plus Spin
** in Form einer Exponentialfunktion
KreativerBenutzername ist offline   Mit Zitat antworten
Alt 16.06.2019, 06:51   #4   Druckbare Version zeigen
cg Männlich
Mitglied
Beiträge: 1.496
AW: Fragen zur Elektronenwolke, dem Orbitalmodell und der Schrödingergleichung

Dieser Formulierung haftet immer noch die Vorstellung eines Körpers "Elektron" an. Das ist ähnlich problematisch wie die Vorstellung eines Photons als Teilchen.
Das "Elektron" schwingt nicht. Es würde sonst Energie abstrahlen und in Nullkommanichts in den Kern stürzen.
Das Elektron wird als stehende Welle beschrieben. Nur beschrieben eben. Was es ist unterscheidet sich von der Beschreibung genauso wie sich die Beschreibung eines Baumes sich von dem beschriebenen Baum unterscheidet. (Jeder ist anders und doch sind es alle Bäume. )

Es ist ohne Frage schwer, sich eine nicht abstrahlende stehende Welle vorzustellen. Stehende Wellen, die wir makroskopische wahrnehmen, geben laufend Energie ab. Das Elektron aber eben nicht.

Such is nature. Unser begrenztes Vorstellungvermögen ebenfalls.


Quantenmechaniker sagen beispielsweise, dass sie ab einem gewissen level nur noch rechnen und nicht mehr versuchen zu verstehen, geschweigedenn sich das vorzustellen, was die Rechnung ergibt.
cg ist offline   Mit Zitat antworten
Alt 16.06.2019, 09:45   #5   Druckbare Version zeigen
KreativerBenutzername  
Mitglied
Beiträge: 6
AW: Fragen zur Elektronenwolke, dem Orbitalmodell und der Schrödingergleichung

Zitat:
Dieser Formulierung haftet immer noch die Vorstellung eines Körpers "Elektron" an. Das ist ähnlich problematisch wie die Vorstellung eines Photons als Teilchen.
Das "Elektron" schwingt nicht. Es würde sonst Energie abstrahlen und in Nullkommanichts in den Kern stürzen.
Das Elektron wird als stehende Welle beschrieben.
Genau das habe ich doch geschrieben?
Zitat:
Elektronenwolken sind schwingende Systeme, weil das Elektron vollständig durch eine Wellenfunktion beschrieben werden kann.
KreativerBenutzername ist offline   Mit Zitat antworten
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Alt 16.06.2019, 20:37   #6   Druckbare Version zeigen
magician4 Männlich
Mitglied
Beiträge: 7.237
AW: Fragen zur Elektronenwolke, dem Orbitalmodell und der Schrödingergleichung

in ergaenzung, (m)ein blick auf die dinge, aus einer etwas anderen warte:

vorbemerkungen
Zitat:
Ich bin weiterhin am Repetieren des Abitstoffes (...)
hut ab von der oberstufe / dem gymnasium, welche(s) diese dinge zum abitur darbietet: meine erfahrung mit jungstudenten ( in technischen faechern) an der uni/fachhochschule ist eher, dass dort probleme schon beim schlichten logarithmenrechnen / exponentialfunktionsrechnen bestehen ( von integral- und differentialrechnung ganz zu schweigen), und dass manche novizen gar mit dreisatz/prozentrechnung bereits probleme haben.

{\to} meiner einschaetzung nach geht der von dir angesprochene themenkomplex weit ueber das tatsaechlich diesertage an schulen als abiturstoff gelehrte hinaus

Zitat:
Genau das habe ich doch geschrieben?
kennst du das wenn man meint, der/die andere habe etwas fast verstanden, aber dieses "fast" sind dennoch riesenabgruende von missverstaendnissen?
{\to} ich denke, cg hat genau ein solches gefuehl wenn er schreibt, du muesstest dich noch von diesem und jenem loesen...


ansonsten, zum inhaltlichen
Zitat:
Elektronenwolken sind schwingende Systeme, weil das Elektron vollständig durch eine Wellenfunktion beschrieben werden kann.

de Broglie formulierte 1924
( zunaechst fuer photonen, aber das gilt allgemein, wie wir heute wissen), dass man etwas stets und immer aus zwei blickwinkeln betrachten / beschreiben kann: als welle ( mit frequenz usw. , insbes. wellenlaenge) oder als objekt ( mit ruhemasse usw. , insbes. einem ort, an dem es ist)
{\to} da hatte der mann einen guten, nuetzlichen gedanken, der zwar fuer so manche logische hirnkraeuselungen sorgt*), mit dem man aber prima rechnen kann: es kommt schlussendlich naemlich ein ergebnis heraus, welches mit der beobachtbaren realitaet uebereinstimmt

{\to} elektronen "sind" keine schwingenden systeme, nein: ihre "uebergeordnete" realitaet ist "irgendwas anderes" ( und bis heute nicht wirklich verstanden), aber wenn ich sie (z.b. durch ein eperiment) dazu "zwinge", sich uns in einer von zwei (? gibt es mehr ... interssante frage) moeglichen "erscheinungsformen" ( die zudem zueinender voll-widerspruechlich sind, i.s.v. "entweder/oder" !) zu offenbaren, dann kann ich das ergebnis wahlweise mit den mitteln der punkthaft-klassischen physik beschreiben, oder der wellenartig-klassischen
... und die frage die sich schlussendlich stellt ist einzig, was uns menschlein hier das bequemere ( und ggf. psychologisch weniger herausfordernde) ist

daher: entscheide ich mich fuer die beschreibung der realitaet einen wellenhaften ansatz zu waehlen, so werde ich dadurch auch wellenhafte eigenschaften "der sache aufzwingen" - incl. aller moeglichen implikationen


die quantenmechanik versucht nun (u.a.: da kommt halt noch "Heisenberg" dazu), dieses aufloesen auf nur eine realitaet zu vermeiden, es quasi "mathematisch in der schwebe " zu lassen ( so lange es eben geht) - und erst den endeffekt ( z.b. das spektrum eines elements) eindeutig zu formulieren ( als ergebnis der berechnung, z.b. als wellenlaenge eines bestimmten "uebergangs"**))
Zitat:
Die Wellenfunktion beschreibt die Aufenthaltswahrscheinlichkeit für das Elektron.
nein: die wellenfunktion {\Psi} tut genau dieses nicht: erst das "quadrat" der wellenfunktion ( genauer: das produkt {\Psi \Psi^*} ) liefert dir sowas
... und auch das ist nicht "verstehbar", sondern hat sich nur als ausgesprochen praktisch herausgestellt, es derart zu formulieren ( weil man erst dann im ergebnis die realitaet zurueckerhaelt)
Zitat:
Dadurch, dass Elektronen in Atomen offensichtlich um einen Atomkern herum lokalisiert sind
wenn du "von minus unendlich bis plus unendlich, ueber das gesamte universum" als "um den atom kern herum lokalisiert" auffasst, dann hast du recht.
{\to} besser waere jedoch wohl zu sagen, dass {\Psi\Psi^* }in der naehe des atomkerns die hoechsten werte aufweist - etwas davon entfernt jedoch schnell stark abfaellt ( und aber nie null wird, egal wie weit man weggeht ! [knoten mal ausgenommen ... aber das ist ne andere baustelle])
{\to} man bekommt also schon dann integrale nahe 1, wenn man statt von minus unendlich bis plus unendlich halt nur ueber "+/- atomare abmessungen um den atomkern herum " rechnet

btw.: fuer beispw. das 1s-orbital hat {\Psi \Psi^*} innerhalb (sic!) des atomkerns seinen hoechsten wert (und nicht irgendwo "aussen, auf ner bahn" ... noch sonn' hirnzermatschender aspekt der sache )

Zitat:
Die Summe der Aufenthaltswahrscheinlichkeiten innerhalb dieses Bereichs ist 1, weil das Elektron ja nunmal tatsächlich da ist.
s.o., und siehe eingangsbemerkungen : merkt du auf welch toenernen fuessen diese aussage steht, wie nahe sie an einem kompletten missverstaendnis ist (obschon sie grade eben noch fast richtig ist, besonders mit deiner fussnote "als exponentialfunktion" als zusatz) ?

Zitat:
Und genau dieser Zustand lässt sich in Form einer stehenden Schwingung beschreiben (...)
das ist ( eben seit de Broglie) banal (s.o. : das gilt eben fuer alles und jedes): viel wichtiger ist doch, welche konsequenzen sowas hat / welche (neuen, ueberraschenden, erhellenden) einblicke /verstaendnismoeglichkeiten sich durch eine solche betrachtungsweise auftun, speziell eben fuer die combo "experiment: elektron nahe des atomkerns"

ansonsten, zu deiner originalfrage:
Zitat:
Was sind Schwingungen?
"schwingungen" ( als was bewegtes) bekommst du nur, wenn du statt einer "momentaufnahme" dann auch die zeitabhaengige schroedingergleichung formulieren wuerdest ( erst dort bewegen sich die amplituden zeitabhengig) - was man meist net tut
(neheres, auch mit dem versuch sowas mal in der synopse Bohr/de Broglie zu zeichnen) hier und hier

... und achtung: beides sind noch "klassische" betrachtungsweisen, irgendwie, denn erst wenn man das ganze dann noch mit der Heisenbergschen unschaerferelation "verheiratet" wird ein schuh ( = die qantenmechanik) draus

Zitat:
Warum sind Elektronenwolken dreidimensionale schwingende Systeme und deren Schwingunszustände dreidimensionale stehende Wellen?
sie "SIND" es nicht - aber man darf sie ja mal erkenntnishalber unter einem solchen blickwinkel betrachten und schaun, ob dabei interssantes, erklaerendes herauskommt
... und das tut es

Zitat:
Warum folgt aus de Brogli das Elektronenwellen eine Wellenlänge haben die im Verhältnis zum Umfang der Kreisbahn steht?
der erste teil ist trivial: jeder welle ihre eigene wellenlaenge
der zweite teil hingegen ( verhaeltnis, umfang, kreisbahn) ergibt sich daraus, dass die forderung sein muss, dass die amplitude nach 2{\pi} genau wieder dort ankommt, wo sie eine runde vorher begonnen hat: die katze muss sich also exakt in den eigenen schwanz beissen
... denn waere es anders, gaebe es dort "versatz", dann waere dieser versatz gleichbedeutend damit, das du instant interferenzeffekte erhieltest: eine solche "nicht - kreisgemaesse" wellenlaenge wuerde also dazu fuehren, dass sich ein solches system selbst ausloeschte
letzteres beobachten wir aber nicht***)
Zitat:
Warum erhält man durch die Schrödingergleichung (...)
weil die schroedingergleichung eben exakt zu diesem zweck konstruiert wurde, uns genau jene werte als ergebnis zu liefern.
nun kann man viele gleichungen herleiten/postulieren, mit deren hilfe irgendwelche groessen berechenbar werden: das charmante an der schroedingergleichung ist jedoch , dass sie erfolgreich darin ist ! (die berechneten groessen stimmen mit den gemessenen ueberein, wenn man die berechnungen nur nen hauch geschickter durchfuehrt als Schroednger + Co es anfangs taten, jedoch unter dem grundsaetzlich identischen leitgedanken {\to} quantenelektrodynamik)
Zitat:
die räumliche Ladungsverteilung
kenne ich die integrierte aufenthaltswahrscheinlichkeit ueber {\Psi \Psi^*} innerhalb eines volumenelements dV "irgendwo in kernnaehe", dann ist dies gleichbedeutend mit demjenigen teil der gesamtladung des elektrons welcher hier wirksam ist: weiss ich wo das teil sein koennte, dass weiss ich auch, welcher teil seiner gesamtladung hier effektiv wirksam ist ({\to} orbitalgestalt)
... und atome verhalten sich nunmal effektiv so, als waeren da derart berechenbare ladungsdichten tatsaechlich am start
... zumindest ist dies die bisher einleutendste erklaerung fuer die - auch chemischen - effekte welche wir macroskopisch beobachten
Zitat:
Energie(was meint man damit?)?
ganz klassisch: E= {\hbar} * {\nu}
{\to} die "erlaubte" frequenz (bzw. wellenzahl) ist gleichbedeutend mit einer zugehoerigen energie, denn h-quer ist eine konstante
Zitat:
Und wie muss man Schwingungszustände (...)Wie wird den das beschrieben?
zum versuch sowas zu zeichnen : s.o.
... und schlussendlich sind das 3d-grapen der loesungsfunktionen (unter einschluss von z.b. 95% der aufenthaltswahrscheinlichkeit) eben der speziellen Schroedinger-gleichung fuers betreffende system

Zitat:
Was versteht man unter den Quantengrössen l und m_L? (...)
diese groessen wurden von - if memory serves - Bohr eingefuehrt um die beobachteten eigenschaften der systeme zutreffend beschreiben zu koennen: alles dreht sich, aber eben nicht nur auff dem "grosskreis" allein, sondern es hat dazu noch "eigendrehung", nutation usw. usf. : ein geisteskind der damaligen physik halt, in der eben alles vorzugsweise als "drehungseffekte" verstanden wurde, just so wie bei den planeten und ihrem kreisen um das zentralgestirn
... was sich dann in der alternativen quantenmechanischen behandlung als eigenschaften der loesungen ( z.b. in der klassischen analysis "grad des polynoms {\to} anzahl moeglicher nullstellen" : in der QM werden das "knoten") herausstellte.
die Bohr'schen benamsungen wurden allerdings trotzdem beibnehalten - hatten sich halt bereits gut etabliert
btw.: Bohr hat diese groessen willkuerlich ( jedoch durchaus sinnhaft, so ist das ja net) ad hoc eingengfuehrt / einfuehren muessen
... und er hat ziemlich dran rumgefummelt um das "zur realitaet passend" hinzubekommen
{\to} seinen Nobelpreis hat der also keines wegs auffm jahrmarkt geschossen, dass war schon harte theoretische ausarbeitung !
... aber ne tiefere begruendung fuer die werte + ihre zusammenspiel als "dass es so passt, so und nicht anders" gab damals vorerst m.w.n. nicht
(ich find die begrundung allerdings trotzdem klasse: ich hab recht, kann man nachpruefen - aber nur wenn ich bestimmte annahmen treffe, deren weitere, tiefere begruendung ich net kenne)
Zitat:
Wie kommt man beim d-Orbital (...)
manche loesungen sind energetisch gleichwertig ( beim d-orbital sinds derer 5), jedoch nicht geometrisch ( bei d: 3 + 1 + 1 geometrien bzgl. eines willkuerlichen x,y,z-koordinatensystems)
... und die von dir vorgeschlagenen "weiteren" loesungen entpuppen sich bei naeherm hinsehen als kombinationen eben jener obigen 5 "basis"-loesungen.
warum nun sind genau jene 5 darstellungen "basishaft" ( und eben nicht andere denkbare combos?){\to} weil das mit der realitaet gut uebereinstimmt ( {\to} z.b. erklaert es die eigenschaften von komplexen ganz herrausragend gut), sich just jene 5 loesungen zur basis zu erheben, und eben keine anderen


soderle, ich hoffe mein etwas anderer blickwinkel ist dir nuetzlich

... und ja, das ist heavy stuff, und teilweise eben auch hirnkraeuselnd (oder, wie Bohr es so zutreffend formulierte: wer von den aussagen der quantenmechanik nicht empoert ist, der hat sie nicht verstanden)


gruss

Ingo


*)
deshalb ja auch das sprichwoertliche "shut up and calculate !" fuer diejenigen unter uns, welche sich "unterwegs" darueber gedanken machen wie es denn bittesehr sein kann, dass z.b. etwas einerseits einen "objekthaften" durchmesser von null hat ( elektron, lokalisiert), aber gleichzeitig nur dann eine aufsummierte aufenthaltswahrscheinlichkeit von 1 hat (elektron in der wellenformulierung), wenn man dazu raeumlich ueber das gesamte (!) universum inegriert: erst { _{-\infty}^{\ + \infty}\int \int \int \Psi  \Psi ^* \ }wird ja 1, fuer alle anderen grenzen kommt < 1 heraus ! (d.h. man kann sich auch net darauf hinausreden, dass "von minus unendlich bis plus unendlich " halt auch jeden beliebigen punkthaften ort innerhalb dieses intervalls mit einschliesst)
{\to} ist hier "null" und "unendlich" etwa das gleiche? und sowas soll man glauben/verstehen?
({\to} was wir glauben, ist mutter natur so ziemlich wurschtegalstens, und wenn wir mit "unserer" mathematik es eben derzeit net besser koennen ihr verhalten zu formulieren/zu beschreiben - und dann dabei kopfschmerzen bekommen ob der logischen implikationen - so ist das unsere sache)

**)
wobei selbst diese formulierung bereits wieder tricky ist, setzt sie es doch voraus, dass elektronen "bahnen" haetten, zwischen denen sie unter energieaufnahme oder - abgabe hin- und herwechseln koennten ({\to} achtung! : ohne den zwischenraum dazwischen zu "betreten" ... die verschwinden "hier" und tauchen "dort" instant auf, ohne den raum zwischen den bahnen "durchflogen" zu haben)
{\to} elektronen verhalten sich (bzgl. licht ) (effektiv, schlussendlich) nur so, als haetten sie solche bahnen, im experiment .... aber deshalb IST es noch lange nicht so, sondern es erscheint uns menschlein lediglich bequem, es darauf zu simplifizieren
{\to} wenn du voll gegen den baum laeufst wirkt das auf dich wie eine mauer, aber deshalb IST der baum noch lange keine mauer... (sondern du hast allenfalls einen moeglichen mauerhaften aspekt der komplexeren gesamt-realitaet des baums grad kennengelernt, indem du durch dein experiment "ich lauf da mal voll gegen" eben jenes erzwungen hast)

***)
bzw. , da ekeltroenchen naturgemaess doof sind und ausserstande, ihre eigene frequenz zu berechnen und einer erlaubten bahn anzupassen: wir beobachten, dass wir ansonsten nix beobachten - was auch so gesehen werden kann, dass wir halt nur das beobachten, was als "existenzfaehig" zurueckbleibt ( obschon alles andere auch "passiert" , sich aber ausnullt)
magician4 ist offline   Mit Zitat antworten
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