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Alt 22.04.2015, 14:03   #1   Druckbare Version zeigen
Stayfo Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 222
Beziehung zwischen einer Dichte und ihrer bedingten Dichte

Hallo,

mich beschäftigt gerade ein kleines Problem, über dessen Lösung ich nicht sicher bin. Ich habe eine reellwertige Zufallsvariable {X:\Omega \to \mathbb{R}} und will folgende Beziehung beweisen:

{f_{\{X \mid X \in [a,b]\}}(x) = \frac{f(x)}{\mathbb{P}(X \in [a,b])}}

Die Dichte auf der linken Seite der Gleichung ist die bedingte Dichte auf dem Intervall {[a,b]}, wobei auch {a=-\infty} und {b=\infty} zugelassen sind. Mein Ansatz ist der folgende mithilfe der gemeinsamen Dichte zweier Zufallsvariablen:

Die Zufallsvariable der bedingten Dichte nenne ich {Y_1}, und ihr Wertebereich muss {[a,b]} sein, also {Y_1: \Omega \to [a,b]}. Dann haben wir eine zweite Zufallsvariable {Y_2} über ganz {\mathbb{R}}, über die wir die Bedingung stellen, also {Y_2: \Omega \to \mathbb{R}}. {Y_1} hat die auf {[a,b]} beschränkte Verteilung von {Y_2}. Wenn wir nun die obige Dichte {f} als gemeinsame Dichte {f_{Y_1, Y_2}} der beiden Zufallsvariablen auffassen, gilt mit der Formel über die Dichte der bedingten Verteilung:

{f_{\{X \mid X \in [a,b]\}}(x) = f_{\{Y_1 \mid Y_2 \in [a,b]\}} (y_1,y_2) = \frac{f_{Y_1,Y_1}(y_1,y_2)}{\int_a^b f_{Y_1,Y_2}(y_1,y_2) dy_1 }= \frac{f(x)}{\int_a^b f(x) dx}= \frac{f(x)}{\mathbb{P}(X \in [a,b])}

Das ist gerade die einzige Lösung, die mir einfallen will. Für ein kritisches Anschauen bin ich sehr dankbar. Falls ihr andere Lösungsansätze kennt, die einfacher sind, bitte her damit.

Gruß
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Alt 22.04.2015, 17:03   #2   Druckbare Version zeigen
Nick F. Männlich
Mitglied
Beiträge: 21.618
AW: Beziehung zwischen einer Dichte und ihrer bedingten Dichte

ich bin nicht firm in was für bedingte dichten gilt, insofern kann ich deine lösung nicht ganz nachvollziehen. daher würde ich hier rein von der definition ausgehen. wir suchen die dichte des maßes

{P(X\in\cdot|X\in J)}

auf J wobei J eine messbare menge ist mit {P(X\in J)\in\mathbb{R}_{>0}}. mit anderen worten wir suchen die dichte von

{J\supseteq A\mapsto P(X\in A|X\in J)=P([A]X|[J]X)=\frac{P([A]X\cap [J]X)}{P([J]X)}=\frac{P([A\cap J]X)}{P([J]X)}=\frac{P([A]X)}{P([J]X)}=\frac{\int_Af(x)dx}{P(X\in J)}=\int_A\frac{f(x)}{P(X\in J)}dx}

tadaa

Nick
__________________
When I was your age, Pluto still was a planet.
WIGGUM2016!
fridge := { elephant }

Bitte keine Fachfragen per PN.
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Alt 22.04.2015, 19:46   #3   Druckbare Version zeigen
Stayfo Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 222
AW: Beziehung zwischen einer Dichte und ihrer bedingten Dichte

Sehr großer Dank an dich, Nick!

Warum einfach, wenn es auch kompliziert geht. Mit der Definition habe ich es auch schon versucht, aber ich bin wegen eines kleinen Denkfehlers, der mir gerade auch irgendwie nicht mehr einfallen will, daran gescheitert. :S

Es ist unglaublich, wie sehr man sich sein Hirn zerdenken kann.
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