Den Umfang von Perihel und Aphel kann man ja ganz einfach mit rmin und rmax berechnen. Aber bei der Umlaufdauer hab ich noch eine Frage:
Wenn ich die Geschwindigkeit vom Perihel berechnen will, dann muss ich ja einen kleinen Kreis betrachten mit dem Radius rmin. Ich gehe nun davon aus, dass sich die Umlaufdauer im Vergleich zu einem Bahnkreis im Aphel mit dem Radius rmax verkürzt. Deshalb setze ich in die Formel (1) für a = rmin ein.
Darf bzw. muss man das machen, oder muss man für T den konstanten Wert einsetzen?
Friedrich Karl Schmidt
21.10.2007, 12:54
Ich halte den Ansatz nicht für richtig. Für die Zentralkraft gilt jeweils
F \ = \ m \ v^2/r \ = \ const/r^2
Formuliert man dies für Perihel und Aphel , so ergibt sich bei Division der beiden Gleichungen ein geeigneter Zusammenhang.
Gruß FKS
Scurra
21.10.2007, 13:06
Nun gut, damit lässt sich problemlos das Verhältnis der Geschwindigkeiten zueinander berechnen, aber nun möchte ich die einzelnen Geschwindigkeiten berechnen. Dies ist mit ihrem Ansatz nicht möglich, weil F unbekannt ist.
Ich halte den Ansatz nicht für richtig.
Wo liegt darin der Fehler?
Friedrich Karl Schmidt
21.10.2007, 13:46
Nun gut, damit lässt sich problemlos das Verhältnis der Geschwindigkeiten zueinander berechnen, aber nun möchte ich die einzelnen Geschwindigkeiten berechnen. Dies ist mit ihrem Ansatz nicht möglich, weil F unbekannt ist. F ist nicht "unbekannt", wenn man die Konatante "const." gemäß dem Gravitationsgesetz ersetzr :
F \ = \ G \ * \ M \ * \ m /r^2 \
Gruß FKS
Scurra
21.10.2007, 16:43
Ok, wenn ich die Konstante einsetze, hab ich
\frac{m \cdot v^2}{r} = \frac{G}{r^2}
Und dann nur noch nach v umstellen. Sehe ich das so richtig?
Friedrich Karl Schmidt
22.10.2007, 21:08
Ok, wenn ich die Konstante einsetze, hab ich
\frac{m \cdot v^2}{r} = \frac{G}{r^2}
Und dann nur noch nach v umstellen. Sehe ich das so richtig?
Leider nicht. Aber das ist nicht Ihr Fehler, sondern meiner. Die beiden " r " sind nur im Fall einer Kreisbahn gleich. Bei einer Ellipsenbahm ist das r in
F \ = \ mv^2/r
der Krümmungsradius der Bahnkurve , der allerdings in Perihel und Aphel den gleichen Wert hat.
Das R im Gravitationsgesetz hingegen ist der Abstand des Perihel bzw. des Aphel vom Gravitationszentrum.
Tut mir Leid
Gruß FKS
Friedrich Karl Schmidt
23.10.2007, 08:50
Also noch einmal von vorn : Wie bereits geschrieben ergibt sicht aus ser Symmetrie der Ellipse, dass die Krümmungsradien R der der Bahn in Perihel und Aphel den gleichen Wert haben. Für die Zentrifugalkräfte gilt :
F_Z \ = \ \frac {mv^2}{R}
Aus dem Gleichgewicht mit der Zentipetalkraft , hier der Gravitation , folgt
\frac {G \ M \ m }{r^2} \ = \ \frac {m \ v^2}{R}
Formuliert man diese Beziehung für Perihel und Aphel , so erhält man bei Gleichsetzen der Krümmungsradien :
\frac {v_A^2}{v_P^2} \ = \ \frac {r_P^2}{r_A^2}
Diese Beziehung folgt im Übrigen auch aus der Drehimpulserhaltung. Eine weitere Bedingung für die Geschwindigkeiten ergibt sich aus der Energierhaltung. Dazu mehr im nächsten Beitrag .
Gruß FKS
Friedrich Karl Schmidt
23.10.2007, 11:21
Die Gesamtenergie E ist gleich der Summe aus kinetischer und potenzieller Energie , so dass diese Summe entlang der gesamten Bahn den gleichen Wert haben muss :
(m/2) \ v_A^2 \ - \ G M \ (m/r_A) \ = \ (m/2) \ v_P^2 \ - \ G M \ (m/r_P)
Die Summe der Abstände von Perihel und Aphel zum Gravitationszentrum ist gleich der Länge A der Ellipsenhauptachse :
A \ = \ r_A \ + \ r_P
Aus der Ellipseneigenschaft, dass die Summe S der Abstände eines Ellipsenpunktes zu den beiden Brennpunkten konstant ist, folgt mit A = Länge der Hautachse und D = Abstabd der Brennpunkte:
S \ = \ A \ = \ 2 r_P \ + \ D
Betrachtet man nun das rechtwinklige Dreieck, das von dem Schnittpunkt der beiden Achsen A und B, einem Schnittpunkt von B mit der Ellipse sowie einem Brennpunkt gebildet wird, so ergibt PYTHAGORAS für die Hypothenuse C :
C^2 \ = \(B/2)^2 \ + \ (D/2)^2
Weiterhin muss wegen
S \ = \ 2C \ = \ r_P \ + \ ( \ r_P \ + \ D \ ) \ = \ A
gelten :
A^2 \ = \ B^2 \ + \ D^2
So kann man D entsprechend ersetzen und erhält letztlich mit :
r_P \ = \ (1/2) \ ( \ A \ - \ D \ )
eine Beziehung für rP, den Abstand des Perihel vom Gravitationszentrum , in Abhängigkeit von den Längen der Ellipsenachsen A und B. Da man mit Hilfe von
r_A \ = \ A \ - \ r_P
auch den Abstand des Aphel vom Gravitationszentrum durch die Achsenlängen ausdrücken kann, verbleiben letztendlich zwei Gleichungen, die als Variable nur noch die Geschwindigkeiten in Perihel und Aphel enthalten, die somit berechnet werden können.
Gruß FKS
Scurra
23.10.2007, 15:53
Ok, danke für diese ausführliche Erläuterung. Wenn ich das alles nun richtig verstanden habe, meinen sie, dass letztlich nur v_A und v_P unbekannt sind. Die Geschwindigkeiten kann man schließlich durch {\frac {v_A^2}{v_P^2} \ = \ \frac {r_P^2}{r_A^2}} und den o.g. Energieerhaltungssatz lösen.
Friedrich Karl Schmidt
23.10.2007, 16:59
Ok, danke für diese ausführliche Erläuterung. Wenn ich das alles nun richtig verstanden habe, meinen sie, dass letztlich nur v_A und v_P unbekannt sind. Die Geschwindigkeiten kann man schließlich durch {\frac {v_A^2}{v_P^2} \ = \ \frac {r_P^2}{r_A^2}} und den o.g. Energieerhaltungssatz lösen. Ich bin nicht sicher, ob wir uns richtig verstanden haben. Sie hatten geschrieben, dass Sie " die einzelnen Geschwindigkeiten berechnen" wollen. Und meine Rechnung sollte zeigen , wie man das tun kann.
Dass man dazu Parameter der Ellipsenbahn benötigt, liegt doch auf der Hand. Oder etwa nicht ?
Gruß FKS
Scurra
23.10.2007, 18:40
Nun ja, rein mathematisch kann ich zwei Variable mittels zwei Gleichungen lösen. Die Gleichungen sind jene, welche ich oben genannt habe und die Variablen sind die Geschwindigkeiten.
a (große Halbachse), sowie die Exzentrität e sind bekannt. Somit kann ich rA mit rA = a (1+e) und rP mit rP = a (1-e) berechnen. G, M und m sind bekannt bzw. konstant, also sollte es doch möglich sein, die Geschwindigkeiten zu berechnen.
Um auf Ihre Gleichung zur Berechnung des Radius` einzugehen:
{r_A \ = \ A \ - \ r_P} ist nichts anderes als r_A = a (1+e) , nur anders ausgedrückt. Gleichermaßen kann ich mit rP argumentieren.
Ich kann zwar die meisten Ihrer Rechenschritte nachvollziehen, dennoch halte ich sie für nicht notwenig, um die Bahngeschwindigkeit zu ermitteln.
Sollte ich dort irgendetwas durcheinander gebracht haben oder missverstehen, so bitte ich um Aufklärung.
Friedrich Karl Schmidt
23.10.2007, 22:12
Natürlich kann man statt der Variablen (Hauptachse, Nebenachse) auch das Variablenpaar (Halbachse, Exzentrizität ) wählen.
Gruß FKS
Scurra
24.10.2007, 14:31
Nochmals danke, dass Sie sich die Zeit genommen haben, mir das zu erklären.