Abbildung, Matrix

[nobody]

Hallo zusammen,

kann mir vielleicht jemand erklären,
was eine "normale" Abbildung mit
einer Matrix zu tun hat und wie man
auf diese Matrix kommt??

z.B.: f: Kn-> Km
und wie kommt man nun auf die Matrix von f ?

Vielen Dank im voraus.
Gruß

[doppelelch]

Also mit Matrizen lassen sich nur "lineare Abbildungen" beschreiben.
Um nun die Matrix aufstellen zu können, musst Du wissen, was die gegebene Abbildung mit Deinen Basisvektoren macht.
Profan gesprochen stehen dann in den Spalten der Matrix jeweils die Bilder der Basisvektoren!

Ein Bsp.:

Die Spiegelung an der x-Achse im R2 unter Verwendung der kanonischen Basis (1;0), (0;1):

Mit (1;0) passiert dabei gar nix und (0;1) wird dabei zu (0;-1), also lautet die zugehörige Matrix:



1 0

0 -1





Das Ganze ist natürlich stark von den verwendeten Basen abhängig, sowohl vom Bild- als auch vom Urbildvektorraum. Glaube aber erstmal nicht, dass dies relevant sein wird für Dich.

Gruß
de

[nobody]

Vielen Dank erstmal,

heißt das, daß z.B.
gegeben: Basis B=(a1,...,an) von V (K-Vektorraum)
das Bild des j-ten Vektors der Basis, also f(aj)
der j-ten Spalte in der Matrix entspricht??
Gruß

[Lim_Dul]

Nicht ganz :)
Aber schon nah dran (Auf jeden Fall hast du das Prinzip anscheinend ungefähr verstanden).

Ich weiß nicht wie weit ihr Basen, Basiswechsel etc. schon hattet, von daher nicht wundern wenn manches vielleicht wie böhmische Dörfer klingt :) Im Zweifellsfall einfach nachfragen.

Hast du eine lineare Abbildung G und nimmst du die kanonische Standardbasis wo a1=(1,0,0,0,..), a2=(0,1,0,0,...) usw ist, so bildest du an ab und schreibst ihn die n-te Spalte der Matrix.
Dann hast du eine Matrix G und kannst G*v rechnen um die Abbildung von v rauszubekommen.

Hast du jedoch eine andere nicht Standard Basis, so musst du wenn du an abgebildet hast, denn noch bezüglich der alten Basis darstellen.
Willst du dann einen Vektor v abbilden, musst du ihn erst bezüglich der Basis darstellen, dann Matrix*Vektor rechnen, dann hast du den Zielvektor, allerdings dargestellt bezüglich der gegeben Basis.