Hallo, habe folgende Aufgabe "ausgegraben" deren Lösung mich interessiert:
"Ein Kupferblock wird in eibem gasdichten Behälter auf 100 K abgekühlt, die Wände de Behälter lassen sich über die eigenschaften eines schwarzen Körpers beschreiben. Zum Zeitpunkt t=0 wird die Kühlung ausgeschaltet und die Behälterwandung schlagartig auf 1100K aufgeheizt. Welche Endtemperatur nimmt der Kupferblock a)im Hochvakuum und b)in Heliumatmosphäre an? Wie sieht der Temperaturverlauf des Kupferblocks als funktion der Zeit aus (für t>0) für beide Fälle a) + b) aus."
Hat jemand dazu einen Lösungsvorschlag?
Danke schon mal
upsidedown
30.09.2002, 20:56
Hallo walhalla
Erstmal willkommen im Forum :)
Aber auch gleich als erstes ne Gegenfrage: In deinem Profil steht leider nicht allzuviel drin - wie vorbelastet bist du sowohl physikalisch als auch mathematisch? Das Berechnen der zeitlichen Verläufe führt nämlich zu etwas unhandlichen Differentialgleichungen, und das ist nicht mehr so jedermans Sache.
Mal sehn, wenn ich heut abend noch etwas Zeit finde schreib ich dir aber nochmal was zusammen, dass hoffentlich halbwegs verständlich rüberkommt.
Gruß,
UpsideDown
upsidedown
30.09.2002, 23:42
Na, denn man los...
Was ich mir da so gedacht habe funktioniert auch prinzipiell, nur ganz zum Schluss gibts einen kleinen Haken... Vielleicht ists aber trotzdem ganz interessant.
Also erstmal: Die Oberfläche der Umhüllung (Index 2) ist ein schwarzer Körper, d.h. <font class="serif">α</font>=1 => <font class="serif">ε</font>2=1
Für eine vollständig umhüllende Anordnuzng gilt für die Strahlungsaustauschzahl <font class="serif">ε</font>1,2:
<font class="serif">ε</font>1,2 = (<font class="serif">ε</font>1-1 + A1/A2 (<font class="serif">ε</font>2-1-1))-1
Was sich für ε1=1 zu <font class="serif">ε</font>1,2 = <font class="serif">ε</font>1 vereinfacht. <font class="serif">ε</font>Cu,poliert ist ungefähr 0,03.
Damit gehen wir in die Strombilanzgleichugn rein:
dQ/dt = ACu CS <font class="serif">ε</font>Cu,poliert ( (TWand)^4 - (TCu)^4 )
mit der Strahlungskonstante CS=5,67 * 10^-8 W /(m² K4)
jetzt noch für die Wärme den (differentiellen) Speicherterm im Kupfer aufstellen:
dQ = cp,Cu mCu dT
Einsetzen ergibt die Differentialgleichtung:
1/((TWand)^4 - (TCu)^4) dT = ACu CS <font class="serif">ε</font>Cu,poliert / (cp,Cu mCu) dt
Das ergibt dann integriert:
2 arctan(TCu/TWand) + ln((TWand + TCu)/(TWand - TCu) = 4 TWand³ ACu CS <font class="serif">ε</font>Cu,poliert / (cp,Cu mCu) t
Das lässt sich nun leider nicht explizit nach T(t) auflösen... (wie gesagt, ein kleiner Haken...)
Naja, vielleicht fällt mir ja die Tage noch was ein dazu ein.
Gruß,
UpsideDown