Integral durch Substitution lösen

[nobody]

Hallo,

weiss jemand wie folgendes Integral durch substitution mit u=(x)^1/3 zu lösen ist ?

Falls das durch substitution nicht machbar ist würde mich auch ein anderer lösungsweg interessieren.

<font class="serif">∫</font>1/[1+(x)^1/3] dx

Gruss Andreas

[nobody]

Ist schon etwas länger her, aber ich versuch's mal...

<font class="serif">∫</font> 1 / ( 1 + x(1/3) ) <font class="serif">&rarr;</font> f(x) = 1 / ( 1 + x(1/3) )

Substituiere: u = x(1/3) <font class="serif">&rarr;</font> x = g(u) = u3 <font class="serif">&rarr;</font> g’(x) = 3u2 <font class="serif">&rarr;</font> gquer (u) = u(1/3)

f(g(u))*g’(u) = 1/(1+u) * 3u2

<font class="serif">∫</font> 1/(1+u) * 3u2 (beachte: neue Integralgrenzen: gquer (a) und gquer (b))

Und dann vermutlich weiter mit partieller Integration...

Jessica

[buba]

Das Ergebnis müsste dem Term 3 ln(x1/3+1) + 3/2 x2/3 - 3 x1/3 + C entsprechen.

[nobody]

jup...bis zur partiellen integration war ich bis dahin auch...hab es nur nicht gewagt weiter zu machen weil die partielle integration recht umfangreich ist...aber da es keinen anderen lösungsweg zu geben scheint (erstaunt mich eigentlich da diese aufgabe unter richtig einfachen integralen zu finden war) hab ich mich dann mal an die partielle integration rangewagt...die verläuft über 3 schritte :(


ergebnis ist -->
u^2*ln|1+u| - 2*[u* (ln|1+u|*(1+u)-(1+u)) - ( [(1+u)^2]/2*(ln|1+u|-1/2))] + C

u muss nur noch durch 1+(x)^1/3 substituiert werden..

kann das jemand mal prüfen ? :D ;)


PS: bin mir ziemlich sicher das es auch eine einfachere lösung gibt...vielleicht auch ohne die substitution ?



PPS: kennt jemand noch eine andere möglichkeit integrale der form 1/x^2+ax+c zu lösen als partialbruchzerlegung und umformen zu x^2+1 um den arctan zu erhalten ? partialbruchzerlegung geht ja auch nur dann wenn nullstellen auffindbar sind so das man die gleichung als (x-a)*(x-b) schreiben kann.