Differentialgleichung

[nobody]

Bestimmen Sie die Lösungsfunktion folgender Differentialgleichung:

y'= -y2cos(x)

Hier mein Vorschlag:

dy/dx = -y2cos(x)

- 1/y2dy = cos(x)dx

- <font class="serif">∫</font>1/y2dy = <font class="serif">∫</font>cos(x)dx

1/y + C = sin(x) + C

[upsidedown]

Fass die beiden C's (die nicht gleich sind!) noch zu einer Konstanten zusammen, meinetwegen C* oder was auch immer. Aber ansonsten sieht das gut aus :)

Gruß,
UpsideDown

[nobody]

Wie fasst man das denn zusammen? Und das y müsste ich ja auch noch isolieren. :help:

[upsidedown]

:uh: Wo du es immer schaffst Probleme zu konstruieren wo keine sind :rolleyes:

Also, wenn du das ganz brav auf beiden Seiten integrierst, dann sieht das erstmal so aus:


- <font class="serif">∫</font>1/y2dy = <font class="serif">∫</font>cos(x)dx

1/y + C1 = sin(x) + C2

Das sind - anders als bei dir geschrieben, verschiedene Konstanten :rolleyes: Und da Konstante + Konstante wieder eine Konstante ergibt, und die eh (noch) unbekannt ist, kann man die auch zusammenfassen: C2 - C1 := C*

->

1/y = sin(x) + C2-C1
1/y = sin(x) + C*

Kehrwert bilden muss ich jetzt aber doch nicht mehr, oder?

Und dann noch y0 = y(x=0) reinflicken stellt hier doch wirklich kein Problem dar.

Gruß,
UpsideDown

[nobody]

Ok, danke... Aber wieso brauch ich jetzt ein y0 ? :confused:

[upsidedown]

Naja, in meinen Augen gehört zum Lösen von gewöhnlichen Differentialgleichungen auch das Lösen der zugehörigen Anfangswertaufgabe.

Und die ist hier ja auch wirklich nicht schwer:

x=0 ->

y0 = 1/(sin(0)+C*)
y0 = 1/C*

C* = 1/y0

Also ist die Lösung des Anfangswertproblems:

y = 1/( sin(x)+ 1/y0 )

Gruß,
UpsideDown