Hallo, da bin ich mal wieder:),
Heute gehts bei mir einmal um den Kosinussatz. Ich soll den beweisen. Nun habe ich das auf "normalem" Wege schon einmal gemacht, aber jetzt hat uns unser Prof einen Weg vorgeschrieben, den ich nicht ganz verstehe...
Also gegeben ist natürlich ein Dreieck von dem der Betrag der Seite c gesucht ist. Nun schreibt er, sollen wir zuerst die Länge von c durch die Vektoren a und b ausdrücken. Mein Ansatz dabei wäre gewesen: c = a * cos <font class="serif">β</font> + b * cos <font class="serif">γ</font> (die Winkel hab ich jetzt mal einfach so durchbenannt, aber es dürfte klar sein, was ich machen will, ich will c aus den Projektionen von a und b konstruieren). So nun schreibt er, sollen wir das ergebnis durch die Beträge der beiden vektoren (also a und b) sowie durch den Winkel ACB ausdrücken. Aufgrund dieses Satztes denke ich schon dass mein erster Schritt falsch ist, denn ich habe schon beim ersten schritt die Beträge von a und b stehen, allerdings zwei Winkel mit denen ich überhaupt nichts anfangen kann. Also wenn ich den ersten Schritt genauso nachvollziehen will, wie er da steht, dann muss ich "die Länge von c zunächst durch die Vektoren a und b ausdrücken". Also durch die Vektoren und nicht durch die Beträge...
Thx schonmal für die Hilfe und sorry das das alles so chaotisch beschrieben ist, aber momentan kann ich irgendwie nicht klar denken ;)
doppelelch
19.04.2002, 21:17
Ich denke, wenn ich mal Muße habe kann ich Dir helfen. Geht aber grad nicht.
Vielleicht Sonntag (wenn Dir das reicht!)
Sorry
de
buba
19.04.2002, 21:20
Wenn sich jetzt jeder meldet, dass er grad keine Zeit hat,... :rolleyes:
crazy_budgie
20.04.2002, 10:13
Hallo!
Ich weiß nicht, ob Du unter "auf normalem Weg" den Beweis meinst, den ich hier mein, aber falls nicht:
Es seien die Strecken AB a <font class="serif">→</font> , AC b <font class="serif">→</font> und BC c <font class="serif">→</font> , jeweils in der oben angegebenen Richtung.
Dann gilt:
c <font class="serif">→</font> = b <font class="serif">→</font> - a <font class="serif">→</font>
c² = (b <font class="serif">→</font> - a <font class="serif">→</font> )²
= b² + a² - 2 a <font class="serif">→</font> ° b <font class="serif">→</font>
(a und b sollen skalar multipliziert werden, aber das Zeichen tut nicht, deshalb das normale "Malzeichen" -- ° meinst du?).
Da das Skalarprodukt zweier Vektoren als das Produkt aus ihren Beträgen und dem Kosinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels definiert ist, gilt:
hmm danke sieht ja ganz einfach aus,
ja mit normalen Weg meinte ich so ein trigonometrischen den man auch überall im Inet findet.
Aber sieht alles sehr einleuchtend aus, so das war dann Mathe ;) , werde ich mich zu Chemie wenden............
Thx und cu
doppelelch
20.04.2002, 12:52
Originalnachricht erstellt von buba
Wenn sich jetzt jeder meldet, dass er grad keine Zeit hat,... :rolleyes:
Mensch, buba, es ging ja nur darum
1. Bescheid zu sagen, dass ich mich drum kümmern werde sobald es geht
und
2. zu fragen, ob ihm das bis Sonntag reicht.
(Genau das sind die Informationen die da drin stecken. Ich kann die eigentlich nicht als völlig sinnlos abtun!)
Selber :rolleyes:
Gruß
de
Anmerkung zum obigen Lösungsweg:
Da scheint sich mir durchaus die Katze in den Schwanz zu beißen, da sich genau die Aussage (das Skalarprodukt zweier Vektoren a und b ist gleich |a|*|b|*cos(gamma)) aus dem Kosinussatz ableitet.
(Womöglich gibt es noch andere Möglichkeiten, diese Beziehung herzuleiten, ist mir im Moment aber nicht bekannt - was nicht heißt, dass es sie nicht gibt! (Wie habt ihr das denn gemacht?)). Spontan fällt mir aber auch nichts weiter dazu ein, wie sich der Kosinussatz vektoriell noch anders herleiten ließe.
LittleIvan
20.04.2002, 20:14
Originalnachricht erstellt von doppelelch
Mensch, buba, es ging ja nur darum
1. Bescheid zu sagen, dass ich mich drum kümmern werde sobald es geht
und
2. zu fragen, ob ihm das bis Sonntag reicht.
(Genau das sind die Informationen die da drin stecken. Ich kann die eigentlich nicht als völlig sinnlos abtun!)
Selber :rolleyes:
Gruß
de
Anmerkung zum obigen Lösungsweg:
Da scheint sich mir durchaus die Katze in den Schwanz zu beißen, da sich genau die Aussage (das Skalarprodukt zweier Vektoren a und b ist gleich |a|*|b|*cos(gamma)) aus dem Kosinussatz ableitet.
(Womöglich gibt es noch andere Möglichkeiten, diese Beziehung herzuleiten, ist mir im Moment aber nicht bekannt - was nicht heißt, dass es sie nicht gibt! (Wie habt ihr das denn gemacht?)). Spontan fällt mir aber auch nichts weiter dazu ein, wie sich der Kosinussatz vektoriell noch anders herleiten ließe.
also nochmal danke für den Gehirnschmalz:)
Ich geh mal davon aus, dass das so stimmt, da wir das mit dem Skalarprodukt in der Vorlesung hatten (zwar nicht hergeleitet aber eben mal wieder als tatsache hingestellt)
also bis denne
crazy_budgie
21.04.2002, 08:50
Da scheint sich mir durchaus die Katze in den Schwanz zu beißen, da sich genau die Aussage (das Skalarprodukt zweier Vektoren a und b ist gleich |a|*|b|*cos(gamma)) aus dem Kosinussatz ableitet.
Also, wir hatten das vor etwa einem Monat mal in Mathe, und da hat auch jemand gefragt, ob es nicht unsinnig wäre, so den Kosinussatz zu beweisen, wenn sich doch das Skalarprodukt daraus ableitet. Aber unser Lehrer hat dazu gemeint, es gäbe wohl noch einen anderen Weg, das Skalarprodukt abzuleiten, deshalb wäre es schon sinnvoll, und dem hab ich einfach mal geglaubt, weil den Weg selbst wollt er uns nicht sagen, war keine Zeit mehr zu.
MfG CB
doppelelch
21.04.2002, 10:38
Frag doch nochmal nach :D
(Würde mich auch interessieren :D )
Gruß
de
crazy_budgie
21.04.2002, 11:03
Klar, mach ich, hab aber erst am Mittwoch wieder Mathe. Hoffentlich denk ich da noch dran, schreib's doch am Dienstag abend noch mal hier irgendwo hin ( bin sehr gut im Sachen vergessen :D )!
MfG CB
doppelelch
21.04.2002, 12:51
Hab jetzt auch nochmal kurz geblättert.
Es gibt wohl (klar!) die Möglichkeit das Skalarprodukt mittels cos.. zu definieren und daraus dann die Gleichung a*b=a(1)*b(1)+...+a(n)*b(n)
herzuleiten.
Das setzt wohl allerdings die Verwendung von Kurvenintegralen voraus - nicht ganz trivial.
Ich finde es, unabhängig vom Ergebnis Deiner Nachfrage - nach wie vor befremdlich (im Gang des Unterrichtes oder der Vorlesung) Aussage B aus Aussage A abzuleiten um dann wieder mit Aussage A Aussage B zu beweisen.
Naja, jedem das Seine
Gruß
de
crazy_budgie
21.04.2002, 15:57
Mal sehn, wenn mein Lehrer auch keinen zweiten Weg mehr weiß, stimm ich Deiner Meinung voll und ganz zu.
MfG CB
PS: Wo sind eigentlich Deine Elche abgeblieben?
kleinerChemiker
21.04.2002, 18:02
Gibts da nicht irgendwas mit einem gleichschenkligen Dreieck im Einheitskreis? Ich werd mal meine Mathehefte aus der erste Klasse rauskramen und nachsehen!
Gruß, Peter!
doppelelch
21.04.2002, 19:50
Äh, aber es soll jetzt nicht um ne elementargeometrische Herleitung des Kosinussatzes gehen, gelle :D
Gruß
de
P.S.:
(keine Angst, die Elche sind grad nur im Stall :D )
crazy_budgie
24.04.2002, 12:18
Also, für alle, die's interessiert, ich hab noch mal gefragt wegen Herleitung bzw. Definition des Skalarprodukts, das beruht NICHT auf dem Kosinussatz, d. h. der Beweis stimmt schon so.
Herleitung Skalarprodukt:
Gegeben sind zwei Vektoren a und b, die den Winkel <font class="serif">α</font> einschließen. Nun wird b auf a projeziert, dieser Vektor sei b0 ; analog entsteht der Vektor a0.
Diese Vektoren bilden jeweils ein rechtwinkliges Dreieck (hab leider keine Zeichnung dazu, kann man aber leicht selbst überprüfen!), deshalb gilt:
Diese Gleichungen kann man jetzt nach |b0 | bzw |a0 | auflösen. Nun wird die erste Gleichung mit |a| und die zweite mit |b| multipliziert, es ergibt sich:
Da diese zwei Ausdrücke gleich sind, wurde für sie das Skalarprodukt definiert, d.h.
a<font class="serif">→</font> *b<font class="serif">→</font> = |a|*|b|*cos <font class="serif">α</font>
(Übrigens, das Zeichen für Skalarmultiplikation tut bei mir irgendwie nicht, kommt immer ein Betragsstrich raus. Und das Alphazeichen überschreibt die letzten paar Buchstaben, also falls ich irgendwo vergessen hab, was wieder einzufügen...)
MfG CB
doppelelch
24.04.2002, 12:39
Ist ja ganz nett, aber keine Herleitung!
Wie ich schon sagte:
Originalnachricht erstellt von doppelelch
Es gibt wohl (klar!) die Möglichkeit das Skalarprodukt mittels cos.. zu definieren und daraus dann die Gleichung a*b=a(1)*b(1)+...+a(n)*b(n)
herzuleiten.
Das setzt wohl allerdings die Verwendung von Kurvenintegralen voraus - nicht ganz trivial.
Was Du in Deinem letzten Beitrag schreibst ist "lediglich" eine Begründung dafür, weshalb es sinnvoll sein kann, das Skalarprodukt so zu definieren, kein "Beweis" dieser Formel unabhängig vom Kosinussatz.
Was wir eigentlich gebraucht hätten, ist die Herleitung der Skalarprodukt-cos-Formel auf der Basis der zuvor eingeführten Definition des Skalarproduktes (=Summe der Produkte der Einzelkomponenten!) unabhängig vom Kosinusssatz. Das steht immer noch aus und ist mir zumindest nicht geläufig. (Kann ja sein, dass das irgendwie geht!)
Was im anderen Fall noch fehlen würde (allerdings nicht für den angeführten Beweis des Kosinussatzes, das stimmt!), wäre eine Begründung dafür, dass sich das Skalarprodukt auch in der gewohnten (oben beschriebenen) Weise (Summe der ...) berechnen ließe!
(Scheint mir, wie gesagt, nicht gerade trivial zu sein!)
Nach wie vor gilt für mich:
Ich finde es, unabhängig vom Ergebnis Deiner Nachfrage - nach wie vor befremdlich (im Gang des Unterrichtes oder der Vorlesung) Aussage B aus Aussage A abzuleiten um dann wieder mit Aussage A Aussage B zu beweisen.
denn so scheint es ja zunächst gelaufen zu sein.
Aber egal jetzt.
TROTZDEM:
DANKE für das hartnäckige Nachfragen bei Deinem Lehrer/Prof.! :D
Gruß
de
crazy_budgie
24.04.2002, 13:37
weshalb es sinnvoll sein kann, das Skalarprodukt so zu definieren, kein "Beweis" dieser Formel unabhängig vom Kosinussatz.
Versteh ich nicht ganz, ne Definition ist doch ne Definition und muss nicht erst bewiesen werden. Außerdem hat die Herleitung zwar mit dem Kosinus zu tun, also im Bezug auf die Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreick, aber basiert nicht auf dem Kosinussatz.
dass sich das Skalarprodukt auch in der gewohnten (oben beschriebenen) Weise (Summe der ...) berechnen ließe!
Die Formel kenne ich leider nicht, kannst Du mir vielleicht erklären, wie man sie anwendet, damit ich verstehe, was Du meinst? Ich kenn Skalarprodukt halt nur mit Kosinus.
Also, hab ich das dann jetzt richtig verstanden, dass Du einen Beweis dafür sehen möchtest, dass die definierte Skalarproduktformel und Deine Summenformel das gleiche sind, oder reden wir da aneinander vorbei? :confused: