Ich hab irgendwie voll die Probleme mit der vollständigen Induktion. Wenn ich zum Beispiel beweisen soll, dass 2+4+6+...+2n=n(n+1)ist, kann ich des noch tun. Aber wie soll ich zum Beispiel bei n² > 2n+1 eine vollständige Induktion durchführen?
Und wie soll ich bei der Folge 1+2+3+4+...+(2n-1) eine Vermutung über deren Summenformel aufstellen? Ich bin echt verzweifelt und hoffe auf eure Hilfe!
Rahul
17.03.2006, 23:25
Hallo,
vollständige Induktion ist am Anfang ein wenig schwer, aber eigentlich vom Prinzip her immer dasselbe.
z.B dein Problem:
Schema: Induktionsanfang, Induktionsvorraussetzung, Induktionsschritt
IA: n=1: 1² =1 > 3=2*1+1 stimmt nicht
weiter probieren, zeigt es stimmt mit n=3
IA: n=3: 3² =9 > 7=2*3+1 stimmt
Jetzt wollen wir zeigen, dass das für alle folgenden n gilt,
also nehmen wir an, für ein beliebiges n \in \mathbb{N} mit n>=3 gilt
folgende Aussage( die Induktionsvoraussetzung ist meistens die Aussage, die man zeigen will):
IV: n² > 2n+1
Dann machen wir den Induktionschritt, setzen also n hoch auf n+1, durch den
in Gedanken sich wiederholenden Schritt haben wir dann die Aussage für alle n>=3 gezeigt. Fangen wir auf der linke Seite der Aussage an
IS: zu zeigen: (n+1)² > 2(n+1)+1
(n+1)²=n²+2n+1
jetzt setzen wir die IV ein: n² > 2n+1, also
n²+2n+1 > 2n+1+2n+1
da n>=1, eigentlich sogar n>=3 gilt, folgt 2n > 1, also
2n+1+2n+1 > 2n+1+1+1 =2n+2+1=2(n+1)+1
und das war zu zeigen...
Und wie soll ich bei der Folge 1+2+3+4+...+(2n-1) eine Vermutung über deren Summenformel aufstellen? Ich bin echt verzweifelt und hoffe auf eure Hilfe!
Das ist doch die alte Geschichte mit dem Gauss als Schüler,
wo der Lehrer gerade zum Rektor gerufen wird und um die Schüler zu
beschäftigen, gibt er ihnen auf von 1 bis 99 alle Zahlen zu addieren.
Dann will er gerade herausgehen und dann nennt ihm Gauss schon das Ergebis:"4950"
Der Lehrer ist erstaunt und fragt, wie er das gemacht hat.
Gauss antwortet, er habe einfach 1+99=100 gerechnet und gesehen, dass das für
alle Zahlen bis 49+51=100 geht, also 49*100 plus 50 für die Mitte gleich 4950.
Hilft dir das weiter. (Ich glaube, eigentlich geht es in der Geschichte von 1 bis 100,
aber 1 bis 99 ist näher an deinem Problem)
MfG
Rahul
Corinnaleinle
18.03.2006, 14:37
Bis zu dem Schritt:
n²+2n+1 > 2n+1+2n+1
versteh ichs noch, aber weiter nimmer. Kannst du mir des bitte nochma erklären. Und die Geschichte mit dem Schüler hab ich au verstanden. Danke.
Rahul
18.03.2006, 15:00
Also gut, ich versuch es, aber wenn dein Verständnisproblem
an der Stelle ist, ist es nicht so einfach zu erklären.
Da muß eher bei dir irgendwann ein Aha-Erlebnis kommen,
wenn du dir noch mal den Kopf darüber zerbrichst.
Also:
2n+1+2n+1 erhält man nach Einsetzen der IV
Weil man weiß, das meine Aussage für alle n>=3 gelten soll,
weiß ich doch, dass 2n >= 2*3 =6 gelten soll.
Da aber 6 größer 1 ist, kann ich auch sagen, 2n > 1.
Das mache ich nur, weil ich weiß wie der Beweis ausgehen soll,
ich will ja auf der rechten Seite erhalten 2(n+1)+1=2n+2+1.
Ich habe da aber stehen 2n+1+2n+1.
Wenn ich die beiden vergleiche sehe ich, dass sich die beiden in 2n+2 gleich sind,
aber 2n und 1 unterscheiden...
Um den Beweis also zu Ende zu führen, muß ich diese kleine Überlegung machen,
dass 2n> 1 für alle n>=3 gilt.
Dann kann ich die Kette führen (n+1)² > 2n+1+2n+1 > 2(n+1)+1 und habe linke Seite
und rechte Seite zusammengebracht...
Tip:
Generell ist es für jede Beweisform angebracht, sich sowohl den Anfang als auch das Ende hinzuschreiben und ein wenig umzuformen, um sich dem eigentlichen Beweisschluss von beiden Seiten zu nähern. Dann sind man meistens klarer...
MfG
Rahul
expredator
10.04.2006, 13:50
Geht es eigentlich auch nicht so?
Du sagst jez einfach, dass n² S(n) und 2n+ 1 T(n) ist
Also: S(n):= n² > 2n + 1 =:T(n)
Rahul hat ja bereits gesagt,dass es für n > 3 gilt.