Noch ein Integral...

[nobody]

Hallihallöle,
gegeben ist folgendes Integral:

e^x-e^(-x)
∫ -------------- dx (von 0 bis 1)
e^x+e^(-x)

Nun, ich komme ja auf das Ergebnis, aber nur mit part. Integration usw.. Aber geht das auch einfacher?
Mit der Tatsache, dass f'(x) im Zähler und f(x) im Nenner steht, kann ich leider nichts anfangen :sad:

[doppelelch]

Also:

Substitution

u=e^x+e^(-x)

=>

du/dx=e^x-e^(-x)

=>

Integral von 1/u du = ln(u)

Grenzen: von 2 bis (e+1/e)

Rest sollte selber gehen.


Anmerkung:

Das gilt übrigens ganz allgemein für solche Fälle f´(x)/f(x).
Da ergibt sich als Integral ln(f(x)). Kettenregel ergibt dann beim Ableiten nämlich den Ausgangsquotienten.


Gruß
de

[barney]

Hallo,

also am einfachsten ist logarithmische Integration.
Wenn du ein Integral von der Art hast
f1(x)
?ç ----- dx (von a bis b) ( f1(x) ist die 1. Ableitung von f(x))
f(x)

dann ist die Stammfunktion [ln(f(x)].


Wenn du den Nenner substituierst mit u=e^x+e^(-x) und mit Substitution integrierst kommst du auf das Integral.

1
?ç --- du = [ln(u)]=[ln(e^x+e^(-x)]
u
Was dann auch wieder dasselbe Ergbnis bringt.

@doppelelch:
ich war wohl zu langsam :rolleyes:

[doppelelch]

Originalnachricht erstellt von barney

@doppelelch:
ich war wohl zu langsam :rolleyes:

LOL :D :D ätsch :D :D
(War nur grad zufällig in der Nähe, entschuldige!)

[nobody]

Stark! Danke für die schnellen Antworten.
Ich hatte bisher mit Substitution nichts zu tun, aber so langsam wird es mir klar, wie es funktioniert....

[buba]

Substitution braucht man hier doch gar nicht, wenn man sich mal gemerkt hat, dass das Integral von <nobr>f´(x)/f(x) dx = ln(f(x))</nobr> ist. ;)

[nobody]

@buba
das ist ja schön und gut, aber dann weiß ich jetzt schon, was am Rand meiner Klausur stehen wird....
Ehrlich gesagt raff ich das Prinzip immernoch nicht.
Kennt jemand vieleicht nen Link zu einer vernünftigen Erklärung der Substitution? Die Erklärung in meinem Mathebuch versteh ich leider nicht.

[upsidedown]

Mit nem Link kann ich dir zwar nicht dienen, aber ich werd mich mal an ner kurzen Zusammenfassung versuchen.

Ausgangspunkt: Du hast

<font class="serif">∫</font> f(x) dx

jetzt suchst du dir einen Term u(x), der dir für die Substitution erfolgversprechend scheint. Genau diese Auswahl ist auch der Knackpunkt ;)

Nehmen wir mal an wir haben ein sinnvolles u(x) gewählt.

Jetzt bilden wir u'(x). Das könne wir auch schreiben als

u'(x) = du/dx Das ist nicht nur eine symbolische Schreibweise, sondern eine echte Gleichung -> wir können sie umstellen ;)

--> dx = du / u'(x)

Jetzt setzen wir sowohl u(x) in das f(x) als auch den Term für das dx in das Integral ein. Das ist der Punkt wo wir sehen, ob unser u(x) gut gewählt war. In diesem Fall fallen nämlich alle x raus und wir haben das (hoffentlich) einfachere Integral

<font class="serif">∫</font> f(u) du zu lösen.

Wenn man bestimmt integriert muss man noch die Grenzen a und b durch u(a) und u(b) ersetzten.

Wie gesagt, das ganze steht und fällt mit der richtigen Auswahl von u (x) (im Zweifelsfall das unter der Wurzel ;))



Beispiel:

<font class="serif">∫</font> x / 1 + x² dx :eek:

aber: versuchen wir u(x) = 1+x² ;)

-> u'(x) = 2x =du/dx

-> dx = du / 2x

oben eingesetzt:

<font class="serif">∫</font> x/(2x u) du
=
<font class="serif">∫</font> 1/(2 u) du
:)

Das nervige x kürzt sich also durch die Subsitution von dx durch du.

Wirds langsam klarer?

Gruß,
UpsideDown

[doppelelch]

:up: Bin tief beeindruckt ob Deiner pädagogisch-didaktischen Fertigkeiten, upside :D :up:

[nobody]

Also ich bin mittlerweile soweit, dass ich verstanden habe, warum
u'(x)
&int;--------dx=ln(u(x)) ist. :)
u(x)


Nur, wie kommt die Gleichung u'(x) = du/dx bei deiner Herleitung zustande? Ansonsten ist es einleuchtend!

[doppelelch]

Vielleicht ist df(x)/dx geläufiger?

df(x) und dx sind (von Leibniz eingeführte) Kürzel für unendlich kleine (f(x)- bzw- x-) Differenzen.
df(x)/dx stellt somit eine mögliche Schreibweise für den Differentialquotienten dar, sprich für die Ableitung!

Klarer? Wenn nicht: nochmal nachfragen!

Gruß
de

[upsidedown]

@brainstore:

Kannst du dich noch dunkel an den Differenzenquotienten/Differentialquotienten erinnern? (Allererste Anfänge beim Ableiten/Differenzieren)


<font class="serif">&Delta;</font>y dy
-- -----> --
<font class="serif">&Delta;</font>x <font class="serif">&Delta;</font>x->0 dx


Mehr steht da gar nicht hinter. In der Schule drücken sich die Lehrer nur meistens darum so mit den Differentialen rumzujonglieren, obwohl man das durchaus darf. Soll wohl Verwirrung vermeiden..

@de: Danke für die Lorbeeren :):):)

Gruß,
UpsideDown

[nobody]

Ja, da kann ich mich noch gut dran erinnern. Ich denke, jetzt habe ich es verstanden!

Und vielen Dank, dass ihr euch so viel Mühe gebt.

[nobody]

Hey, vielen vielen Dank, dass hat mich jetzt echt ein Stück weiter gebracht! Ich versuche jetzt mal die Aufgabe von PeterK mit Deiner Hilfe zu lösen.