Allgemeine Potenzsumme - Beweis

[twixmix]

Hallo!
Folgendes Problem: Es ist gefragt ob sich jede Potenzsumme \sum_{k=0}^n{k^m} in ein Polynom m+1-ten Grades P_{m+1}(n)=\sum_{i=0}^{m+1}{a_in^i} mit geeigneten Koeffizienten a_i umwandeln lässt und dazu einen Beweis aufstellen. Also zusammengefasst:
\sum_{k=0}^n{k^m}=P_{m+1}(n)=\sum_{i=0}^{m+1}{a_in^i}
Mein Beweisansatz war folgender:

Beweis durch vollständige Induktion:

Induktionsbeginn
für m=1:
\sum_{k=0}^n{k}=P_2(n)=\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{2}n (richtig)
für m=2:
\sum_{k=0}^n{k^2}=P_3(n)=\frac{1}{3}n^3+\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{6}n (richtig)
für m+1
\sum_{k=0}^n{k^{m+1}} Wie soll man das auseinanderziehen?
Bzw für die andere Seite
\sum_{i=0}^{m+2}{a_in^i}=\sum_{i=0}^{m+1}{a_in^i}+a_{m+2}n^{m+2}=\sum_{k=0}^n{k^{m+1}}+a_{m+2}n^{m+2} Wie kann man das zusammenfassen?
Vielleicht ist mein Beweisansatz auch völlig falsch...ich weiß es echt nicht. Man müsste die Induktion ja eigentlich auch noch ma für n machen,oder?
Mir ist nebenbei so aufgefallen, dass immer gilt a_0=0 und a_{m+1}=\frac{1}{m+1} (also jedenfalls für m=1..4), wenn das irgendwie helfen könnte!

[Aetna]

Hallo twixmix,

für den Beweis kann man z. B. das Folgende zeigen (und benutzen):

\sum_{k=1}^{n}k^{m}*k = \sum_{k=1}^{n}k^{m}*(n+1) - \sum_{k=1}^{n} \sum_{j=1}^{k}j^{m}