Archiv verlassen und diese Seite im Standarddesign anzeigen : Beweis?
nobody
02.04.2002, 12:01
Hallo,
ich habe mal wieder eine tolle Aufgabe, bei der ich einfach nicht weiter weiß!
Und zwar:
Eine beliebige Fkt. 3. Grades hat eine Tangente an dem Punkt, dessen x-Koordinate zwischen den beiden rechten Nullstellen liegt. Diese Tangente schneidet den Graphen in seinem linken x-Achsenschnittpkt.
(Also z.B. folgende Komination: f(x)=1/6 (x+1)(x-1)(x-5) und t(x)=-2/3x-2/3)
Man soll nun beweisen, dass dieser Zusammenhang allgemein gilt.
Ehrlich gesagt habe ich keine Ahnung, wie ich an diese Augabe rangehen soll.
Kann mir da mal jemand weiterhelfen?
Lim_Dul
02.04.2002, 12:56
Hm ist eine Berührstelle mit der x Achse auch eine Nullstelle? Wenn das erlaubt ist, dann ist Aussage falsch. Man muss von ausgehen, das es 3 Nullstellen gibt, sonst haut die Aussage nicht hin. Dann muss es links noch eine Nullstelle geben.
Nu muss ich dummerweise weg, aber ich werde es heute abend ausführlich erklären was man daraus folgern kann. PS: Die Potenz x³ steigt/fällt schneller als linear ;)
nobody
02.04.2002, 14:11
Ich nehme mal an, dass drei Nullstellen vorausgesetzt werden. Also keine Berührstellen mit der x-achse!
nobody
03.04.2002, 09:30
Hat keiner ne Idee?
Mit dem Tipp von Lim_dul kann iich leider auch nichts anfangen...
doppelelch
03.04.2002, 10:49
Nochmal(?):
Du sollst folgendes beweisen?
Vor.en:
f(x)=ax3+bx2+cx+d
f(x1)=f(x2)=f(x3)=0
(O.B.d.A.)
x1 < x2 < x3
Beh.:
Es gibt eine Tangente t(x) mit
t(x) verläuft durch (x1/0)
und t(x) berührt f(x) an einer Stelle x mit x2 <= x <= x3
Habe ich das richtig verstanden?
Gruß
de
doppelelch
03.04.2002, 13:14
Sollte dem so sein, so kannst Du über die Stetigkeit der Änderung der Tangentensteigung vom relativen Extremum zwischen x(2) und x(3) bis zu x(2) argumentieren! Bzw. des Schnittpunktes der Tangente mit der x-Achse.
Der Schnittpunkt ändert sich stetig von -oo bis x(2) und wegen x(1) < x(2) gibt es also eine Tangente, welche die x-Achse bei x(2) schneidet!
Gruß
de
nobody
03.04.2002, 17:19
@de:Beh.:
Es gibt eine Tangente t(x) mit
t(x) verläuft durch (x1/0)
und t(x) berührt f(x) an einer Stelle x mit x2 <= x <= x3
Habe ich das richtig verstanden?
NEIN!
t(x) berührt f(x) an DER Stelle x mit 1/2(x2+x3)
Sollte das tatsächlich gelten, so ließe sich das eigentlich recht einfach zeigen.
Ich will nur den Beweisverlauf skizzieren:
(Ist eigentlich nur ein wenig Rechenarbeit)
Man wählt den Ansatz
f(x)=k*(x-a)*(x-b)*(x-c)
mit (O.B.d.A.) a < b < c
Dann sucht man einfach die Tangente an f(x) an der Stelle x=(b+c)/2
Durch Ableitung ermittelst Du die Steigung und einen Punkt hast Du mit x=(b+c)/2 auch. Damit lässt sich durch Punkt-Steigungsform die Gleichung der Tangente ermitteln und von dieser wiederum die Nullstelle.
Und diese sollte dann a sein. Wenn nicht, ließe sich auf diese Weise wohl auch schnell ein Gegenbeispiel konstruieren.
(Spontan neige ich dazu zu sagen, dass diese Behauptung nicht stimmt. Du bist sicher, dass sich die Aussage wirklich auf die exakte Mitte von b und c beschränkt?)
Gruß
de
nobody
03.04.2002, 19:20
Ja, es ist die exakte Mitte zw b und c gemeint!
Hmmmm, werde es mal durchrechnen
nobody
03.04.2002, 20:04
Ich habe es mal schnell mit Derive durchgerechnet (durchrechnen lassen). Es gibt in der tat zwei Schnittpkt.:
x1 =a ∨ x2 =(b+c)/2
Aber wenn ich das so überschaue, ist das ein brutaler Schreibaufwand. Und das für ne 4 Stunden Klausur (Gibt auch noch 3 andere Aufgaben)!
Gibt es da keine elegantere Möglichkeit?
doppelelch
03.04.2002, 20:54
Vielleicht!
(Ginge noch andersrum: Gerade durch die beiden Punkte legen und zeigen, dass es sich um eine Tangente an f handelt. Würde aber nicht behaupten, dass dies mit weniger Rechenaufwand verbunden ist!)
Also so brutal siehts mir jetzt nicht aus.
Naja, ist eben Geschmacksache.
Vielleicht fällt ja Lim noch was ein.
Außerdem ist das eigentlich immer der Moment, in dem mp67 auf der Bühne erscheint :D
Warten wirs ab!
Gruß
de
mp67
03.04.2002, 21:55
...und, peng, da issa...vermutlich zu spät, da mir LimDul sicher zuvorkommt. Der Trick ist folgender:
Um zur Gleichung der Tangente zu kommen, geht man von der Linearfaktorenschreibweise aus. In dieser lautet die Ableitung von f in x
f'(x)=(x-x2)(x-x3)+(x-x1)(x-x3)+(x-x1)(x-x2),
ausklammern von (x-x1) und Umstellen gibt
f'(x)=(x-x2)(x-x3)+(x-x1)2(x-(x2+x3)/2). Daraus folgt, daß für eine Tangente an der Stelle xt=(x2+x3)/2 der zweite Term wegfällt, d.h.
f'(xt)=(xt-x2)(xt-x3).
Weiter gilt nun für die Gl. der Tangente t(x)
t(x)=f(xt)-f'(xt)(xt-x), also
t(x)=(xt-x1)(xt-x2)(xt-x3)-(xt-x2)(xt-x3)(xt-x), was für x=x1 ganz offenbar 0 wird.
Nachsatz: Das gilt natürlich für die andere Tangente und den entsprechenden anderen Mittelpunkt völlig analog.
M.
doppelelch
03.04.2002, 22:06
Habe doch gar nichts anderes behauptet.
Ich dachte, jetzt kommt der Clou...
Naja, ok, zugegeben, ich hatte es noch nicht wirklich konkretisiert. Aber die Grundidee ist und bleibt dieselbe.
Komisch, mp gibt sich doch sonst nicht mit Ausformulierungen ab :D
(Haben wir ihn inzwischen infiziert?)
Gruß
de
Adam
03.04.2002, 22:22
...und, peng, da issa...vermutlich zu spät, da mir LimDul sicher zuvorkommt
Das ist ja hier wie im Wilden Westen... :)
Ja, ja die Mathe Freaks :D