Hätt da wiedermal ne brennende Frage, die mich interessiert!
Wie ist denn die Herleitung der Fkt.det. für eine Funktion in Abhängigkeit von zwei Variablen?
Also das berühmte: fxxfyy-fxy2 > 0
Dann ist an der STelle ein Extremum vorhanden!
Wie kommt man auf diese Herleitung dieser Formel?
Und was genau besagt die gemischt partielle Ableitung einer Funktion, was genau kann man aus deren Vorzeichen sagen in Bezug auf den Verlauf bzw. das Krümmungsverhalten der Kurve??
Für Links oder ne persönliche Erklärung wär ich sehr dankbar!
vlg, Peter!
Lim_Dul
31.03.2002, 02:45
Die Funktionaldetermeninante ist nichts anderes als die Determinate der Hesse matrix
( fxx fxy )
( fyx fyy )
Wobei die beiden gemischten Ableitungen gleich sind, wenn die Funktion 2x stetig partiell diffbar ist.
Wenn die Hesse Matrix nur postive oder nur negative Eigenwert besitzt, das heißt, transformibar zu einer Matrix der Folgenden Form ist:
( a 0 )
( 0 b )
Wobei a>0 und b>0 ODER a<0 und b<0 gilt, dann liegt ein Extremun vor (Die beiden partiellen ersten Ableitungen müssen natürlich null sein).
Warum nun ein Maximum vorliegt, wenn die Matrix definit ist, ergibt sich aus dem Taylerpolynom, wenn man es bis zum 2ten Grad aufschreibt .
Ich bekomme es nicht mehr ganz zusammen, da denke ich morgen nochmal nach, daher schreibe ich jetzt mal nur das Polynom im eindimensionalen hin. (Entwicklungspunkt x)
Im 2-dimensionalen sieht das ähnlich aus.
Für ein Extremun sieht das nun wie folgt aus:
f(x) ist ein fester Wert, die erste Ableitung ist 0, daher fällt der Term auch weg. Wenn nun die 2te Ableitung, die im 2-dimensionalen der Hesse Matrix entspricht für alle h grösser 0 oder für alle h kleiner 0 ist, dann sieht man, das dieser Term in einer kleinen Umgebung von x nie kleiner bzw größer als f(x) werden kann => Extremun.
Ich hoffe es war einigermassen verständlich.
kleinerChemiker
31.03.2002, 17:53
Originalnachricht erstellt von Lim_Dul
Wenn nun die 2te Ableitung, die im 2-dimensionalen der Hesse Matrix entspricht für alle h grösser 0 oder für alle h kleiner 0 ist, dann sieht man, das dieser Term in einer kleinen Umgebung von x nie kleiner bzw größer als f(x) werden kann => Extremun.
Ich hoffe es war einigermassen verständlich.
Bis zu dieser Stelle wusst ich noch alles, doch dann kamen die Probleme!
Was da oben im Absatz steht, das heißt doch, dass, wenn die zweite Ableitung im eindimensionalen negativ ist, dass in einer kleinen Umgebung h um diesen PUnkt f(x) herum alles kleiner ist, als ist der Punkt f(x) ein Maximum, ist die zweite Ableitung positiv, so ist in jeder kleinen Umgebung h um diesen Punkt f(x) herum alles größer als der Punkt f(x) woraus folgt, dass im Punkt f(x) ein Minimum ist!
Also so hab ich das verstanden und ich denk, das hab ich auch richtig verstanden!
Wenn man das jetzt jedoch mit der Hessematrix vergleicht, wo ist da die Analogie dazu? Versteh ich nicht!
Denn die muss darf ja nur positiv sein, damit ein Extremum vorliegt, bei der zweiten Ableitung im eindimensionalen ist es jedoch egal, ob positiv oder negativ, denn dies sagt nur, ob Max. oder Min! Aber bei der Hessematrix darf ja garkein negativer WERt rauskommen!
?
:confused:
vlg, Peter!
Lim_Dul
31.03.2002, 19:44
Die Determinate muss Positiv sein, das heißt nur das die Matrix an sich durchgehend positiv ODER durchgehend negativ sein darf.
( -1 0 )
( 0 -1 )
Auch diese Matrix hat eine positive Determinate, diese Matrix ist negativ definit.
Du musst die gesamte Matrix als 2te Ableitung sehen nicht die Determinate. Die Determinate ist sowas "ähnliches" Wie der Betrag. Du kannst genausogut im R^1 sagen, eine Funktion hat ein Extremun, wenn der der Betrag der 2ten Ableitung positiv ist.
kleinerChemiker
06.04.2002, 21:42
Aha!
ich glaub, ich habs jetzt einigermaßen verstanden!!
Vielen Dank für Deine Hilfsbereitschaft!