Zwei windschiefe Geraden + Punkt... (und weitere Übungsaufgaben) [Archiv]

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barney

29.03.2002, 23:22

Hallo,
kann mir jemand bei der Aufgabe hier weiterhelfen?

Bestimme die Gleichung der Geraden k, die durch den Punkt P geht und die windschiefen Geraden g u. h schneidet.

0 0 0 2
g: x= 0 + t*1 h: x= 4 + s*0
1 -1 1 -1

P(6/2/8).

mfg barney

buba

30.03.2002, 03:16

Weißt du, was rauskommen soll? Ich bekomme

6 1
k: X = 2 + u* 2
8 0

heraus.

Mein Ansatz war:
P, G0 (ein Punkt auf g) und H0 (ein Punkt auf h) müssen ja auf einer Geraden (k) liegen. G0 ist (0, t, 1-t) und H0 ist (2s, 4, 1-s).

Es muss gelten: Vektor(G0H0) = a·Vektor(PG0) = b·Vektor(PH0) (kollineare Vektoren).

Nehmen wir z.B. die ersten zwei Terme der Doppelgleichung:
Vektor(G0H0) = a·Vektor(PG0)

Das macht drei Gleichungen mit drei Unbekannten --> nach a, s und t auflösen. a=-1/3, s=1, t=5.

Wenn man das so gewonnene s und t in Vektor(G0H0) einsetzt, erhält man einen Richtungsvektor der Geraden k. Aufpunkt kann P sein, und schon hat man die Geradengleichung.

Und nun ab ins Bett *augenreib* :red_eyes:

doppelelch

30.03.2002, 09:16

WILLKOMMEN IM FORUM, barney!

buba

30.03.2002, 14:32

Das hab ich ganz übersehen. Nachträglich:
Willkommen im Forum, barney!

@de:
Und zu meiner Rechnung sagst du nichts? Ist das ein gutes oder schlechtes Omen? :D

barney

30.03.2002, 16:32

Danke für die Willkommensgrüße!

@buba:
Ich glaub dein Ansatz ist richtig ( hab keine Ergebnisse ).

Mir ist aber noch was anderes eingefallen:
Wenn ich eine Ebene aufstelle die P und die Gerade g enthält und diese Ebene dann mit der Gerade h schneide, dann hätte ich doch meinen zweiten Punkt für die gesuchte Gerade. Oder?
Als Ergebnis kriege ich dann:

6 4
x= 2 + t* -2
8 8

buba

30.03.2002, 16:55

So kann man's natürlich auch machen, es muss dasselbe rauskommen! Dein Richtungsvektor ist aber nicht kollinear zu (1, 2, 0); ich denke, du hast dich irgendwo verrechnet.
Bei mir kommt mit beiden Ansätzen ein zu (1, 2, 0) kollinearer Vektor heraus.

barney

30.03.2002, 18:12

Bei mir kommt wieder das gleiche raus wie oben?
Wie lautet bei dir die Ebene in der die Gerade g und P liegen:
E: -3*x1+2*x2+2*x3=2

Schneide ich nun h mit E komme ich auf den Schnittpunkt F(2/4/0).
Und der als Richtungsvektor der gesuchten Geraden ergibt sich
FP( 4/-2/8).
?

Ist meine Ebene falsch?

doppelelch

30.03.2002, 18:18

Originalnachricht erstellt von buba

@de:
Und zu meiner Rechnung sagst du nichts? Ist das ein gutes oder schlechtes Omen? :D

Habe es mir ehrlich gesagt nicht näher angesehen, bin hier doch auch nicht der Oberkontrolletti!
Ich habe mir eigentlich nur gedacht, dass das, was von buba kommt, schon stimmen dürfte.

Und scheint sich ja auch zu bewahrheiten, wenn mit zwei unterschiedlichen Ansätzen dasselbe herauskommt.

Gruß
de

buba

30.03.2002, 19:46

@barney:

Dein Ergebnis stimmt - ich Dussel hab vergessen, den Vektor p vom Schnittpunkt abzuziehen. :rolleyes:
War ja schon spät... :D

Aber gut, dass das jetzt geklärt ist! :angel:

Eine Anmerkung noch: Gib als Richtungsvektor der Geraden k nicht (4, -2, 8) an, sondern (2, -1, 4). Schaut doch viel besser aus bei Richtungsvektoren. ;)

doppelelch

30.03.2002, 19:46

So, habe jetzt doch mal eben etwas Muße gefunden.

Also ich komme auf dieselbe Ebenengleichung, die Du hast, barney. An der kann es also nicht liegen!

Gruß
de

Nachtrag:

:D Gleichzeitig mit buba! :D :rolleyes:

Dann lag es also doch mal an Dir, buba.
Wie beruhigend, dass Dir so etwas auch mal passiert! :D

buba

30.03.2002, 19:51

Originalnachricht erstellt von doppelelch
Dann lag es also doch mal an Dir, buba.
Wie beruhigend, dass Dir so etwas auch mal passiert! :D
Hehehe :D

barney

30.03.2002, 20:23

puhhh.
ich dachte schon ich kann gar nicht mehr rechnen.
Hab in knapp 2 Wochen Mathe-Abi :eek:

doppelelch

30.03.2002, 20:42

Oh, viel Glück!

**daumendrück**

(Oje, darf gar nicht dran denken :rolleyes: Kommt dann ja auch wieder auf mich zu :rolleyes: :( )

Gruß
de

buba

30.03.2002, 20:55

Ich hab noch bis Mai Zeit (Abi LK Mathe)... http://mod.chemieonline.de/buba/erm.gif

Viel Glück schon mal, barney!

barney

03.04.2002, 12:18

Danke!

Habt ihr noch ein paar schwere Aufgaben für mich zur Übung?

Karch

03.04.2002, 12:47

@barney: Von genau der gleichen Art oder allgemein zur Vektorrechnung?

Bei Gelegenheit schreib ich ein paar ab und poste sie. Und natürlich viel Glück beim Mathe-Abi :)

barney

03.04.2002, 20:39

@Karch

Muss nicht so ne spezielle Aufgabe sein wie hier.
Vielleicht hast du was zum Thema Kugeln ( Kugel in Pyramide bestimmen... oder so).
Das sollte ich noch etwas üben. :rolleyes:

Gruß Barney

doppelelch

03.04.2002, 21:01

Hi barney,
schau doch mal hier ins Mathe-Forum rein, da war vor einiger eine interessante Aufgabe zum Thema Kugel.
Mom, schau mal eben nach der Überschrift...

Also: heißt "Kugelproblem" (Wie überraschend!).
Wenn Du mit Orthogonalität vertraut bist, kannste die machen!
(Ist wirklich nett!)

Gruß
de

barney

03.04.2002, 22:56

Die ist interessant, kenn ich aber schon,
von daher war sie schnell zu lösen :D

buba

03.04.2002, 23:55

Aufgabe 89/V

In einem kartesischen Koordinatensystem K sind die Ebene E: x1 + 2x2 + x3 - 7 = 0 sowie der Punkt A(4|9,5|8) und die Gerade g: X = (4; 9,5; 8) + λ(1; 4; 3), λ Element R, gegeben.

1.a) Bestimmen Sie den Schnittpunkt S von g und E und den Fußpunkt A0 des Lots von A auf E.

1. b) Die Gerade h sei die senkrechte Projektion von g auf E. Geben Sie eine Gleichung von h an.

1.c) Weisen Sie nach, dass die Gerade k: X = (2; 1,5; 2) + τ(1; -1; 1), τ Element R, in der Ebene E liegt, senkrecht auf h steht und den in Teilaufgabe 1a bestimmten Punkt S enthält.

2. In der Ebene E wird nun ein zweidimensionales kartesisches Koordinatensystem K' eingeführt mit dem Punkt S(2|1,5|2) als Ursprung und auf den Betrag 1 normierten Richtungsvektoren von h bzw. k als erstem bzw. zweitem Basisvektor.

2.a) Geben Sie die Koordinaten q1', q2' des in E liegenden Punktes Q(2|0,5|4) in dem neuen System K' an.

2.b) Berechnen Sie unter Verwendung von Vektoren aus K' den Winkel φ, den die Geraden h und SQ bilden.

2.c) Die Parallele zu h durch Q sei p. Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass der Abstand der windschiefen Geraden p und g gleich 3 ist.

barney

04.04.2002, 12:16

@buba

OK, Aufgabe 1 hab ich soweit, aber bei 2 komm ich nicht weiter.
Wie bestimme ich q'1 und q'2?

buba

04.04.2002, 16:14

Mit dem Ansatz:
Vektor(q) = Vektor(s) + q1' * (1. Basisvektor) + q2' * (2. Basisvektor)

barney

04.04.2002, 19:00

ok jetzt hab ich's. :)
q1'=sqrt(2) und q2'=sqrt(3)
Damit ergibt sich dann der Winkel zwischenh und SQ zu a=50,77°.
Und c.) ist mit dem Ergebnis dann auch klar.

buba

04.04.2002, 21:41

Korrekt. Glückwunsch!
Noch eine gefällig? ;)

barney

05.04.2002, 09:17

Klar!
immer her damit. :D

buba

05.04.2002, 14:00

Aufgabe 93/VI

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die drei Ebenen
E: 5x1 + 2x2 - x3 - 3 = 0
F: x1 - 2x2 - 5x3 + 15 = 0
G: x1 - 2x2 + x3 - 3 = 0
und der Punkt A(1|0|2) gegeben.

1.a) Ermitteln Sie eine Gleichung der Schnittgeraden s von E und F in Parameterform.

1.b) Weisen Sie nach, dass der Punkt A in E und in G liegt und dass G eine Lotebene der beiden anderen Ebenen ist.

1.c) Der Punkt A wird an der Geraden s gespiegelt. Der Bildpunkt wird mit C, der Schnittpunkt von AC und s mit Z bezeichnet. Berechnen Sie die Koordinaten von Z und C.

1.d) In der Ebene F legen zwei Punkte B und D eine Gerade d fest. Die Punkte B und D können so gewählt werden, dass ABCD ein Rechteck ist, das in einer Lotebene von s liegt. Berechnen Sie die Koordinaten von B und D. (Hinweis: Eine Skizze kann hilfreich sein.)

2. Die Punkte A, B, C und D werden nun mit einem beliebigen Punkt T (T ≠ Z) auf der Geraden s verbunden: Es entsteht die Pyramide ABCDT mit der Spitze T.

2.a) Begründen Sie, dass ABCDT stets eine gerade Pyramide ist, d.h. dass alle von T ausgehenden Kanten gleich lang sind.

2.b) Wie groß sind die auf Grad gerundeten Winkel zwischen den Seitenflächen und der Grundfläche ABCD, wenn alle Eckpunkte der Pyramide von Z gleiche Entfernung haben? (Hinweis: Die Berechnung der Koordinaten von T ist nicht erforderlich.)

nobody

05.04.2002, 17:22

@buba

Mit dem Ansatz:
Vektor(q) = Vektor(s) + q1' * (1. Basisvektor) + q2' * (2. Basisvektor)

Irgendwie schnall ich des net! Wie kommt man auf q1'=2 und q2'=3 ?
Schön, das sind jeweils die Längen von h und k, aber doch nicht die Komponenten des Punktes Q', oder? :confused: :confused: :confused:

NACHTRAG:
Ooooops! Ich habe vergessen, k und h zu normieren.... Also ohne 1/2 bzw. 1/3 vor den Vektoren :D
Hoffentlich passieren mir diese dummen Fehler nicht beim ABI...

nobody

06.04.2002, 13:56

@buba
Zu Aufgabe 93/VI
Bist du sicher, dass du die Ebenengleichungen richtig abgeschrieben hast?
Denn die Ebene G ist nicht lotrecht zu beiden anderen Ebenen (Aufg 1b) E und F. Oder soll das so eine Fun-Frage sein?!?

buba

06.04.2002, 16:30

Also bei mir ist

1 5
-2 ° 2 = 5 - 4 - 1 = 0
1 -1

und

1 1
-2 ° -2 = 1 + 4 - 5 = 0
1 -5

und die Ebenen (E und G) und (E und F) somit lotrecht. :)

nobody

06.04.2002, 16:51

Gut, so habe ich auch weiter gerechnet. Anfangs kam ich mit dem Begriff Lotebene nicht klar und dachte mir, dass G nur Lotebene sein kann, wenn E Und F auch senkrecht aufeinander stehen...

barney

06.04.2002, 22:01

Also Aufgabe 1 hab ich:
C(1/1/4), Z(1/0,5/3), B(2/1/3) und D(0/0/3).

Bei 2a würde ich sagen das die Strecke ZT für jede Kante ja immer gleich ist und die Diagonalen AC und BD ebenfalls gleichlang sind und sich halbieren. ?

Bei 2b blick ich nicht mehr so ganz durch. :confused:

nobody

07.04.2002, 16:26

Bei 2b soll man höchstwahrscheinlich den Winkel allgemein ausdrücken, da T bisher noch nicht berechnet wurde.
Also einfach den winkel zw. dem richtungsvektor von (z.B.) AT und von der Geraden s berechnen.
Denk ich mir mal so!!?

buba

07.04.2002, 16:46

Die Koordinaten der Punkte B, C, D, Z sind richtig.

Die "Musterlösung" für 2a) lautet:

"Z ist Schnittpunkt der Rechtecksdiagonalen und somit Mittelpunkt des Rechtecks ABCD, das ganz in G liegt.
s steht auf G senkrecht und s schneidet G in Z.
Jeder Punkt T Element s befindet sich also senkrecht über der Rechtecksmitte, also sind alle Pyramiden ABCDT gerade."

Für 2b) berechnet man die Mittelpunkte von [AD] (M1) und [CD] (M2) und den Betrag von |Vektor(ZT)| = |Vektor(ZA)|.
Die Winkel erhält man aus den Gleichungen
tan φ1 = |Vektor(ZT)| / |Vektor(ZM1)|
tan φ2 = |Vektor(ZT)| / |Vektor(ZM2)|
φ1 = 58°, φ2 = 52°

nobody

07.04.2002, 18:58

Achso, dann habe ich die Aufgabe falsch verstanden. Bin davon ausgegangen, dass T frei wählbar auf s liegt....
Vielleicht sollte ich mir die Aufgabe mal richtig durchlesen :D

Karch

07.04.2002, 19:57

Noch eine Aufgabe:

Wir betrachten das Dreieck EBG im Würfel ABCDEFGH, wobei D im Ursprung und H auf der positiven z-Achse liegen (ABCD sollen in der x-y-Ebene liegen). Senkrecht zur Seitenhalbierenden des Dreiecks durch den Punkt E wird eine Ebene ε gelegt, die durch A geht. ε schneidet die Würfelkante EF in E'. Entsprechend ist β die Ebene, die senkrecht auf der Seitenhalbierenden durch B steht und C enthält, und γ die Ebene, die senkrecht auf der Seitenhalbierenden durch G steht und H enthält. β schneidet BF in B', und γ schneidet GF in G'.

a)
Berechne die Punkte E', B', G', wenn der Würfel der Einheitswürfel ist. Zeige, dass ε auch durch H, β durch A und γ durch C geht, so dass ACHE'B'G' einen Körper bildet. Zeichne den Würfel zusammen mit diesem Körper in ein Koordinatensystem.

b)
Wie schneiden die Ebenen ε, β, γ das Dreieck ACH?

c)
Zeige: Das Lot von C auf ε schneidet das Lot von H auf β und das Lot von A auf γ in demselben Punkt P. Wo liegt dieser Punkt P? Inwiefern war das Ergebnis zu erwarten? Liegen die 3 Lote in einer Ebene?

d)
Berechne das Volumen des Körpers ACHE'B'G'?

e)
Welche Winkel bildet ε mit den Kanten DA, DH, EF und mit den Seitenflächen ACH, AB'E'?

Viel Spaß beim Lösen :)

barney

09.04.2002, 21:12

@karch
War das ne Abi-Arbeit?
Ist verdammt viel zum Rechnen.

zum teil d.)
Was ist das für ein Körper? Noch nie gesehen :)
Ist es richtig wenn ich zuerst das Volumen des Prismas mit Grundfläche ACE berechne und dann das Volumen von 3 schiefe Pyramiden mit Spitzen in E',B' und G' davon abziehe?

Karch

10.04.2002, 14:21

Nö, ich hab noch kein Abitur, muss mich noch ein Jahr plagen :D . Die Aufgabe stammt aus unserem Mathebuch zum Thema Analytische Geometrie/ Lineare Algebra und ist zu den "normalen" :rolleyes: Aufgaben zu rechnen.

zu d)
Der Körper ist schon etwas seltsam, aber im Grunde handelt es sich um ein Prisma, von dem verschiedene Ecken abgeschnitten werden. Das mit dem Prisma hört sich gut an; so hatten wir's -glaub ich- auch als Musterlösung an der Tafel. Ich hab's etwas anders gerechnet, ich geb dir mal die richtige Lösung und meinen Rechenweg.

V=0,5625

Ich habe als erstes das Volumen des Würfels berechnet (=1). Dann gibt es fünf Pyramiden, die vom Volumen zu subtrahieren sind. Drei davon sind gleich groß, nämlich die mit den Spitzen E',B' und G'. Weiterhin sind die Pyramiden E'B'G'F und ACDH zu subtrahieren.

Zum Vergleich schreib ich dir mal die Lösungen zur ganzen Aufgabe:

a)
E' (1|0,5|1); B' (1|1|0,5); G' (0,5|1|1)

b)
ε, β, γ stehen senkrecht auf ACH (vielleicht noch Spurgeraden, hab ich allerdings nicht berechnet)

c)
P (1/3|1/3|1/3)

d)
V=0,5625

e)

mit DA: α =24,09°
mit DH: α =24,09°
mit EF: α =54,77°
mit ε: α =90°
mit AB'E': α =65,90°

Ich hoffe, ich hab jetzt nichts falsch abgeschrieben :suspect:

Florian :)

buba

16.04.2002, 14:01

zur Diskussion über die Abiprüfungen:
http://www.studenten-city.de/forum/showthread.php?s=&threadid=6375