Optimierung durch erste und zweite Ableitung

[nobody]

HAllo,
ich bin in der 11ten Klasse und habe mir bisher den ganzen Stoff selber beigebracht, weil uns unser Lehrer nichts vermittelt bekommt :/
Ich scheitere z.zt aber an folgender Aufgabe:

Es soll ein unterirdischer Kanal gemauert werden, dessen Querschnitt die Form eines Rechtecks mit aufgesetztem HAlbkreis hat.
Die Kosten der Ummauerung richten sich nach dem Umfang des Querschnitts.Bei gegebender Fläche A=10m² soll die Ummantlung möglichst klein sein.

Die Aufgabe ist halt mit erster und zweiter Ableitung zu lösen.
Ich verrechne mich aber dauerhaft :/ Es wäre nett, wenn jemand mir die Aufgabe komplett erläutern könnte.

Bei meinen Ansätzen bin ich mir relativ sicher:
A= a*b + 1/2 * r² * PI
U= PI *r + a + 2b

THX schonmal

[Tomboy]

Zunächst mal hast du a = 2r.
damit bekommst du A = 1/2 * PI * br³
und U = 2PI * (r + b).

Nach Umstellen b = 2A /(PI * r³)
und eingesetzt und ausmultipliziert U = 2PIr + 4A/r³.
A eingesetzt gibt U = 2PIr + 40/r³.
U' = 2PI - 120/r4 = 0
2PI = 120/r4
PI/60 = 1/r4
r4 =60/PI
r = [vierte Wurzel](60/PI) ---- sorry, aber das mit der Wurzel werd ich wohl nie richtig schreiben lernen :silly:
U'' = 480/r5 > 0 --> Minimum

b kannst du dann leicht selber ausrechnen denke ich...

[Karch]

@ Tomboy: Ich steh gerade etwas auf dem Schlauch. Wie kommst du von
A= a*b + 1/2 * r² * PI durch Einsetzten a=2r auf A = 1/2 * PI * br³ ? Und wie kommst du auf U = 2PI * (r + b)? Du setzt doch auch hier a=2r und erhälst U= PI *r + 2r + 2b. Aber wie kannst du PI ausklammern, wenn es nur in einem Summanden vorkommt? Der Schritteingesetzt und ausmultipliziert U = 2PIr + 4A/r³ ist wieder klar.
A eingesetzt gibt U = 2PIr + 40/r³ ist mir wieder unklar.Wie kommst du auf die 40 im Zähler? Der Rest ist dann simple Analysis.

Sorry aber ich versteh's heute morgen einfach nicht :confused: :confused:

Florian

[doppelelch]

Also ich denke auch, da ist ein bissl was durcheinander geraten.

Ich versuche mich im Folgenden an Deine Bezeichnungen zu halten, onanz!

Ich würde auch einfach von den Rechteckmaßen ausgehen:
Seitenlänge 1 = a
Seitenlänge 2 = b

Der Radius r des Halbkreises wäre dann = a/2

Damit ergibt sich als Fläche:



A = (1/8)*Pi*a2 + a*b

A - (1/8)Pi*a2
also b = --------------
a

und

U = 2b + a + Pi*a/2

b eingesetzt führt auf

U = 20*a(-1) + a*(1+(Pi/4))

=> U´(a) = -20*a(-2) + 1 + Pi/4 =(!)0

=> a = Wurzel aus (20/(1+(Pi/4)))

U´´(a) = 40*a(-3)

ist für das errechnete a größer 0, also handelt
es sich tatsächlich um ein relatives Minimum!

=> U(a) = darfst Du dann selber rechnen!



Gruß
de

[Tomboy]

Öhm.... huuups, ich hab da wohl ein paar + mit * verwechselt...
Na ist ja auch die selbe Taste... ;)

Na jedenfalls sollte die Rechnung nicht allzu schwer sein denke ich. :)