Smilebey
12.02.2006, 11:43
Hier eine schöne Aufgabe:
xx0+x2(x0+x1)+x3(x0+x1+x2)+x4(x0+x1+x2+x3)+...
Viel Spaß.
xx0+x2(x0+x1)+x3(x0+x1+x2)+x4(x0+x1+x2+x3)+...
Viel Spaß.
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Allchemist
12.02.2006, 11:56
Hier eine schöne Aufgabe:
xx0+x2(x0+x1)+x3(x0+x1+x2)+x4(x0+x1+x2+x3)+...
Viel Spaß.
Das entspricht doch der Aufgabe, bei der der Bauer vom König wünscht, das dieser ihm ein Schachbrett mit Getreidekörner füllt, dergestalt das auf dem ersten Feld 1 Korn, auf dem 2.Feld 2 Körner, auf dem 3. Feld 4 Körner auf dem vierten 8 usw. liegen.
Insgesamt liegen dann auf dem Schachbrett 264-1 Körner.
Die lösung Deiner Aufgabe müsste dann sein: xn-1+x
xx0+x2(x0+x1)+x3(x0+x1+x2)+x4(x0+x1+x2+x3)+...
Viel Spaß.
Das entspricht doch der Aufgabe, bei der der Bauer vom König wünscht, das dieser ihm ein Schachbrett mit Getreidekörner füllt, dergestalt das auf dem ersten Feld 1 Korn, auf dem 2.Feld 2 Körner, auf dem 3. Feld 4 Körner auf dem vierten 8 usw. liegen.
Insgesamt liegen dann auf dem Schachbrett 264-1 Körner.
Die lösung Deiner Aufgabe müsste dann sein: xn-1+x
Smilebey
12.02.2006, 13:42
Ja ich wollte diese Aufgabe über die Formel: aq+aq2+aq3...=a/(1-q) lösen. Darum muss ich irgendwie die Aufgabe in eine Reihe transformieren. Aber weiß nicht wie.
Allchemist
14.02.2006, 19:44
Ja ich wollte diese Aufgabe über die Formel: aq+aq2+aq3...=a/(1-q) lösen. Darum muss ich irgendwie die Aufgabe in eine Reihe transformieren. Aber weiß nicht wie.
Irgentwas passt da noch nicht, auch meine Lösung trifft nicht so ganz zu (bei näherem Nachdenken).
Tip: Schreib doch erst mal noch ein paar Elemente dazu, setze X0=1, löse die Klammern auf und schreibe die Reihe dergestalt vereinfacht auf.
Irgentwas passt da noch nicht, auch meine Lösung trifft nicht so ganz zu (bei näherem Nachdenken).
Tip: Schreib doch erst mal noch ein paar Elemente dazu, setze X0=1, löse die Klammern auf und schreibe die Reihe dergestalt vereinfacht auf.
nobody
15.02.2006, 16:12
die reihe besteht irgendwie aus 2 reihen
\Large S_n = \sum_{n=1}^{\infty}( nx^{2n-1}) + \sum_{n=1}^{\infty} (nx^{2n}) = \sum_{n=1}^{\infty} (nx^{2n-1} + nx^{2n}) = \sum_{n=1}^{\infty} (n(x^{2n-1} + x^{2n}))
\Large S_n = \sum_{n=1}^{\infty}( nx^{2n-1}) + \sum_{n=1}^{\infty} (nx^{2n}) = \sum_{n=1}^{\infty} (nx^{2n-1} + nx^{2n}) = \sum_{n=1}^{\infty} (n(x^{2n-1} + x^{2n}))
Aetna
22.02.2006, 21:45
Hallo Smilebey,
wozu brauchst Du denn die Aufgabe?
Ergebnis ist
x+x^{2}(1+x)+x^{3}(1+x+x^{2})+ ... + x^{n+1}(1+x+...+x^{n}) = \sum_{m=0}^{n}x^{m+1}\sum_{k=0}^{m}x^{k} = \frac{x(x^{n+1}-1)(x^{n+2}-1)}{(x+1)(x-1)^{2}}
was man erhält, wenn man erst die innere Summe mittels Geometrischer Reihe aufsummiert, und dann das Ergebnis als zwei Geometrische Reihen erkennt.
wozu brauchst Du denn die Aufgabe?
Ergebnis ist
x+x^{2}(1+x)+x^{3}(1+x+x^{2})+ ... + x^{n+1}(1+x+...+x^{n}) = \sum_{m=0}^{n}x^{m+1}\sum_{k=0}^{m}x^{k} = \frac{x(x^{n+1}-1)(x^{n+2}-1)}{(x+1)(x-1)^{2}}
was man erhält, wenn man erst die innere Summe mittels Geometrischer Reihe aufsummiert, und dann das Ergebnis als zwei Geometrische Reihen erkennt.
nobody
24.02.2006, 08:15
jetzt wäre es interessant zu wissen, ob das mit meinem ergebniss übereinstimmt...:D
Aetna
24.02.2006, 16:41
Hallo Lasse,
Deine Reihen führen auf das gleiche, wie bei meinem Ergebnis, wenn dort n gegen unendlich läuft (und |x|<1 ist). Du hast zwar nicht dargelegt, wie Du darauf gekommen bist, aber ich nehme mal an, Du hast die Reihe von Smilebey ausmultipliziert und gleiche x-Potenzen zusammen gefasst. Für die unendliche Reihe klappt das dann auch:
\sum_{n=1}^{\infty}n x^{2n} = x \sum_{n=1}^{\infty}n x^{2n-1},
so dass Deine Summen (für |x|<1 ) Folgendes ergeben
\sum_{n=1}^{\infty}n x^{2n-1} + \sum_{n=1}^{\infty}n x^{2n} = (1+x) \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty}(2n) x^{2n-1} = (1+x) \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{d}{dx} (x^{2n}) = \frac{x(x+1)}{(x^{2}-1)^{2}} = \frac{x}{(x+1) (x-1)^{2}} ,
was natürlich dann unabhängig von n ist.
Deine Reihen führen auf das gleiche, wie bei meinem Ergebnis, wenn dort n gegen unendlich läuft (und |x|<1 ist). Du hast zwar nicht dargelegt, wie Du darauf gekommen bist, aber ich nehme mal an, Du hast die Reihe von Smilebey ausmultipliziert und gleiche x-Potenzen zusammen gefasst. Für die unendliche Reihe klappt das dann auch:
\sum_{n=1}^{\infty}n x^{2n} = x \sum_{n=1}^{\infty}n x^{2n-1},
so dass Deine Summen (für |x|<1 ) Folgendes ergeben
\sum_{n=1}^{\infty}n x^{2n-1} + \sum_{n=1}^{\infty}n x^{2n} = (1+x) \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty}(2n) x^{2n-1} = (1+x) \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{d}{dx} (x^{2n}) = \frac{x(x+1)}{(x^{2}-1)^{2}} = \frac{x}{(x+1) (x-1)^{2}} ,
was natürlich dann unabhängig von n ist.
nobody
25.02.2006, 01:10
hallo Aetna
genau so bin ich auf meine reihen gekommen. vielen dank :) :) :)
genau so bin ich auf meine reihen gekommen. vielen dank :) :) :)