Eindeutiger Grenzwertbeweis

[Pumuckel88]

Hallo,

ich habe bei der Wiederholung von Folgen/Reihen
ein wenig in einem alten Mathematikbuch gekramt und bin dabei
auf folgende Aufgabe gestoßen.
http://www.sandsteinmuseumbadbentheim.de/Aufgabenstellung_Folge.jpg
a) und b) bereiteten mir keinerlei Probleme, doch bei c)
weiß ich einfach nicht, wie ich mittels Äquivalenzumformungen
einfach nach n auflösen kann.
Mein Ansatz:
n < ((1+e)n/2)2
Kann mir da vielleicht jem. weiterhelfen ?
Eine andere Frage würde sich noch in diesem Zusammenhang auf
die Rechnung mit Beträgen beziehen. Wenn z.B. der Term
(2+x) in Betragsstrichen steht, ist da überhaupt eine Äquivalenzumformung möglich ?

Beste Grüße,
Pumuckel

[Rosentod]

Am einfachsten:

\lim_{\tiny{n\to \infty}}n^{\frac{1}{n}}=\lim_{\tiny{n\to \infty}}e^{\frac{ln(n)}{n}}=e^{\lim_{\tiny{n\to \infty}}\frac{ln(n)}{n}}=e^0=1\\ \text{ mit }\lim_{\tiny{n\to \infty}}\frac{ln(n)}{n}=0\text{ aus l'Hospital}

[Friedrich Karl Schmidt]

Eine andere Frage würde sich noch in diesem Zusammenhang auf
die Rechnung mit Beträgen beziehen. Wenn z.B. der Term
(2+x) in Betragsstrichen steht, ist da überhaupt eine Äquivalenzumformung möglich ?
Nur mir Fallunterscheidung, es sei denn, das Argument kann auf Grund

sonstiger Beschränkungen entweder nur positiv oder nur negativ sein.

Den Fall "größer oder gleich" lasse ich aus schreibtechnischen Gründen unbeachtet.

|2 +x| = 2+x für 2+x > 0 <=> x > - 2

Beispiel : Für x > 0 kann umgeformt werden : |2 + x| = 2 + x


|2 + x| = - (2 + x) für 2 + x < 0 <=> x < -2

Beispiel : Für x < -3 kann umgeformt werden |2 + x| = - (2 +x)

Gruß FKS

[Pumuckel88]

Es tut mir leid, dass ich mich erst jetzt wieder melde.
Doch ich denke es ist besser spät als nie (o:
Vielen Dank an euch beide, ihr habt mir sehr geholfen !