ihr wisst bestimmt was eine Approximationsfunktion ist. Wie kann man die Güte einer solchen Approxiamtionsfunktion bewerten.
Gibt es auch einfache Beispiele dafür ?
2 und 2 ist nicht immer 4
nobody
07.03.2002, 15:39
was meinst du denn genau mit approximationsfunktionen ?
mir fallen da spontan zB taylorreihen ein...
doppelelch
12.03.2002, 10:58
Naja, eine allgemeine Frage lässt zunächst mal nur eine allgemeine Antwort zu:
Eine Approximation kann dann als besonders gut bewertet werden, wenn der "Abstand" zwischen der Approximationsfunktion p und der eigentlichen Funktion f möglichst gering ist.
Als "Abstand" kann man z.B. das mittlere Fehlerquadrat zwischen f und p über dem entsprechenden Intervall [a,b] wählen, also z.B.
Wurzel aus dem Integral (über a nach b) von (f-p)2.
Das wäre dann zu minimieren!
Geht man von Polynomen als p aus, so führt das dann schnell zu (noch vergleichsweise einfacher) Analysis im Mehrdimensionalen.
Ansonsten wirds rasch sehr kompliziert.
Gruß
de
P.S.: Taylor-Reihen sind in diesem Sinne eigentlich keine Approximationen, sondern es herrscht ja eine echte Gleichheit zwischen der Taylor Reihe (vorausgesetzt, f ist überhaupt unendlich of differenzierbar) und der Funktion selbst.
Taylor wird häufig nur zur Abschätzung herangezogen, indem das Restglied irgendwann vernachlässigt wird. Aber als eine Approximation im eigentlichen Sinne würde ich das jetzt nicht bezeichnen.
Das ist bei Approximationen nicht (unbedingt) der Fall.
upsidedown
16.03.2002, 09:47
Aber als eine Approximation im eigentlichen Sinne würde ich das jetzt nicht bezeichnen.
Wieso denn das nicht? Taylor wird zwar zu praktischen Zwecken fast nur für Fehlerabschätzung/Näherungen verwendet, aber das rein praktische Gründe und würde nicht funktionieren, wenn Taylor[f(x)] nicht f(x) approximieren würde. Was nicht so ohne weiteres geht, ist die Anpassung von Datensätzen über einen Tayloransatz. Aber: Schau dir die entsprechende Rechnung zur Anpassung von Polynomen an Datensätze mal scharf an ;)
Was nicht-lineare Anpassung angeht hast du (leider) völlig recht, das wird schneller als man vermuten würde ziemlich ekelig. Da hilft meistens nur die Brechstange (lies: Numerik).
Gruß,
UpsideDown
doppelelch
16.03.2002, 10:10
Hallo upside,
freut mich, dass Du aus Deinem Urlaub wohlbehalten zurück bist ;)
Ich wollte ja auch nicht abstreiten, dass ("ein abbrechender") Taylor eine Näherung an eine Funktion darstellt. Ich wollte nur darauf aufmerksam machen, dass ("ein vollständiger") Taylor in dem Sinne keine Näherung im eigentlichen Sinne darstellt, sondern Taylor von f(x) echt = ist mit f(x) (sofern bestimmte Voraussetzungen erfüllt sind).
(In der Praxis...da gebe ich Dir Recht...wird es häufig (in abbrechender Form) als eine Näherung verwendet).
Aber ist es nicht etwas müßig hierüber zu diskutieren?
Na dann,
de
doppelelch
16.03.2002, 10:22
Originalnachricht erstellt von upsidedown
Was nicht-lineare Anpassung angeht...
weiß nicht was Du damit meinst.
Ich gehe ja von Polynomen als mögliche Approximationsfunktionen aus.
(Ist nicht zwangsläufig liniear!) OK, das zu lösende System beinhaltet nur lineare Unbestimmte - vielleicht meinste ja das.