Grenzwertberechnung

[TheMentor]

Hi,

ich habe ein Problem mit der Grenzwertberechnung. Gegeben ist:

\lim_{x \to \2} \frac{x^4 - 16}{x^3 - 8}

Zu lösen ist ja, dass man durch den höchsten Exponenten kürzt und dannach den Bruch mit 2 auflöst.. (Wenn ich mich irre, korrigiert mich bitte). Nur leider geht die Rechnung nicht korrekt auf.
Könnt ihr mir da bitte auf die Sprünge helfen!!

Danke

Lg


@Mods: Sorry, hab die Kategorie "Folgen und Reihen" zu spät gesehen.. Bitte Post verschieben!!

[Friedrich Karl Schmidt]

Ich würde den Bruch durch (x-2) kürzen. Danach sollte ein Bruch verbleiben, der einen definierten Wert für x=2 ergibt, was dann der gesuchte Grenzwert wäre. Wenn wider erwarten nicht : noch einmal kürzen.
Gruß FKS

[TheMentor]

Hi,

Das war auch mein erster Gedanke. Leider ist die Lösung \frac{8}{3} und ich habe keine Ahnung, wie man da drauf kommt...

[TheMentor]

Ok... Ich hab des Rätsels Lösung:

Das Problem ist, dass der Grad des Zählers gleich groß ist, wie der Grad des Nenners -> Zerlegung durch Division in ein Polynom und eine echte gebrochene Funktion:

{\frac {{x}^{4}-16}{{x}^{3}-8}} -> {\frac {{x}^{3}+2\,{x}^{2}+4\,x+8}{{x}^{2}+2\,x+4}}

Daraus ergibt sich wenn man durch den höchsten Exponenten kürzt genau {\frac {8}{3}}

Gruß

[Friedrich Karl Schmidt]

Ok... Ich hab des Rätsels Lösung:

Das Problem ist, dass der Grad des Zählers gleich groß ist, wie der Grad des Nenners -> Zerlegung durch Division in ein Polynom und eine echte gebrochene Funktion:

{\frac {{x}^{4}-16}{{x}^{3}-8}} -> {\frac {{x}^{3}+2\,{x}^{2}+4\,x+8}{{x}^{2}+2\,x+4}}

Daraus ergibt sich wenn man durch den höchsten Exponenten kürzt genau {\frac {8}{3}}

Gruß
Also hier kann ich nicht folgen : Die Division durch die höchste Potenz macht doch nur dann einen Sinn, wenn man einen Grenzwert mit x-> "unendlich" oder x -> 0 betrachtet. Auch der Umstand, dass Zähler und Nenner von verschiedenem Grad sind, spielt hier keine Rolle.
Es kommt darauf an, die Unstetigkeitsstelle zu beseitigen, die aber hier bei x = 2 liegt. Ich hoffe, Sie haben den o.a. Bruch dadurch herausbekommen, dass Sie Zähler und Nenner durch (x-2) dividiert haben, wie ich es vorgeschlagen habe.
Die Division durch x3 ist zwar nicht falsch, bringt aber nichts. Sie erhalten das Ergebnis 8/3 (natürlich !) auch , wenn sie direkt x = 2 einsetzen, ohne vorher durch x3 dividiert zu haben.
Gruß FKS

[TheMentor]

Also hier kann ich nicht folgen : Die Division durch die höchste Potenz macht doch nur dann einen Sinn, wenn man einen Grenzwert mit x-> "unendlich" oder x -> 0 betrachtet. Auch der Umstand, dass Zähler und Nenner von verschiedenem Grad sind, spielt hier keine Rolle.
Es kommt darauf an, die Unstetigkeitsstelle zu beseitigen, die aber hier bei x = 2 liegt. Ich hoffe, Sie haben den o.a. Bruch dadurch herausbekommen, dass Sie Zähler und Nenner durch (x-2) dividiert haben, wie ich es vorgeschlagen habe.
Die Division durch x3 ist zwar nicht falsch, bringt aber nichts. Sie erhalten das Ergebnis 8/3 (natürlich !) auch , wenn sie direkt x = 2 einsetzen, ohne vorher durch x3 dividiert zu haben.
Gruß FKS

Vollkommen richtig.. und ich bin auch sehr dankebar für den Hinweis.. keine Ahnung warum ich nicht an das "(x-2)" gedacht hatte.. wegen dem Kürzen mit x³. Ich habe bis jetzt das nur Funktionen gehabt, die gegen unendlich gehen und deswegen habe ich es automatisch durch den höchten Exponenten gekürzt.
Aber danke für die rasche Hilfe.. :)

Gruß
TM

[Quant]

hi noch einfacher wäre es den satz von L`hospital anzuwenden.D.h. zähler und nenner dürfen einmal abgeleitet werden.Dannach muss man 2 nurnoch in
(4x³)/(3x²) einsetzten und erhält 8/3.
Mfg

[MrBurns]

Ok... Ich hab des Rätsels Lösung:

Das Problem ist, dass der Grad des Zählers gleich groß ist, wie der Grad des Nenners -> Zerlegung durch Division in ein Polynom und eine echte gebrochene Funktion:

{\frac {{x}^{4}-16}{{x}^{3}-8}} -> {\frac {{x}^{3}+2\,{x}^{2}+4\,x+8}{{x}^{2}+2\,x+4}}

Daraus ergibt sich wenn man durch den höchsten Exponenten kürzt genau {\frac {8}{3}}

Gruß

also bei mir kommt da wenn ich 2 einsetzte 24/12=2 raus...

Wie Quant schon geschriben hat, Del'Hospital ist die Lösung...

[Disap]

Sers,

also bei mir kommt da wenn ich 2 einsetzte 24/12=2 raus...

Wie Quant schon geschriben hat, Del'Hospital ist die Lösung...

{g(x)=\frac {{x}^{3}+2\,{x}^{2}+4\,x+8}{{x}^{2}+2\,x+4}}

{g(2)=\frac {{2}^{3}+2\cdot{2}^{2}+4\cdot2+8}{{2}^{2}+2\cdot2+4}}=\frac {8+8+8+8}{4+4+4}=\frac {32}{12}=\frac {8}{3}

Da hat sich wohl bei dir der Fehlerteufel irgendwo eingeschlichen. Die Lösung von TheMentor ist also ebenfalls richtig.

mfG!