mwb
14.01.2006, 15:53
Für q € R seit eine Folge {sn} gegeben durch sn = qn
Die Folge {qn} konvergiert für -1<q<=1 und divergiert für alle anderen Werte von q. Darüber hinaus gilt für -1<q<=1
\lim_{n \rightarrow \infty}~q^n = 0
Beweis:
Bei q=0 ist die Sache einfach, da kommt immer 0 raus.
Aber bei 0< |q| < 1 tut sich mir eine Frage auf:
0<|q|<1 so gilt mit einem a>0
|q| = 1 / (1+a)
|qn| = |q|n = 1 / (1+a)n < 1 / na
und daher:
- 1 / na < qn < 1/na
Nach dem Einschließungskriterium konvegiert qn gegen null.
Ist ja alles soweit schön und gut. Nur kann mir jemand sagen, wieso hier die Bernoullische Ungleichung ins Spiel kommt? Ich sehe nirgends einen Ausdruck (1+a)n der zu berechnen ist in qn
Die Folge {qn} konvergiert für -1<q<=1 und divergiert für alle anderen Werte von q. Darüber hinaus gilt für -1<q<=1
\lim_{n \rightarrow \infty}~q^n = 0
Beweis:
Bei q=0 ist die Sache einfach, da kommt immer 0 raus.
Aber bei 0< |q| < 1 tut sich mir eine Frage auf:
0<|q|<1 so gilt mit einem a>0
|q| = 1 / (1+a)
|qn| = |q|n = 1 / (1+a)n < 1 / na
und daher:
- 1 / na < qn < 1/na
Nach dem Einschließungskriterium konvegiert qn gegen null.
Ist ja alles soweit schön und gut. Nur kann mir jemand sagen, wieso hier die Bernoullische Ungleichung ins Spiel kommt? Ich sehe nirgends einen Ausdruck (1+a)n der zu berechnen ist in qn