ganzrationale Funktionen ungeraden Grades [Archiv]

doppelelch

21.02.2002, 20:40

Worauf mp da hinaus will ist wohl, dass der Grad (bzw. der Summand mit dem größten Exponenten) eines Polynoms das Verhalten im Unendlichen bestimmt!

Stimme da mp zu, aber...

+ Stetigkeit zeigen! (Ist aber auf der Grundlage der Stetigkeitssätze schnell begründet!)

+ Um die ganze Sache vielleicht doch etwas transparenter zu gestalten, ist es denke ich sinnvoll, eine Fallunterscheidung vorzunehmen (Abhängigkeit vom Vorzeichen des Leitkoeffizienten! Entsprechendes resultiert aus mps Aussage!)

Alternativ: Einfach den Fundamentalsatz der Algebra bemühen!

Je nachdem, was ihr voraussetzen dürft und was nicht kann das eine oder andere geschickter sein.
(Damit der mp-Vorschlag allerdings wirklich wasserdicht wird müsste man sich nochmal darüber Gedanken machen, wie die lapidar hingeschrieben Behauptung mps bewiesen werden könnte. Ist schon einsichtig richtig, und wird auch oft verwendet, aber wie ließe sich das zeigen?! Oje, ich hoffe, ich trete da nicht schon wieder was los :rolleyes: )
((Grenzwertsätze versagen da zumindest, da Du es (auch nach Ausklammern) nicht mit konvergenten Funktionenfolgen zu tun hast. Aber vielleicht weiß ja mp spontanen Rat)).

Gruß

de

doppelelch

21.02.2002, 21:34

OK, habe nun also auch einen Beweis für die mp-Aussage gefunden. Erstmal gucken ist einfacher, als sich selbst das Hirn zu zermartern.

Steht in

Otto Forster:"Analysis 1", Vieweg Studium Verlag

Dieser Beweis basiert schon AUCH auf dem bereits angedeuteten Ausklammern (Zu dem ich eigentlich meine Skepsis wegen der dann nicht griffigen Grenzwertsätze geäußert hatte - Ist dann auch nicht so einfach damit getan!). Wenns interessiert, reiche ichs Dir nach, melli.

Gruß

de

P.S.: Vielleicht darfst Du Dich auch einfach auf die - wie gesagt - ja durchaus einsichtige Tatsache berufen, dass der Summand mit dem größten Exponenten das Verhalten im Unendlichen bestimmt. Inwieweit von Dir da also noch ein Beweis abverlangt wird musst Du selber abschätzen können.
Letztlich ist mps Aussage auch "nur" ein Satz, auf den Du Dich auch einfach - wie im Falle des Fundamentalsatzes - berufen könntest. Aber wie gesagt: Von welchen Voraussetzungen Du ausgehen darfst musst Du wissen!

upsidedown

22.02.2002, 10:32

Fundamentalsatz ist zwar wirklich elegant, aber ich wage mal zu behaupten, dass das melli nicht wirklich weiter hilft.

@melli: Ich hab dir den Ansatz mal aufgeschrieben (keine Angst - is noch Arbeit über ;) )
http://mod.chemieonline.de/upsidedown/pot.jpg

@de: Was hast du eigentlich wegen der Stetigkeit? Es geht hier nur um Ganzrationale Funktionen. Da ist Stetigkeit gegeben (und auch leicht zu beweisen, z.B. über die vollständige Differenzierbarkeit).

Gruß,
UpsideDown

doppelelch

22.02.2002, 11:22

@ uspide:
Und das genau ist meinem Verständnis nach (wie gesagt) nicht erlaubt. Hilft zwar fürn ersten Eindruck, aber mathematisch wirklich korrekt ist das m.E. nicht.

Du hast dort die Grenzwertbildung eines Produktes. Der entsprechende Grenzwertsatz ist aber nur gültig, falls beide Faktoren konvergent sind!
Und dies ist hier nun wirklich nicht der Fall.

Ein weiteres Argument: Der Ansatz im Forster ist grundsätzlich genauso (ich erwähnte es!), macht dann aber nicht auf diese zunächst scheinbar naheliegende und recht einfache Weise weiter (vermutlich wegen des genannten Grundes!)

Gruß

de

P.S.: Übrigens (ein ernsthaft gemeintes!) Danke fürs Verschieben der Graphik. Nur leider sehe ich jetzt noch weniger von dem, was Du geschrieben hast.

upsidedown

22.02.2002, 11:40

Dann klär mich bitte mal auf wie man das dann glattgebügelt kriegt.

Ich komm da mit Grenzwertbetrachtung aber durchaus hin:
Der rechte Term in der Klammer konvergiert gegen α 2k+1. Zusätzlich gilt: α 2k+1 ≠ 0 (sonst hätten wir wirklich ein Problem, zugegebenermassen..) und das x2k+1 dann halt nach plus/minus unendlich. Für mich ist das Grenzwertproblem damit gelöst, da das Vorzeichen des gegen const gehenden Faktors bekannt ist.

Aber du solltest dir echt mal n neuen Browser ziehn - oder ist das jetzt bei dir zum Prinzip erklärt worden ;)

Gruß,
UpsideDown

--> Nachtrag: Der von dir bemühte Grenzwertsatz ist für dieses Problem überhaupt nicht gedacht und damit nicht anwendbar.

doppelelch

22.02.2002, 12:02

Also der Reihe nach:

Mit Deinem Nachtrag bist Du lustig. "Der Satz sei hierfür nicht gedacht" *g
Naja, aber Du wendest ihn an! Klar, er macht ne Aussage über das Produkt konvergenter Folgen und nicht über Funktionenfolgen. Aber Funktionenfolgen werden zurückgeführt auf Folgen. Damit wird letztlich doch dieser Satz (und zwar von Dir höchstpersönlich!) bemüht! Ansonsten verrate Du mir mal bitte, auf welcher Grundlage Du da locker-flockig den Grenzwert dieses Produktes bildest indem Du einfach das Produkt der Grenzwerte beider Faktoren berechnest.
(Geht doch schon z.B. umgekehrt bei

(-1)2x=(-1)x*(-1)x

schief! Da wird aus was konvergentem nach Deinem Verfahren etwas Nicht-konvergentes)

Zweitens:
Wie soll ichs denn noch sagen?
Du hast die Summe durch Ausklammern faktorisiert.
Dein erster Faktor läuft - wie Du selber schreibst - gegen (+/-) unendlich, ist also NICHT konvergent. Damit sind die Voraussetzungen des von DIR verwendeten Satzes nicht erfüllt, folglich darfst Du ihn nicht verwenden. (Das genau hat mir ja zunächst solches Kopfzerbrechen bereitet!) Forster schaffts auch ohne!

Und drittens...browser-"Prinzipien" :p .
Ne, das nicht. aber es gibt einige Gründe für mich, das sein zu lassen. Habe es biohazard und bm schon auseinandergesetzt. Und bevor ich mich entgegen dieser Gründe verhalte muss der Leidensdruck doch noch etwas wachsen.
:rolleyes: . Ich weiß:.... :rolleyes: :rolleyes:
Aber es ist ja hauptsächlich mein (zur Zeit noch hingenommenes) Problem.

Grüße

de

Lim_Dul

22.02.2002, 12:03

Wie wäre dann einfach folgender Ansatz: Für eine ungerade, ganzrationale Funktion gilt doch f(-x)=-f(x), das heißt aber zu einem das f(0)=0 gilt (Damit hätten wir die Nullstelle) oder nach dem Mittelwertsatz zwischen f(-x) und f(x) für x>0 eine Nullstelle liegen muss. Ungerade ganzrationale Funktionen haben nur ungerade Exponeten und x0 kann dort garnicht auftauchen.

doppelelch

22.02.2002, 12:11

Äh..Lim...es war, meine ich, von einer ganzrationalen Funktion "ungeraden Grades" die Rede und da käme z.B. auch

f(x)=x3+1

in Betracht (also x0 gibt es da sehr wohl).

Und...äh...Mittelwertsatz (uuups, ich sehe es gerade: das Ding heißt eigentlich "Zwischenwertsatz"!) ist ja genau das, mit dem wirs hier auch gerade probieren. Damit muss aber gezeigt werden, dass es mind. ein x gibt, mit dem f(x)>0 und eines mit f(x)<0. Und genau das versuchen wir gerade - für den allgemeinen Fall eben. Dachte ich bislang zumindest! Stimmt aber....ist bislang noch nicht explizit erwähnt worden. :rolleyes: Danke fürs Nachholen!
(Wie gesagt: Stetigkeit müsste noch schnell gezeigt werden: Aber das ist nun wirklich kein Problem!)

Gruß

de

P.S.: Aber es freut mich, dass Du jetzt mit dabei bist zu überlegen!

P.P.S.: Soll ich nun einfach mal den Forster Ansatz einwerfen? Er macht das über eine zunächst endliche Abschätzung!

Lim_Dul

22.02.2002, 12:23

gut dann nehmen wir halt an, des so eine Zahl gibt.
Wenn dann aber die Funktion halt noch +c hat, nehme ich einfach folgenden Ansatz:
g(x)=f(x)-c

Damit gilt g(0)=0 und g(-x)=-g(x)
Entweder ich sage nun, g(x) ist eine ungerade Funktion, hat damit als Grenzwerte -unendlich/+unendlich, damit hat f(x) auch eine Nullstelle nach dem Mittelwertsatz. Ich bin jetzt zu faul, das jetzt weiterzuverfolgen, aber es geht vermutlich auch über folgende Gleichung:

f(-x)+c=g(-x)=-g(x)=-f(x)-c

Daraus kann man sicher herleiten, das diese Funktion eine Nullstelle haben muss, vermutlich wird man um eine Grenzwertbetrachtung nicht drumrumkommen.

doppelelch

22.02.2002, 12:28

Originalnachricht erstellt von Lim_Dul
... vermutlich wird man um eine Grenzwertbetrachtung nicht drumrumkommen.

Jep *g. Was versuchen wir denn hier die ganze Zeit?
Es geht doch genau darum, das, was Du jetzt auch wieder sagst, lückendicht zu machen! Nämlich dass f(x) gegen +/- unendlich läuft.

Aber das ist wie gesagt gar nicht mehr unbedingt MEIN Problem. Forster war ja so nett MIR eine Antwort zu geben. Ich finde, wir sollten auch erstmal abwarten, inwieweit Melli das bisherige ausreicht! Wenns für die Schule ist, brauchen wir dafür vermutlich keinen extra Beweis. Da gehts lapidarer zu *g.

Gruß

de

Lim_Dul

22.02.2002, 12:51

Jo, ich hatte gehofft es geht einfacher.
Aber egal, ich weiß das g(x) und f(x) stetig ist, das gilt lim x->unendlich g(x)=- lim x-> -unendlich g(x) und wenn ich nun noch zeigen kann, das das plus & minus unendlich rauskommt, bin ich fertig, da das dann auch für f(x) gilt.

Sei nun die höchste Potenz 2k+1, dann bilde ich

g(x)
------
x2k

Der grenzwert wird + bzw - unendlich sein, da alle Summanden mit ausnahme des ersten Nullfolgen sind und der erste Summand die Form a*x hat.
Da ich außerdem weiß, dass x2k als Grenzwert +uendlich hat, weiß ich nun, dass g(x) schneller wächst und deshalb den gleichen Grenzert hat. Und das sollte eigentlich alles wasserdicht sein ;)

doppelelch

22.02.2002, 13:13

Ähm..ich habe Deinen letzten Beitrag jetzt noch nicht durchgelesen, Lim, vielleicht spielt es ja da gar keine Rolle mehr, aber g(x) muss nach Deiner Def. nicht zwangsläufig Punktsymmetrisch zum Ursprung sein.

Gruß

de

Lese jetzt mal eben Deinen letzten Beitrag

doppelelch

22.02.2002, 13:21

Originalnachricht erstellt von Lim_Dul
Und das sollte eigentlich alles wasserdicht sein ;)

Das klingt gut!

Das Einzige was Dein Beweis voraussetzt ist, dass der Grenzwert von x2k für x gegen +/- unendlich gleich +unendlich ist.
Das ist für positive ganzzahlige k (und um solche geht es) klar.
Jep - wasserdicht - sehe ich auch so.

Gruß

de

Uuups - Moment!
Ich frage mich da nur gerade: Beißt sich die Katze da nicht in den Schwanz! Der erwähnte Grenzwert von

x2k

ist doch letztlich ein Spezialfall dessen was wir uns hier gerade ansehen (OK, gerader Grad, aber das tut ja nix zur Sache) So denke ich wird das dann immer begründet! Will man das unabhängig davon zeigen, so stößt man wieder auf dieselben Probleme, die ich schon angedeutet hatte.

x2k=x*x*...*x.

Davon lässt sich nicht so ohne Weiteres der Grenzwert bilden.
(Ein Produkt divergenter (Funktionen-)Folgen!)

Ich ziehe hiermit also mein Urteil "wasserdicht" zurück.

Plöt!

Aber...es bleibt ja noch der Forster!

upsidedown

22.02.2002, 14:42

@de: lies dir bitte mal durch was ich schreibe..

Klar, er macht ne Aussage über das Produkt konvergenter Folgen
... und damit auch Funktionenfolgen...

Obiges Produkt ist nicht konvergent - behaupte ich auch nicht - damit ist er nicht anwendbar. Sind wir uns völlig einig. Was ich mache, ist die Eigenschaft der beiden Faktoren zu beschreiben und daraus Schlüsse abzuleiten.

Fakt 1: Der linke Faktor geht gegen +- unendlich.
Fakt 2: Der rechte Faktor strebt als Grenzwert gegen α2k+1. Ob von oben oder von unten ist dabei egal, da α2k+1≠0 ist, da ansonsten der Grad des Polynoms verringert wird. Es gilt also sign(α2k+1)=sign(rechter Faktor)

Jetzt erklär mir bitte mal wieso das nicht hinreichend für eine Grenzwertbetrachtung ist. Und deine schönen allgemeingültigen Sätze sind davon auch nicht wirklich berührt, da ich die zusätzliche Einschränkung α2k+1≠0 einführe. Wenn die nicht wäre dürfte ich nicht so argumentieren, dass ist mir schon klar - so halt ich meine Argumentation für wasserdicht. Das hier ist Mathe, nicht Religion :p

Gruß,
UpsideDown

doppelelch

22.02.2002, 17:00

Originalnachricht erstellt von upsidedown
Das hier ist Mathe, nicht Religion :p

Ach...*g

Deswegen quälen wir uns hier ja auch so rum. *g

Kannst Du bitte nochmal in Worten sagen was Du mit &alpha2k+1?0 meinst (So kommt das bei mir leider Gottes an - womit wir doch bei der Religion wären. *g)

Zumindest scheint das der Knackpunkt zu sein.

Trotzdem...Du betrachtest das Produkt zweier Folgen (eine konvergent, eine divergent) und nicht eine (divergente) Folge und eine Konstante. Soweit glaube ich das trotz browser-Schwierigkeiten herauslesen zu können.
Im letzten Fall (Konstante und divergente Folge) würde ich Dir uneingeschränkt zustimmen. Aber eine solche "Abschätzung" ist m.E. unzulässig, oder zumindest nicht mathematisch sauber.
Es handelt sich letztlich um eine Grenzwertbildung die Du da betreibst (da nutzen alle schönen Umschreibungen ("Eigenschaften beschreiben")nichts) und die gehorcht bestimmten Regeln und zwar nicht denen die Du hier zu postulieren scheinst.
(Wir betreiben Mathe, nicht Religion! Netter Satz! *g)

Aber vielleicht klärt sich ja alles nach der Übersetzung des alpha-Terms und ich krieche zu Kreuze, weils wieder mal lauter Missverständnisse waren.

Grüßigste Grüße

de

upsidedown

22.02.2002, 20:46

α2k+1 ist (s. mein hübsches Bild oben) der Koeffizient der höchsten von Null verschiedenen Potenz.

Warum ich die konvergente Folge in diesem speziellen Fall als Konstante behandeln kann hab ich oben dachte ich in aller Klarheit dargelegt.

Es handelt sich letztlich um eine Grenzwertbildung die Du da betreibst ... und die gehorcht bestimmten Regeln und zwar nicht denen die Du hier zu postulieren scheinst.

Du zäumst da das Pferd von hinten auf: Du hast eine Regel in der Hand, die dir sagt, dass du ganz allgemein bei dem Produkt aus einer konvergenten und einer divergenten Folge das Grenzwertverhalten nicht ohne weitere Betrachtung ablesen kannst. Ich habe hier ein spezielles Problem bei dem ich dessen Eigenschaften ausnutze und nur eingeschränkte Ergebnisse erziele.

Ich habe oben schon dargelegt:
Fakt 1: Der linke Faktor geht gegen +- unendlich.
Fakt 2: Der rechte Faktor strebt als Grenzwert gegen ?2k+1. Ob von oben oder von unten ist dabei egal, da ?2k+1?0 ist, da ansonsten der Grad des Polynoms verringert wird. Es gilt also sign(?2k+1)=sign(rechter Faktor)

ich kann noch ergänzen:

Drittens: Die linke Seite ist absolut divergend, der rechte Term ist konvergend. Das ist eine ganz massive Einschränkung.

Viertens: Zusätzlich zur Eigenschaft der Konvergenz kann dieser Term für x gegen unendlich nicht mehr im Vorzeichen alternieren, da ?2k+1?0 ist.

Aus 3. folgt (bzw ist Satz): ±∞ mal etwas nicht unendliches ungleich Null ergibt wieder ein ±∞. Es kann nur das Vorzeichen wechseln. Aus 4. ist mir dieses Vorzeichen bekannt. Damit kann ich angeben in welche Richtung die absolute Divergenz der Gesamtfolge geht.

Wo ich nicht so arbeiten kann, wäre z.B. bei einer gegen Null konvergenten Folge, oder einem linken Term der zwar divergend aber nicht absolut divergend ist. Da ist dann eine weitere Betrachtung notwendig.

ach ja: die "=0" die ich oben stehen habe sind natürlich Blödsinn, es muss natürlich "=f(x)" heissen.

Zu dem Spruch: ging mir so durch den Kopf weil du so aufundniedergehupft bist "Es gibt einen Satz, es gibt einen Satz". :jump_onfirered: Hat mich son bischen an "...aber in der Bibel steht, das man..." erinnert :p

Aber wir sind ja sogar (fast) alle ganz lieb zueinander :)

Gruß,
UpsideDown

doppelelch

22.02.2002, 20:58

@upside:

UUUUPS das Folgende habe ich geschrieben, bevor Dein letzter Beitrag schon erschienen war. Muss mir den jetzt erstmal durchsehen. MOM.

--------------------------------------------------

So..ich habe es mir jetzt nochmal in Ruhe angesehen.

Wenn ich das richtig deute soll dieser alpha-Term wohl heißen:

alpha-blabla ungleich 0
(stimmts?)

Naja, das ist ja wohl klar, schreibst Du ja selber, da ja sonst der Grad ein anderer wäre. Muss also gar nicht extra vorausgesetzt werden.

Aber Fakt bleibt (Da gibt es wirklich 0,0 zu deuteln): Du ermittelst den Grenzwert eines Produktes von Funktionen, indem Du die Grenzwerte der einzelnen Funktionen (Faktoren) ermittelst und daraus das Produkt bildest. Und genau dafür gibt es keine mathematische Grundlage! Es gibt lediglich den bereits zitierten Satz, der dies für konvergente Folgen zulässt. In divergenten Fällen ist man aufgeschmissen. Dann wiederhole ich es nochmal: Nenne mir die Grundlage (von mir aus einen Satz) auf deren Basis Du so vorgehen darfst.

Das mag in Spezialfällen stimmen und auch sinnvoll sein um eine grobe Abschätzung zu bekommen (aber auch da kann es schon mächtig in die Hose gehen), aber als Basis für einen Beweis taugt das nicht.

Gruß
de

doppelelch

22.02.2002, 21:02

Originalnachricht erstellt von upsidedown

Drittens: Die linke Seite ist absolut divergend, der rechte Term ist konvergend. Das ist eine ganz massive Einschränkung.

Stimmt, aber daraus auf die Divergenz zu schließen ist hanebüchen:

Was ist z.B. mit 1=x*(1/x)

rechts konvergent gegen 0

links divergent gegen +oo

insgesamt aber konvergent gegen 1

Gruß
de

Mom, muss erst noch weiterlesen.

Uuups...ok...ich muss mein Beispiel wohl zurückziehen, denn Du schränkst selber schon ein: Im Falle einer gegen 0 konvergenten Folge ginge das nicht.

Mmmh...ok...sieht in der Tat auf den ersten Blick sinnvoll aus.
Der von Dir verwendete "Satz"... (ich fasse ihn nochmal zusammen):

"Voraussetzungen:

a und b seien Folgen mit a konvergent gegen eine Konstante z>0 und b divergent gegen +/- unendlich. Ferner Sei die Folge c=a*b.

Behauptung:

c divergiert gegen +/- unendlich"

...scheint durchaus Sinn zu machen.

Fehlt ein Beweis desselben :p (Oder eine Literaturstelle - Ich weiß, das ist gemein, da Du Deine gesamte Lit. ja verliehen hast. Aber ehrlich gesagt...mir fällt dazu wieder keine Lit.stelle ein. Müsste man sich womöglich wieder selbst nen Kopf machen. Könnte aber zu schaffen sein, soweit ich das überblicke).

Ok...von mir aus strecken wir an dieser Stelle "die Waffen" *g.
Ums nun wirklich noch absolut wasserdicht zu machen müsste man nun also das obenstehende noch zeigen (oder nachweisen, dass es bereits irgendwo gezeigt wurde).
Aber wie gesagt...erstens denke ich, dass diese Behauptung stimmt und (nicht so aufwendig) beweisbar wäre (womöglich findet sich sogar eine Lit.stelle, dann dürfte ich wieder herumhüpfen *g) und zweitens tut mir melli allmählich Leid, die womöglich (womöglich auch nicht) immer weniger mit unseren geistigen "Ergüssen" anzufangen weiß.

Gruß

de

P.P.S.: Danke fürs Mitdenken, upside.

doppelelch

22.02.2002, 21:05

Originalnachricht erstellt von upsidedown

Zu dem Spruch: ging mir so durch den Kopf weil du so aufundniedergehupft bist "Es gibt einen Satz, es gibt einen Satz". :jump_onfirered: Hat mich son bischen an "...aber in der Bibel steht, das man..." erinnert :p

LOL stimmt LOL

(Habs mir jetzt aber nochmal angesehen: Also sosehr herumgehüpft bin ich jetzt auch nicht. Da muss wohl eher meine innerliche Freude auf telepathischem Wege zu Dir gelangt sein *g)

upsidedown

22.02.2002, 21:47

und zweitens tut mir melli allmählich Leid

ja, mir auch :trost:

Aber die Diskussion wird ohnehin hier aufgrund von höherer GEwalt abbrechen, da ich mich morgen in meine schwerverdienten (? jedenfalls krieg ich sie) Semesterferien abmelden werden.

Gruß an melli, de und den ganzen Rest da draussen
UpsideDown

doppelelch

22.02.2002, 21:49

Mom...habe den noch ausstehenden Beweis *g..naja, ok, nur wenns Dich interessiert.
(Ist allerdings selbst erdacht...oweh..die nächste Diskussion *g)

Ansonsten: Viel Spaß in Deinen (bestimmt!) wohlverdienten Semesterferien!

Ich beschränke mich allerdings einfach auf Folgen. Für Funktionenfolgen siehts dann wohl wie immer ähnlich aus. Ich bezeichne ferner die beiden Folgen a und b aus einem meiner letzten Beiträge im Folgenden als an und bn.

Also:

Wenn die Folge bn konvergent gegen den Grenzwert z>0 ist, so gibt es ein b>0 (b aus R=reelle Zahlen) und ein n0 aus N (natürliche Zahlen!) mit

bn>=b>0 für alle n>=n0.

Erst recht gilt dann für n->oo

lim(n->oo)(an*bn)>=lim(n->oo)(an*b)=(das ist "Forster-abgesichert" *g)b*lim(n->oo)(an)=oo

Entsprechend für -oo.

Gruß
de

doppelelch

22.02.2002, 22:06

Originalnachricht erstellt von doppelelch

Wenn die Folge bn konvergent gegen den Grenzwert z>0 ist, so gibt es ein b>0 (b aus R=reelle Zahlen) und ein n0 aus N (natürliche Zahlen!) mit

bn>=b>0 für alle n>=n0.

Ich sehe es schon selbst...dagegen könnte man jetzt vielleicht auch noch rummäkeln. Diese Aussage müsste nun wiederum auf die Epsilon-Def. zurückgeführt werden. :rolleyes: Egal jetzt.

Gruß

de

doppelelch

22.02.2002, 22:53

Also jetzt aber doch noch...es lässt einem ja doch keine Ruhe *g:

Wenn z>0, dann gibt es ein b aus ]0;z[.
(Kontinuum der reellen Zahlen! Ließe sich leicht konstruieren, z.B. (z/2) *g)

Ferner gibt es wegen der Konvergenz von bn gegen z für alle E>0 (Habe hier leider kein Epsilon) ein n0, so dass

für alle n>=n0 gilt |z-bn| < E

(Definition der Konvergenz gegen z)

"Für alle E" heißt aber insbesondere auch für E=z-b(>0).

Ergo

ist für alle n>=n0 |z-bn| < z-b

und genau dies beinhaltet auch die Aussage, die ich im letzten Beitrag als noch zu beweisend selbst zitiert hatte (Es beinhaltet sogar noch mehr, nämlich auch die Beschränktheit nach oben ab n>=n0).

Gruß

de

doppelelch

22.02.2002, 23:12

Sooo, jetzt nochmal eine Zusammenfassung für die arme Melli:

Es sind jetzt zwei Möglichkeiten des Beweises angesprochen worden:

1. Fundamentalsatz der Algebra (Wurde nicht näher ausgeführt, aber wenn Dir der Satz was sagt, dann liegt der Beweis sofort auf der Hand)

2. Der von mp67 angeleierte Beweis über das Verhalten der Funktion bei +/- unendlich unter der gleichzeitigen Verwendung des Zwischenwertsatzes.
(Der ganze nachfolgende Dialog zwischen upside, Lim und mir dreht sich eigentlich nur darum, das wirklich absolut wasserdicht zu machen. Auch bei dem erwähnten Satz aus dem "Forster" dreht es sich nur um eine Fundierung der mp-Behauptung.(Ich glaube ich muss das nicht noch nachreichen) Wie detailiert (um nicht zu sagen spitzfindig) Du das dann letztlich wirklich benötigst, musst DU entscheiden)

"2." doch nochmal kurz zusammengefasst:

Grad und Leitkoeffizient (=der Faktor vor dem Summanden mit dem größten Exponenten) der Funktion entscheiden über das Verhalten für lim(x -> +/- oo).
(Und genau das haben wir jetzt in gemeinsamen Anstrengungen bewiesen. Forster übrigens auch, nur etwas schneller *g)
Im Falle eines ungeraden Grades - wie bei Dir - läuft die Funktion für lim(x->+oo) gegen +oo falls der Leitkoeffizient positiv ist, gegen -oo, falls der Leitkoeffizient negativ ist.
Für lim(x->-oo) verläuft die Funktion gegen -oo falls der Leitkoeffizient positiv ist, gegen +oo falls er negativ ist.

D.h. in jedem Fall (das meint: unabhängig vom Vorzeichen des Leitkoeffizienten) ergibt sich zwischen x=-oo und x=+oo ein Vorzeichenwechsel.
Wenn nun die Funktion auch noch stetig ist (und das ist eine ganzrationale Funktion immer!), also keine Sprünge macht oder sonstige Lücken aufweist, dann muss die Funktion auch irgendwann zwischendrin =0 sein (Das ist die Aussage des Zwischenwertsatzes):

Soo,
ich wünsche Dir viel Spaß beim Durcharbeiten. Manches musst Du ja womöglich auch nur einfach überfliegen.

Abschließender Gruß (sofern sich keine Fragen ergeben haben!)

de

doppelelch

23.02.2002, 12:37

Nachtrag:

Originalnachricht erstellt von doppelelch

lim(n->oo)(an*b)=(das ist "Forster-abgesichert" *g)b*lim(n->oo)(an)

Kann man so leider nicht stehen lassen. Kam mir gestern, schon im Bette liegend, komisch vor. Muss wohl gestern in der allgemeinen Euphorie übersehen haben, dass diese Behauptung (in dieser Allgemeinheit) auch nur für konvergente Folgen an richtig ist. :rolleyes:

Also steht es noch aus zu zeigen, dass lim(n->oo)(an*b)=oo ist!
Also los :rolleyes: :

Nach Definition der "uneigentlichen Konvergenz" (also der Konvergenz gegen +/- oo) gilt:

lim(n->oo)(an)=oo <=> Für alle M>0 (aus R) gibt es ein n0, so dass an>M für alle n>=n0

Daraus folgt aber:

Für alle L>0 (aus R) und b>0 (aus R, konstant) gibt es ein n0, so dass an>(L/b)(=:M) für alle n>=n0

=> b*an>L für alle n>=n0

=> lim(n->oo)(b*an)=oo

uff!

Der Vollständigkeit halber nun auch gleich noch etwas zur Übertragbarkeit des Ganzen auf Funktionengrenzwerte (Funktionenfolgen):

Es geht eigentlich um die folgende Behauptung:

Voraussetzung:

lim(x->oo)(f(x))=b
lim(x->oo)(g(x))=oo

Behauptung:

lim(x->oo)(f(x)*g(x))=oo

Beweis:

Nach Definitionen gilt:

(zum Beispiel: ) lim(x->oo)(f(x))=b <=> Für alle Folgen xn mit lim(n->oo)(xn)=oo gilt lim(n->oo)(f(xn))=b

entsprechend für limg(x)

Es wäre ferner nach dieser Definition zu zeigen, dass

für alle Folgen xn mit lim(n->oo)(xn)=oo gilt lim(n->oo)(f(xn)*g(xn))=oo.

f(xn) und g(xn) stellen aber Folgen dar, für welche die Voraussetzungen für den oben genannten Satz (für Folgen) erfüllt sind.
Damit ist der entsprechende (eben) bewiesene Satz für Folgen hierauf anwendbar und es gilt die zu zeigende Behauptung. q.e.d.

So jetzt haben wirs wirklich komplett!

Gruß

de

nobody

23.02.2002, 17:13

wow..
ich hätte jetzt eigentilich nicht erwartet dass meine frage so eine hitzige disskussion auslöst. und ich hätte auch nicht gedacht, dass der lösungsweg so anspruchsvoll ist. immerhin bin ich erst in der 11 und diese aufgabe gehört noch zu den einführenden..bis jetzt haben wir immer nur die eigenschaften ganzrationaler funktionen berechnet. deswegwn hab ich auch nicht besonders viel von eurem gespräch gepeilt :D ...ich werde jetzt gleich mal versuchen den ansatz weiter zu rechnen , aber das ist alles so theoretisch und das kann ich nicht so gut...nun ja man wird sehen
mfg melanie