Astat
14.02.2002, 17:15
a2 + b2 + c2 + d2 + ab + bc + cd + ad + ac + bd grösser gleich 10 soll bewiesen werden, mit a, b, c, d grösser 0 und abcd = 1 ;
wie macht man das ?
wie macht man das ?
Archiv verlassen und diese Seite im Standarddesign anzeigen : Beweis
mp67
14.02.2002, 17:29
...indem man das Minimum des o.g. Ausdrucks unter Berücksichtigung der NB abcd=1 mittels des Lagrange'schen Multiplikatorenansatzes bestimmt und es zu 10 findet :D .
Wie beim Ölsäurederivat gilt auch hier: Es geht sicher eleganter.
M.
Wie beim Ölsäurederivat gilt auch hier: Es geht sicher eleganter.
M.
Astat
14.02.2002, 17:54
Über eine etwas konkretere Ausführung wäre ich überglücklich..... ;)
mp67
14.02.2002, 18:24
Bilde die Lagrange-Funktion (L(a,b,c,d,l)=a2+b2+c2+d2+ab+ac+ad+bc+bd+cd+l(1-abcd)), leite die partiell nach a,b,c,d,l ab, setze die Ableitungen null, und setze die Gleichungen paarweise gleich. Dann erhältst Du a=b=c=d, was mit der NB auf a=b=c=d=1 führt, und somit für den anfänglichen Ausdruck 10 (tätä!) liefert. Nun suchst Du Dir noch raus, was eine Hesse-Matrix ist und findest, daß es sich um nen (hallo Buba!) Minimum handelt.
M.
M.
doppelelch
14.02.2002, 20:06
Also zwei Anmerkungen am Rande, zu dem was mp67 da vorschlägt:
Erstens:
So easy-beasy wie er das da andeutet ist es nun wahrlich nicht, das entstehende NICHT-lineare Gleichungssystem zu lösen (Ich nehme an, er hat das auch nicht gemacht, sondern ist von der berechtigten Vermutung ausgegangen, dass a=b=c=d=1 die Lösung ist).
Zweitens:
Auf diese Weise erhält man lediglich relative Extrema!
Es bliebe der Nachweis zu führen, dass es sich dabei auch um ein absolutes Extremum (Minimum) handelt. Das dürfte allerdings das geringere der beiden Probleme sein. (Ist wohl ein mehrdimensionaler Paraboloid)
So...will aber nicht nur kritisch anmerken, sondern auch einen Vorschlag eines weiteren womöglich denkbaren (Du siehst, ich drücke mich vorsichtig aus!) Lösungsweges skizzieren.
Sooo (hörst Du meine sich durchbiegenden Finger knacken? :) ):
Der Bedingung a*b*c*d=1 (Nebenbedingung (1))
lässt sich zunächst mal der triviale Fall entnehmen, der schon von mp angesprochen wurde:
a=b=c=d=1
Mit diesen Werten stimmt auch die für alle (a,b,c,d) zu beweisende Aussage (ist dann gerade so =10)
Wenn es uns nun gelänge nachzuweisen, dass alle Quadrupel (a,b,c,d) ungleich (1,1,1,1) einen Wert ergeben, der größer als 10 ist, wären wir zufrieden!
Gleichzeitig soll aber die Nebenbedingung (1) ihre Gültigkeit behalten!
Wird einer der Faktoren im Produkt a*b*c*d ausgehend vom Spezialfall 1*1*1*1 nun also vergrößert, sagen wir auf den Wert k, so muss notwendigerweise ein anderer Faktor entsprechend verkleinert werden, nämlich auf 1/k.
Es reicht, denke ich, auch aus (o.B.d.A. - das wäre nochmal zu überdenken *g) sich nur auf zwei Faktoren zu beschränken, da eine Hinzunahme weiterer Faktoren zu den Überlegungen nichts grundsätzlich Neues bringt. (Man hält also sozusagen zwei Faktoren fest und schaut nach, was passiert, wenn man die anderen beiden entsprechend verändert)
Nochmal: wie gesagt, es reicht uns zu zeigen dass wir bei der kleinsten Veränderung (ausgehend vom Quadrupel (1,1,1,1) ) zu höheren Werten kommen als 10. Wir hätten dann gezeigt: Für (1,1,1,1) wäre der Ausgangsterm also am kleinsten und zugleich 10. Damit wären wir dann fertig.
Wir vergleichen also zwei Quadrupel:
(1,1,1,1) und (k, 1/k, 1, 1)
Wobei wir in diesem Fall in unserem Ausgangsterm den Summanden c2, d2 und c*d keine weitere Beachtung schenken müssen, da sie bei diesem Quadrupel-Wechsel unverändert bleiben.
Die Frage, auf die sich das Ganze damit reduzieren würde, wäre demnach, ob
k2+(1/k)2+1+k+k+(1/k)+(1/k)>=7 ?
durch Umformungen gelangt man zu
[k+(1/k)]2+2*[k+(1/k)]>=8 ?
Für das Quadrupel (1,1,1,1) wäre ja nun k=1. Damit wäre die Ungleichung nach wie vor erfüllt. Das ist schon einmal beruhigend *g.
k+(1/k) hätte für k=1 den Wert 2.
Wenn es uns nun gelingt zu zeigen, dass für alle k ungleich 1 der Ausdruck [k+(1/k)] immer größer als zwei ist, wären wir fertig.
Also:
Gilt die Ungleichung k+(1/k)>2 für alle k ungleich 1?
Umformungen führen zu
(k-1)2>0
und das stimmt eideutig für alle k ungleich 1
Wie gesagt: Ob das alles wasserdicht ist gilt es nochmal zu überdenken. Auf den ersten Blick scheint es mir zu gehen. Trotz der vielen versteckten "o.B.d.A."´s. Aber ich muss Dir ja nun auch nicht alle Arbeit abnehmen *g.
Gruß
de
Erstens:
So easy-beasy wie er das da andeutet ist es nun wahrlich nicht, das entstehende NICHT-lineare Gleichungssystem zu lösen (Ich nehme an, er hat das auch nicht gemacht, sondern ist von der berechtigten Vermutung ausgegangen, dass a=b=c=d=1 die Lösung ist).
Zweitens:
Auf diese Weise erhält man lediglich relative Extrema!
Es bliebe der Nachweis zu führen, dass es sich dabei auch um ein absolutes Extremum (Minimum) handelt. Das dürfte allerdings das geringere der beiden Probleme sein. (Ist wohl ein mehrdimensionaler Paraboloid)
So...will aber nicht nur kritisch anmerken, sondern auch einen Vorschlag eines weiteren womöglich denkbaren (Du siehst, ich drücke mich vorsichtig aus!) Lösungsweges skizzieren.
Sooo (hörst Du meine sich durchbiegenden Finger knacken? :) ):
Der Bedingung a*b*c*d=1 (Nebenbedingung (1))
lässt sich zunächst mal der triviale Fall entnehmen, der schon von mp angesprochen wurde:
a=b=c=d=1
Mit diesen Werten stimmt auch die für alle (a,b,c,d) zu beweisende Aussage (ist dann gerade so =10)
Wenn es uns nun gelänge nachzuweisen, dass alle Quadrupel (a,b,c,d) ungleich (1,1,1,1) einen Wert ergeben, der größer als 10 ist, wären wir zufrieden!
Gleichzeitig soll aber die Nebenbedingung (1) ihre Gültigkeit behalten!
Wird einer der Faktoren im Produkt a*b*c*d ausgehend vom Spezialfall 1*1*1*1 nun also vergrößert, sagen wir auf den Wert k, so muss notwendigerweise ein anderer Faktor entsprechend verkleinert werden, nämlich auf 1/k.
Es reicht, denke ich, auch aus (o.B.d.A. - das wäre nochmal zu überdenken *g) sich nur auf zwei Faktoren zu beschränken, da eine Hinzunahme weiterer Faktoren zu den Überlegungen nichts grundsätzlich Neues bringt. (Man hält also sozusagen zwei Faktoren fest und schaut nach, was passiert, wenn man die anderen beiden entsprechend verändert)
Nochmal: wie gesagt, es reicht uns zu zeigen dass wir bei der kleinsten Veränderung (ausgehend vom Quadrupel (1,1,1,1) ) zu höheren Werten kommen als 10. Wir hätten dann gezeigt: Für (1,1,1,1) wäre der Ausgangsterm also am kleinsten und zugleich 10. Damit wären wir dann fertig.
Wir vergleichen also zwei Quadrupel:
(1,1,1,1) und (k, 1/k, 1, 1)
Wobei wir in diesem Fall in unserem Ausgangsterm den Summanden c2, d2 und c*d keine weitere Beachtung schenken müssen, da sie bei diesem Quadrupel-Wechsel unverändert bleiben.
Die Frage, auf die sich das Ganze damit reduzieren würde, wäre demnach, ob
k2+(1/k)2+1+k+k+(1/k)+(1/k)>=7 ?
durch Umformungen gelangt man zu
[k+(1/k)]2+2*[k+(1/k)]>=8 ?
Für das Quadrupel (1,1,1,1) wäre ja nun k=1. Damit wäre die Ungleichung nach wie vor erfüllt. Das ist schon einmal beruhigend *g.
k+(1/k) hätte für k=1 den Wert 2.
Wenn es uns nun gelingt zu zeigen, dass für alle k ungleich 1 der Ausdruck [k+(1/k)] immer größer als zwei ist, wären wir fertig.
Also:
Gilt die Ungleichung k+(1/k)>2 für alle k ungleich 1?
Umformungen führen zu
(k-1)2>0
und das stimmt eideutig für alle k ungleich 1
Wie gesagt: Ob das alles wasserdicht ist gilt es nochmal zu überdenken. Auf den ersten Blick scheint es mir zu gehen. Trotz der vielen versteckten "o.B.d.A."´s. Aber ich muss Dir ja nun auch nicht alle Arbeit abnehmen *g.
Gruß
de
doppelelch
15.02.2002, 09:13
Also leichte Zweifel nagen da doch an mir, ob das so lückendicht ist.
Die Lücke die ich sehe wäre folgende:
Wir können den Term auch als Funktionsvorschrift einer Funktion f des R5 auffassen.
Nun variieren wir in der R4 Hyperebene die Argumente (a,b,c,d) so, dass je zwei konstant bleiben.
Und stellen fest: Egal auf welcher Hauptachsen-Kombination (ob zugleich auf der a- und der b-Achse oder der a- und der c-Achse oder, oder, oder...) wir uns von der "Stelle" (1,1,1,1) entfernen, stets wird der Funktionswert f größer.
Das heißt aber nicht zwangsläufig, dass dies auch im Falle anderer "Entfernungs"-Richtungen, so sein muss. Wenn wir uns beispielsweise auf irgendwelchen "Diagonalen" in der R4 Hyperebene bewegen, könnte es durchaus sein, dass es schief geht.
Ein Ausweg wäre folgender (Dann wird das ganze aber nicht mehr so trivial!):
Wir halten ja zwei Werte des Quadrupels fest bei jeweils 1. Dies ist wohl eine zu starke Einschränkung. Man müsste also hier sämtliche Konstanten zulassen. Die Grundidee wäre dieselbe, nur dass an Stelle von c=d=1 nun c und d stehenbleiben müssten. Auf dieser Basis wäre dann wieder dasselbe zu zeigen wie schon zuvor.
So wie ich das sehe, gäbe das aber nicht unbedingt eine wahnsinnige Reduzierung des Ausgangsproblems. Also doch in den sauren (Lagrange-)Apfel beißen?
Vielleicht liege ich aber auch gerade verkehrt mit meinen Zweifeln. (Glaube ich im Moment aber nicht!)
Muss nochmal irgendwann in Ruhe darüber nachdenken.
Mal sehen, vielleicht kommen auch noch andere Vorschläge.
Gruß
de
Die Lücke die ich sehe wäre folgende:
Wir können den Term auch als Funktionsvorschrift einer Funktion f des R5 auffassen.
Nun variieren wir in der R4 Hyperebene die Argumente (a,b,c,d) so, dass je zwei konstant bleiben.
Und stellen fest: Egal auf welcher Hauptachsen-Kombination (ob zugleich auf der a- und der b-Achse oder der a- und der c-Achse oder, oder, oder...) wir uns von der "Stelle" (1,1,1,1) entfernen, stets wird der Funktionswert f größer.
Das heißt aber nicht zwangsläufig, dass dies auch im Falle anderer "Entfernungs"-Richtungen, so sein muss. Wenn wir uns beispielsweise auf irgendwelchen "Diagonalen" in der R4 Hyperebene bewegen, könnte es durchaus sein, dass es schief geht.
Ein Ausweg wäre folgender (Dann wird das ganze aber nicht mehr so trivial!):
Wir halten ja zwei Werte des Quadrupels fest bei jeweils 1. Dies ist wohl eine zu starke Einschränkung. Man müsste also hier sämtliche Konstanten zulassen. Die Grundidee wäre dieselbe, nur dass an Stelle von c=d=1 nun c und d stehenbleiben müssten. Auf dieser Basis wäre dann wieder dasselbe zu zeigen wie schon zuvor.
So wie ich das sehe, gäbe das aber nicht unbedingt eine wahnsinnige Reduzierung des Ausgangsproblems. Also doch in den sauren (Lagrange-)Apfel beißen?
Vielleicht liege ich aber auch gerade verkehrt mit meinen Zweifeln. (Glaube ich im Moment aber nicht!)
Muss nochmal irgendwann in Ruhe darüber nachdenken.
Mal sehen, vielleicht kommen auch noch andere Vorschläge.
Gruß
de
doppelelch
15.02.2002, 10:41
Und noch ne kleine Ergänzung!
Vielleicht ist der Lagrange doch nicht so schlecht. Wir haben ja eine Vermutung bezüglich der lösung, müssen also nur zeigen, dass das mit dieser auch hinhaut.
Mit l=-5 funktionockelt das tatsächlich ziemlich einfach.
Bleibt noch zu zeigen, dass es sich tatsächlich auch (bei den gegebenen Nebenbedingungen, vor allem a,b,c,d>0 ) um ein absolutes Minimum handelt!
Das Problem könnte sich noch als komplexer erweisen, als es den Anschein hatte.
Gruß
de
(Vielleicht macht es da doch Sinn, sämtliche Lösungen des Gleichungssystems zu ermitteln? Naja - Viel Spaß dabei! Gleichung vierten Grades in l, wenn mich nicht alles täuscht. Naja, eine Lösung kennen wir ja, notfalls hilft dann Cardano *g)
Vielleicht ist der Lagrange doch nicht so schlecht. Wir haben ja eine Vermutung bezüglich der lösung, müssen also nur zeigen, dass das mit dieser auch hinhaut.
Mit l=-5 funktionockelt das tatsächlich ziemlich einfach.
Bleibt noch zu zeigen, dass es sich tatsächlich auch (bei den gegebenen Nebenbedingungen, vor allem a,b,c,d>0 ) um ein absolutes Minimum handelt!
Das Problem könnte sich noch als komplexer erweisen, als es den Anschein hatte.
Gruß
de
(Vielleicht macht es da doch Sinn, sämtliche Lösungen des Gleichungssystems zu ermitteln? Naja - Viel Spaß dabei! Gleichung vierten Grades in l, wenn mich nicht alles täuscht. Naja, eine Lösung kennen wir ja, notfalls hilft dann Cardano *g)
doppelelch
15.02.2002, 12:52
So, habe aus lauter Verzweifelung nochmal ein bißchen geschmökert:
Also: Die Lagrange-Multiplikatorenregel liefert lediglich ein notwendiges Kriterium für die Existenz eines rel. Extremas. Das heißt dann nicht, dass dort auch eines vorliegt.
Und Hesse-Matrizen brauchen wir da auch nicht.
(Einmal abgesehen davon, dass die Beutreilung, ob die Determinante der entstehenden Hesse-Matrix nun tatsächlich größer/kleiner als 0 ist uns vermutlich vor große Schwierigkeiten stellen dürfte)
Habs auch falsch in Erinnerung gehabt.
Aber warum nicht tatsächlich einfach nach relativen Extrema suchen. (Dafür benötigt man dann Hesse)
Werde es mir mal ansehen. Aber auch hier gilt:
Handelt es sich dann auch um ein absolutes Extremum (Minimum)
Gruß
de
Also: Die Lagrange-Multiplikatorenregel liefert lediglich ein notwendiges Kriterium für die Existenz eines rel. Extremas. Das heißt dann nicht, dass dort auch eines vorliegt.
Und Hesse-Matrizen brauchen wir da auch nicht.
(Einmal abgesehen davon, dass die Beutreilung, ob die Determinante der entstehenden Hesse-Matrix nun tatsächlich größer/kleiner als 0 ist uns vermutlich vor große Schwierigkeiten stellen dürfte)
Habs auch falsch in Erinnerung gehabt.
Aber warum nicht tatsächlich einfach nach relativen Extrema suchen. (Dafür benötigt man dann Hesse)
Werde es mir mal ansehen. Aber auch hier gilt:
Handelt es sich dann auch um ein absolutes Extremum (Minimum)
Gruß
de
doppelelch
15.02.2002, 13:12
So:
Die Funktion f(a,b,c,d)=....
besitzt nur ein relatives Minimum (Determinante der Hesse-Matrix ergibt 4)
bei (0,0,0,0) (Wer hätts gedacht *g).
Klar, die Lösung ist das noch nicht, da diese Lösung nicht eine unserer Nebenbedingungen erfüllt.
Aber vielleicht hilfts trotzdem weiter bei weiteren Überlegungen.
Ich denke weiter nach (Mal sehen obs was hilft - das Nachdenken *g)
Gruß
de
Die Funktion f(a,b,c,d)=....
besitzt nur ein relatives Minimum (Determinante der Hesse-Matrix ergibt 4)
bei (0,0,0,0) (Wer hätts gedacht *g).
Klar, die Lösung ist das noch nicht, da diese Lösung nicht eine unserer Nebenbedingungen erfüllt.
Aber vielleicht hilfts trotzdem weiter bei weiteren Überlegungen.
Ich denke weiter nach (Mal sehen obs was hilft - das Nachdenken *g)
Gruß
de
mp67
15.02.2002, 13:40
sieh Dir doch mal die bei der part.Differentiation entstehenden Gln. genau an. Da kommen keine Gln.4.Grades raus. Man erhält wie oben beschrieben a=b=c=d und mit der NB dann alle zu 1. Ist aber lustig, Dir bei mathematischen Selbstgesprächen zu lauschen ;) .
M.
M.
Langfingerli
15.02.2002, 13:46
Die armen Schüler :D
Im Unterricht nimmst du sie doch hoffentlich nicht auch so ran :p
Im Unterricht nimmst du sie doch hoffentlich nicht auch so ran :p
doppelelch
15.02.2002, 20:59
Freut mich, Dich belustigt zu haben, mp67 :D
Mag sein, dass es da durchaus eine elegante Methode gibt, das Gleichungssystem zu lösen, so genau habe ichs mir gar nicht angeschaut.
Das (1,1,1,1) eine Lösung des Systems ist, lässt sich wie oben erwähnt auch einfacher feststellen.
Trotzdem bleiben jede Menge Fragen bei dieser Vorgehensweise offen:
1. Die Multiplikatorenregel ist nur ein notwendiges Kriterium - plöt!
(Und die Hesse-Matrix hat mit Lagrange nix am Hut)
2. Selbst wenn es uns gelänge, auf diesem (oder ähnlichem Wege) zu zeigen, dass die Funktion ein relatives Minimum besitzt, fehlt noch der Nachweis für das absolute!
@Langfinger:
Ich muss gestehen, dass es bestimmt 10 Jahre her ist, dass ich Analysis im Rn in dieser Intensität betreiben musste. Das merkt man hier auch! Insofern bleiben meine Schüler weitestgehend von so etwas verschont. Aber ich glaube ja immer noch daran, dass es hierzu einen Lösungsansatz gibt, der ohne diesen Balast auskommt.
Gruß
de
Mag sein, dass es da durchaus eine elegante Methode gibt, das Gleichungssystem zu lösen, so genau habe ichs mir gar nicht angeschaut.
Das (1,1,1,1) eine Lösung des Systems ist, lässt sich wie oben erwähnt auch einfacher feststellen.
Trotzdem bleiben jede Menge Fragen bei dieser Vorgehensweise offen:
1. Die Multiplikatorenregel ist nur ein notwendiges Kriterium - plöt!
(Und die Hesse-Matrix hat mit Lagrange nix am Hut)
2. Selbst wenn es uns gelänge, auf diesem (oder ähnlichem Wege) zu zeigen, dass die Funktion ein relatives Minimum besitzt, fehlt noch der Nachweis für das absolute!
@Langfinger:
Ich muss gestehen, dass es bestimmt 10 Jahre her ist, dass ich Analysis im Rn in dieser Intensität betreiben musste. Das merkt man hier auch! Insofern bleiben meine Schüler weitestgehend von so etwas verschont. Aber ich glaube ja immer noch daran, dass es hierzu einen Lösungsansatz gibt, der ohne diesen Balast auskommt.
Gruß
de
Lim_Dul
15.02.2002, 21:16
Wenn aber (unter der Nebenbedinung) (1,1,1,1) das einzige Extremun ist, bedingt das nicht das es dann gleichzeitig auch das absolute ist, sofern die Funktion stetig ist. (Und ihre Ableitung) Schliesslich heißt doch relatives Minumum, dass in einer Umgebung alle Werte größer sind. Wenn es nun nicht das absolute Minimum ist, gibt es (immer noch unter der Nebenbedingung) einen Wert (a,b,c,d), so dass dieser kleiner ist. Impliziert da nicht der Mittelwertsatz, dass es dann dazwischen einen Punkt gibt, wo ein Maximum herrschen muss?.
Ich bin aus dem Stoff schon wieder raus bzw war nie richtig drin :D, und weiß daher nicht mehr genau was im Rn alles gilt und was nicht. ;)
Ich bin aus dem Stoff schon wieder raus bzw war nie richtig drin :D, und weiß daher nicht mehr genau was im Rn alles gilt und was nicht. ;)
doppelelch
15.02.2002, 21:55
Genau diese Überlegung hat mich eben gerade dazu veranlasst wieder hier reinzuschauen, Lim!
Denke wohl auch, dass es so ist. Ich habe etwas länger darüber nachgedacht, weil wir das Ganze ja unter Nebenbdingungen betrachten, ob das dann auch gilt. Würde Dir dabei aber nun zustimmen.
Damit ist auch unser Hesse wieder im Spiel.
Mit Lagrange bekämen wir Stellen, die als Extrema in Frage kämen (Das ist dann wohl nur, Gott sei Dank, die eine). Diese ist dann mittels Hesse zu überprüfen (Ob dort überhaupt eines vorliegt und wenn ja, welcher Art es ist!)
Jep.
Mp..ich verneige mal wieder mein Haupt vor Dir!
;)
Aber irgendwie stelle ich mich gerade schusselig bezüglich der Lösung des Gleichungssystems an. Mal sehen, vielleicht geht mir selbst noch ein Licht auf. Außerdem denke ich weiterhin über eine elegantere Möglichkeit nach!
Gruß
de
Denke wohl auch, dass es so ist. Ich habe etwas länger darüber nachgedacht, weil wir das Ganze ja unter Nebenbdingungen betrachten, ob das dann auch gilt. Würde Dir dabei aber nun zustimmen.
Damit ist auch unser Hesse wieder im Spiel.
Mit Lagrange bekämen wir Stellen, die als Extrema in Frage kämen (Das ist dann wohl nur, Gott sei Dank, die eine). Diese ist dann mittels Hesse zu überprüfen (Ob dort überhaupt eines vorliegt und wenn ja, welcher Art es ist!)
Jep.
Mp..ich verneige mal wieder mein Haupt vor Dir!
;)
Aber irgendwie stelle ich mich gerade schusselig bezüglich der Lösung des Gleichungssystems an. Mal sehen, vielleicht geht mir selbst noch ein Licht auf. Außerdem denke ich weiterhin über eine elegantere Möglichkeit nach!
Gruß
de
mp67
15.02.2002, 23:00
@doppelelch:
Die Gln., die bei der part. Diff. nach a u. b erhalten werden lauten: (=0 als notw.Bed. schon hintergesetzt)
Fa=2a+b+c+d-lbcd =0
Fb=a+2b+c+d-lbcd =0
Daraus folgt mit einigen Umstellungen
a(1+lcd)=b(1+lcd), also a=b.
Analoge Beziehungen folgen mutatis mutandis aus den anderen Gln. D.h. Für ein Extremum ist a=b=c=d notwendig. Da es ein Extremum unter der NB abcd=1 sein soll, muss ferner a=b=c=d=1 sein.
Deine Einwände(Hesse, lokal, global...) kann ich nicht nachvollziehen.
M.
Die Gln., die bei der part. Diff. nach a u. b erhalten werden lauten: (=0 als notw.Bed. schon hintergesetzt)
Fa=2a+b+c+d-lbcd =0
Fb=a+2b+c+d-lbcd =0
Daraus folgt mit einigen Umstellungen
a(1+lcd)=b(1+lcd), also a=b.
Analoge Beziehungen folgen mutatis mutandis aus den anderen Gln. D.h. Für ein Extremum ist a=b=c=d notwendig. Da es ein Extremum unter der NB abcd=1 sein soll, muss ferner a=b=c=d=1 sein.
Deine Einwände(Hesse, lokal, global...) kann ich nicht nachvollziehen.
M.
mp67
16.02.2002, 15:43
Die zweite Gl. muss natürlich
Fb=a+2b+c+d-lacd =0
lauten. Strg+C, Strg+V will eben gelernt sein... :D
M.
Fb=a+2b+c+d-lacd =0
lauten. Strg+C, Strg+V will eben gelernt sein... :D
M.
Lim_Dul
16.02.2002, 17:27
So ich greife mal Doppelelchs Vorschlag vom Anfang auf, damit geht das ganze auch schön einfach.
Ich betrachte nur 2 Variablen und zwar a>=1 und b<=1. Und zwar erhöhe ich a und senke b so dass danach gilt:
a>1 und b<1. c und d sind egal, müssen nicht notwendigerweise = 1 sein. Ich kann durch eine Kette von solchen Veränderungen jedes mögliche 4er Tupel erreichen. Wenn ich nun noch zeigen kann, das die Funktion für a>1 streng monoton steigend ist, habe ich gewonnen.
es gilt: b=1/(acd) und a>1 und acd>1 (Wegen b<1).
Damit sieht die Funktion wie folgt aus:
1 1 1 1
f(a)=a²+ ------ + c² + d² + -- + ac + ad + -- + -- + cd
(acd)² cd ad ac
2 1 1
f'(a)= 2a - ------ + c + d - --- - ---
a³c²d² a²d a²c
Zum Zeigen von streng monoton steigend muss ich nun zeigen
(unter oben genannten Bedinungen) das die Funktion grösser 0 ist.
Hauptnenner ist a³c²d², ich lasse den Nenner nun direkt weg
2a4c²d² - 2 + a³c³d² + a³c²d³ - ac²d - acd²
= 2(a²(acd)² - 1) + ac²d(a*acd - 1) + acd²(a*acd - 1)
Wie man nun sieht, sind die Terme in den Klammer immer grösser 0, damit ist Funktion für a>1, acd>1 streng monoton wachsend. Da es vom Tupel (1,1,1,1) ausgehend zu jedem andern Tupel einen Weg gibt, auf welchem die Funktion streng monoton wächst, ist (1,1,1,1) ein absolutes Minimum.
Ich betrachte nur 2 Variablen und zwar a>=1 und b<=1. Und zwar erhöhe ich a und senke b so dass danach gilt:
a>1 und b<1. c und d sind egal, müssen nicht notwendigerweise = 1 sein. Ich kann durch eine Kette von solchen Veränderungen jedes mögliche 4er Tupel erreichen. Wenn ich nun noch zeigen kann, das die Funktion für a>1 streng monoton steigend ist, habe ich gewonnen.
es gilt: b=1/(acd) und a>1 und acd>1 (Wegen b<1).
Damit sieht die Funktion wie folgt aus:
1 1 1 1
f(a)=a²+ ------ + c² + d² + -- + ac + ad + -- + -- + cd
(acd)² cd ad ac
2 1 1
f'(a)= 2a - ------ + c + d - --- - ---
a³c²d² a²d a²c
Zum Zeigen von streng monoton steigend muss ich nun zeigen
(unter oben genannten Bedinungen) das die Funktion grösser 0 ist.
Hauptnenner ist a³c²d², ich lasse den Nenner nun direkt weg
2a4c²d² - 2 + a³c³d² + a³c²d³ - ac²d - acd²
= 2(a²(acd)² - 1) + ac²d(a*acd - 1) + acd²(a*acd - 1)
Wie man nun sieht, sind die Terme in den Klammer immer grösser 0, damit ist Funktion für a>1, acd>1 streng monoton wachsend. Da es vom Tupel (1,1,1,1) ausgehend zu jedem andern Tupel einen Weg gibt, auf welchem die Funktion streng monoton wächst, ist (1,1,1,1) ein absolutes Minimum.
doppelelch
16.02.2002, 20:46
Danke mp, hatte es nun inzwischen selbst. Trotzdem Danke!
Meine Einwände hatte ich inzwischen auch schon in meinem letzten Beitrag beiseite geschoben. Kann ich inzwischen auch nicht mehr nachvollziehen *g.
Na dann.
Gruß
de
P.S.: Ich danke auch Lim für die Nachreichung einer eleganten Lösung. *g
Wau...habs mir jetzt mal angesehen...wirklich schön!
Auch dies ist eine Verneigung des Hauptes wert *g.
P.P.S.: Wie war die Stochstik-Klausur, Lim? (Habe mitgefiebert *g)
Meine Einwände hatte ich inzwischen auch schon in meinem letzten Beitrag beiseite geschoben. Kann ich inzwischen auch nicht mehr nachvollziehen *g.
Na dann.
Gruß
de
P.S.: Ich danke auch Lim für die Nachreichung einer eleganten Lösung. *g
Wau...habs mir jetzt mal angesehen...wirklich schön!
Auch dies ist eine Verneigung des Hauptes wert *g.
P.P.S.: Wie war die Stochstik-Klausur, Lim? (Habe mitgefiebert *g)
Lim_Dul
16.02.2002, 22:14
*g* Ich sollte bestanden haben, 5 von 8 Aufgaben bearbeitet, pro Aufgabe gibts 4 Punkte und 13 braucht man. ;)
doppelelch
16.02.2002, 22:30
Klingt gut! Freut mich.
Habe eben immer mal wieder an Deinen Beweis denken müssen. Ich sags nochmal: WIRKLICH schön.
Wie dämlich von mir! Klaro...über die Ableitung die strenge Monotonie zeigen. (Wäre in zwei Wochen vielleicht auch darauf gekommen :rolleyes: ) Oh Mann!
Naja, mir bleibt der Trost, womöglich (vermutlich aber auch nicht!) wenigstens einen Anstoß gegeben zu haben. *g
Gruß
de
Habe eben immer mal wieder an Deinen Beweis denken müssen. Ich sags nochmal: WIRKLICH schön.
Wie dämlich von mir! Klaro...über die Ableitung die strenge Monotonie zeigen. (Wäre in zwei Wochen vielleicht auch darauf gekommen :rolleyes: ) Oh Mann!
Naja, mir bleibt der Trost, womöglich (vermutlich aber auch nicht!) wenigstens einen Anstoß gegeben zu haben. *g
Gruß
de
Lim_Dul
16.02.2002, 22:40
ka was der Grund / Anstoss war, dein Posting hat bestimmt eine Rolle gespielt, aber mir kam der Gedanke gestern abend kurz bevor ich ins Bett bin.
doppelelch
17.02.2002, 22:36
Ich muss hierzu einfach noch ein Gauß-Zitat loswerden (Ging mir sinngemäß die ganze Zeit im Kopf rum und habe jetzt den genauen Wortlaut wiedergefunden):
"Ein zusätzlicher Reiz vieler arithmetischer Theorien liegt in der Eigentümlichkeit, dass wichtige Sätze, die den Stempel der Einfachheit tragen, oft durch Induktion leicht zu entdecken und doch von solcher Tiefe sind, dass wir ihren Beweis erst nach vielen vergeblichen Versuchen finden; und selbst wenn es uns gelingt, benötigen wir dazu oft langwierige und kunstvolle Verfahren, während die einfacheren Methoden oft lange verborgen bleiben können."
*g
Gruß
de
"Ein zusätzlicher Reiz vieler arithmetischer Theorien liegt in der Eigentümlichkeit, dass wichtige Sätze, die den Stempel der Einfachheit tragen, oft durch Induktion leicht zu entdecken und doch von solcher Tiefe sind, dass wir ihren Beweis erst nach vielen vergeblichen Versuchen finden; und selbst wenn es uns gelingt, benötigen wir dazu oft langwierige und kunstvolle Verfahren, während die einfacheren Methoden oft lange verborgen bleiben können."
*g
Gruß
de