f(x)= { x2*sin(1/x) (für x<font class="serif">≠</font>0) und 0 (für x=0)
a) Ist f in x0 differenzierbar ? Wie lautet gegebenfalls f'(0) ?
Soweit ich weiss ist eine funktion an der stelle x differenzierbar wenn der linkseitige und rechtsseitige differenzenquotient den gleichen wert haben.
Wenn ich mir die kurve anschaue sollte dies der fall sein.
Den beweis hierfür kann ich jedoch nicht führen da sin(1/x) für x=0 nicht definiert ist.
Oder gibts hier doch einen weg um dies zu beweisen ?
Wäre nett wenn mir jemand mal erklärt wie ich in solchen Fällen vorzugehen habe.
Gruss Andreas
doppelelch
14.02.2002, 18:11
So, habe mir mal ein paar Gedanken gemacht und etwas geschmökert.
Also meines Erachtens (steht allerdings auf wackeligen Füßen!) ist die Funktion bei x=0 NICHT differenzierbar.
Das Ganze läuft auf einen Grenzwert
(Egal ob rechtsseitig, linksseitig, "frontal" *g) der Form
lim(x->0)[x*sin(1/x)]
hinaus.
Der Grenzwert lim(x->0)[sin(1/x)] ist aber nicht definiert, d.h. es gibt ihn nicht!
(Mit dieser Begründung sagt z.B. Bronstein, dass f(x)=x*sin(1/x) nicht differenzierbar ist)
(Ist insofern, zumindest ohne weiteren Kommentar, etwas wackelig, da es ja nicht alleinig um den Grenzwert von sin(1/x) geht, sondern eben um den Grenzwert obigen Produktes).
Also stetig ist Deine Funktion (das lässt sich relativ einfach zeigen) aber differenzierbar wohl nicht.
Aber vielleicht fällt mir ja noch etwas ein.
Mal sehen, ob sich noch jemand dazu äußert.
Bin ganz gespannt!
Gruß
de
nobody
14.02.2002, 19:01
Erstmal danke für dein Interesse !
Eine Sache hat mich aber stutzig gemacht...
Zitat: "Also stetig ist Deine Funktion (das lässt sich relativ einfach zeigen) aber differenzierbar wohl nicht."
Ich dachte immer das eine funktion die in jedem punkt stetig ist als stetige funktion bezeichnet wird.
Gleichzeitig ist eine stetige funktion dann aber auch in jedem punkt differenzierbar.
So stets zumindest in den büchern.
Mit x<font class="serif">≠</font>0 ist sie natürlich überall stetig und differenzierbar.
Das hilft aber nicht weiter da wir uns ja nur für die stelle x=0 interessieren an der die funktion als f(x)=0 festgelegt wurde.
Deswegen verstehe ich nicht ganz warum du die differenzierbarkeit alleine anhand von lim(x->0)[x^2*sin(1/x)] festmachst :confused:,
aber auf die funktion f(x)=0 gar nicht eingehst.
mp67
14.02.2002, 19:31
Originalnachricht erstellt von AV
...
Ich dachte immer das eine funktion die in jedem punkt stetig ist als stetige funktion bezeichnet wird.
Gleichzeitig ist eine stetige funktion dann aber auch in jedem punkt differenzierbar.
So stets zumindest in den büchern...
Sooo? Also |x| ist sicher stetig, aber in x=0 sicher nicht differenzierbar.
M.
nobody
14.02.2002, 19:40
jupp das stimmt :rolleyes:
...dann gilt das oben gesagte wohl nicht für spezialfälle wie diesen o. |x|
Smudie
14.02.2002, 20:08
Es gilt nicht nur nicht für solche Spezialfälle (tolle
Formulierung :) ),sondern generell.
Man kann nur von der Stetigkeit einer Funktion auf ihre
Differenzierbarkeit schließen, wenn sie in jenem Punkt
unstetig ist.
Obige Funktion sollte (rein graphisch betrachtet) im
Punkt (0;0) stetig und differenzierbar sein.
Wie gesagt. graphisch betrachtet.
Smudie
14.02.2002, 20:13
Hab gerade noch mal nachgedacht, und mir fiel ein
Beispiel ein, was nun mich wiederlegt.
Also formulieren wir mal um:
Nicht alle Arten von Unstetigkeitsstellen waren
gemeint, sondern nur Polstellen.
Ansonsten sollte man eigentlich keine Aussage treffen
können.
doppelelch
14.02.2002, 20:14
@ AV:
Also:
Das (von Dir) oben Gesagte gilt NUR für Spezialfälle!
Es ist grundsätzlich andersrum:
Jede differenzierbare Funktion ist stetig.
D.h. aber nicht, dass jede stetige Funktion nun umgekehrt auch differenzierbar ist.
Und der von mir genannte Grenzwert ergibt sich aus der Aufstellung des Differentialquotienten. Und in diesem findet die definitorische Festlegung f(x)=0 für x=0 bereits Berücksichtigung.
Stelle einfach mal den Differentialquotienten für die Funktion und die Stelle x=0 auf und Du kommst (hoffe ich für mich) auf denselben Ausdruck.
Das einzig Brauchbare, was ich zum Thema Differenzierbarkeit habe finden können, war eben die Definition, nämlich die Rückführung auf die Existenz des Differentialquotienten.
Gruß
de
P.S.: Äh, aus dem was smudie sagt werde ich ehrlich gesagt nicht so ganz schlau. Macht aber erstmal nix, hoffe ich. *g
buba
14.02.2002, 20:19
Funktionen, die differenzierbar sind, sind auch stetig; Funktionen, die stetig sind, sind aber nicht zwingend differenzierbar!
Wenn was anderes in euren Lehrbüchern steht, ist es falsch.
Smudie
14.02.2002, 20:28
@ Doppelelch
Naja, ich hab manchmal etwas konfuse Gedankengänge.
Für mich ist es dann immer logisch, aber das auch
vernünftig rüberzubringen ist manchmal etwas schwierig.
Sorry.
doppelelch
14.02.2002, 20:52
@smudie
Du musst Dich nicht entschuldigen.
Ich wollte nicht rumpatzen. Ich muss mich entschuldigen, wenn das so angekommen ist. Sorry.
Ich habs eben einfach nur nicht so ganz verstanden, das war alles.
Hatte aber den Eindruck, dass Du etwas überlegt und dann sogleich wieder revidiert hattest. Deshalb meine Bemerkung "macht nix".
Herzlichsten Gruß smudie
de
Karch
14.02.2002, 21:39
Den beweis hierfür kann ich jedoch nicht führen da sin(1/x) für x=0 nicht definiert ist
War das nicht mal so, dass Funktionen, die an einer Stelle nicht definiert sind, an dieser Stelle auch nicht zu differenzieren sind? :confused:
Andererseits @AV: Wenn du schreibst f(x)= { x2 *sin(1/x) (für x <font class="serif">≠</font> 0) und 0 (für x=0)
schließe ich daraus, dass die Funkt. eben doch an x=0 def. ist (bestätigt übrigens auch DERIVE: keine Lücke oder Amplitude)
doppelelch
14.02.2002, 21:54
@ Karch
Ich sagte ja bereits:
Stetig ist die Funktion - ja!
Und definiert ist die Funktion auch bei x=0!
Nur lässt sich von sin(1/x) kein entsprechender Grenzwert bilden, bzw. er existiert nicht!
Gruß
de
doppelelch
14.02.2002, 22:03
Also, ich habe nochmal darüber nachgedacht:
Ich denke inzwischen Folgendes:
Bronstein geht von der Funktion
f1(x)=x*sin(1/x)
aus.
Der Differntialquotient dieser Funktion lautet für die Stelle x=0 tatsächlich
lim(x->0)[sin(1/x)]
und das geht nicht! Ergo ist f1(x) nicht differenzierbar.
Im Falle der AV-Funktion ergibt sich für den Differentialquotienten aber das bekannte.
lim(x->0)[x*sin(1/x)]
Und da sieht die Sache nun anders aus!
Folgende Überlegung nun:
Der sin bleibt beschränkt (oszilliert zwischen -1 und +1) Der Faktor x drückt demnach das Produkt x*sin(1/x) im Falle nullstrebigen x´es gegen 0.
Damit ist der Grenzwert existent (und links- wie rechtsseitiger sind zudem noch identisch).
Mein Schluss wäre also:
Die Funktion ist nicht nur stetig sondern auch differenzierbar!!
Gruß
de
nobody
14.02.2002, 23:04
@doppelelch
Hört sich alles recht plausibel an.
Ich schliesse mich deiner Meinung an ;)
nobody
16.02.2002, 22:32
ja ähh die Tangenten-Funktion ist
y=0
:)
Dresh
doppelelch
16.02.2002, 22:46
LOL - Stimmt, da steht ja noch was aus - LOL
Aber...:D die Tangentengleichung war nicht gefragt, sondern nur f´(0) - LOL. Das wäre wohl =0
:D :D
Gruß
de
Biohazard
16.02.2002, 22:53
Weil es grad so schön zum Thema "stetig, aber nicht differenzierbar" passt und ich zufällig darüber eine Arbeit geschrieben habe ;), kommt nun ein sehr gutes Beispiel für eine solche Kurve:
<div align=center><IMG SRC="http://wwwsiegert.informatik.tu-muenchen.de/lehre/seminare/ps_ws9798/ausarb/ps_ws9798_06/Koch4.jpg" HEIGHT=122 WIDTH=369>
Die Koch-Kurve</div>
Dies ist eine sogenannte fraktale Kurve mit der gebrochenen Dimension 1,26. In seiner Grenzform an jeder Stelle stetig, aber an keiner Stelle differenzierbar. Nett, hm? :cool:
ork
17.02.2002, 08:17
Ich fürchte, es gehört nicht mehr wirklich zu Differenzierbarkeit, aber könntest Du erklären, was man unter einer gebrochen Dimensionen versteht?
Und wie bestimmt man bei Fraktalen die Dimension? (Bei solchen Gebilden, wie Mandelbrot - oder geht das nur bei "fraktalen Kurve"?)
Nachtrag:
Ich seh schon, auf Deinen Beitrag zu "fraktalen Dimensionen" hat auch niemand geantwortet :sad: .
Biohazard
17.02.2002, 09:24
Gebrochene Dimension heißt, der Wert der Dimension ist nicht ganzzahlig. Die für uns geometrisch vorstellbaren und verwendeten Dimensionen gehen grob gesagt von -1 bis 3 (-1 ist die Dimension der Leeren Menge, 0 die eines Punktes, 1 die einer Kurve, Gerade oder Halbgerade, 2 die einer Fläche und 3 die eines Raumes).
Fraktale Figuren liegen zwischen den Dimensionen, die man aus der euklidischen Geometrie kennt, in einer sogenannten Hausdorff-Dimension, die größer ist, als die topologische Dimension der Kurve. (So definierte Mandelbrot fraktale Mengen). In unserem Fall hat die Koch-Kurve eine Dimension von 1,26, ist also sozusagen eine Kurve mit Flächencharakter.
Bei solchen Kurven oder anderen fraktalen Gebilden verwendet man oftmals das sogenannte Zirkeldimensionsverfahren:
Man beginnt mit dem Abschreiten der Kurve mit einem Zirkel der Öffnung m, wobei man zunächst immer Unebenheiten oder Details, deren Maß kleiner als m ist, vernachlässigt. m ist die Einheit der verwendeten Skala, und N(m) die Anzahl benötigter Zirkelschritte von A nach B. Man untersucht nun das Verhalten von N(m) für m<font class="serif">→</font>0.
(Vergleiche angehängtes Bild)
Durch das Verkleinern von m werden immer mehr Details der Kurve erfasst, die vorher bei größerem Maßstab nicht aufgefallen wären.
Ergibt sich ein Potenzgesetz N(m) ~ m-s, so ist die Zirkeldimension der Kurve gleich s.
Daraus lässt sich dann eine Gleichung für die Dimension DimZ(K) erstellen:
(Im Code konnte ich den Bruch leider nicht gut darstellen, darum die seltsamen Klammern :rolleyes: )
Bitte verwendet das Bild nirgendwo, ich bin mir nicht sicher, ob es irgendwie geschützt ist.
Nachtrag:
Oh, wie ich sehe, bin ich inzwischen selbst auf eine Möglichkeit gekommen ;)
Ja, ich habe ein wenig gesucht und bin schließlich doch noch fündig geworden.
Schade, das Bild ist doch zu groß, ich schicke es einem Moderator, damit er es einfügt.
Biohazard
17.02.2002, 10:03
So, Bild ist verkleinert, vielleicht geht es jetzt...
upsidedown
17.02.2002, 10:19
Die Funktion ist nicht nur stetig sondern auch differenzierbar!!