Gegeben ist die Funktion h(x)=\frac{x^3-1}{x^2-1} mit dem Grenzwert \frac{3}{2} für x \rightarrow 1 . Beweisen Sie dies, indem sie die Gleichung |\frac{x^3-1}{x^2-1}-\frac{3}{2}|<\epsilon nach x auflösen. Hier kommt mein Problem. Ich kann die Gleichung durch Faktorisierung noch zu |\frac{x^2-0.5x-1}{x+1}|<\epsilon vereinfachen. Wie aber bekomme ich die Betragsstriche weg? Eigentlich müsste ich ja 4 Fallunterscheidungen Treffen, das kann aber doch eigentlich nicht im Sinne des Erfinders liegen, da ich ja so bei konkretem Epsilon auch 4 Möglichkeiten für x (und somit auch später für die \delta-Umgebung) hätte, bzw. sogar noch mehr, da die Ungleichung am Ende ja zu einer Quadratischen Ungleichung führt.
Friedrich Karl Schmidt
07.12.2005, 14:26
Wenn man den Betrag durch Fallunterscheidung auflöst, lassen sich bestimmte Fallkombinationen m.E. ausschließen, weil sie nicht in einer hinreichend kleinen d - Umgebung von x = 1 liegen. So gesehen würde sich die Zahl der in Frage kommenden Fallkombinationen jedenfalls vermindern.
Vielleicht hilft dieser Hinweis weiter. Ich habe aber nicht durchgerechnet.
Gruß FKS
AvP
07.12.2005, 16:19
Ich habe jetzt einfach mit der Fallunterscheidung x>1 und (-0,5)<x<1 gearbeitet, was auf zwei Quadratische Ungleichungen zurückzuführen war, die sich jedoch zum Glück nur um das Größenzeichen unterschieden, und ich so mit einer Quadratischen Gleichung und insgesamt zwei Lösungen auskam. Meine beiden Ungleichungen lauten x^2-0,49x-0,49<0 und x^2-0,49x-0,49>0. Eigentlich ist der Lösungsbereich der ersten Gleichung zwischen den Nullstellen der zugehörigen Funktion, während der Lösungsbereich der zweiten Ungleichung aus dem Bereich rechts der positiven und links der negativen Nullstelle der Funktion bewegt. Ich bekomme dann also einmal (-0,4966367)<x<0.9866367 und (-0,4966367)>x>0.9866367 Wie aber bekomme ich das dann in der Gleichung |x-x_0|<\delta untergebracht? Zudem habe ich das Problem, dass ich für \delta einen Ausdruck der Form \delta>a herausbekomme, was aber doch irgendwie nicht sein kann, da ja die Deltaumgebung nicht beliebig groß werden kann.