Ich ärger mich mal wieder mit meinen Mathe-Aufgaben rum.
Kann mir jemand einen Tipp geben wie ich da weiterkomme?
Zu bestimmen ist der Grenzwert der Folge:
(1 + \frac{1}{n+p})^{n} mit p Element N.
Ich weiß, dass die Folge gegen e konvergiert. Ich hab die Folge auch schon nach oben abgeschätzt. Das ist ja auch nicht schwer. Nach unten fehlt mir irgendwie die richtige Idee. Welchen Trick könnte ich da anwenden?
Ich wuerde nicht mit einer Abschaetzung nach unten arbeiten,
sondern mit folgendem Satz:
Jede monoton steigende nach oben beschraenkte Folge konvergiert
gegen ihr Supremum.
Naja, e ist ja bereits obere Schranke. Brauchst also nur noch zu
zeigen, dass es keine kleinere obere Schranke als e gibt,
was nicht besonders schwer ist (Angenommen, es gaebe
eine obere Schranke s mit s < e. Dann...)
Jan84
19.11.2005, 17:19
Ah... super... das hört sich gut an. Ich kann mich sogar dran erinnern, gestern sowas in der Vorlesung gehört zu haben. Ist irgendwie scheiße, wenn man die Aufgaben bekommt, bevor man sie lösen kann. Da kommt man viel zu leicht auf einen falschen Weg. ;)
Jan84
19.11.2005, 21:17
Naja, e ist ja bereits obere Schranke. Brauchst also nur noch zu
zeigen, dass es keine kleinere obere Schranke als e gibt,
was nicht besonders schwer ist (Angenommen, es gaebe
eine obere Schranke s mit s < e. Dann...)
Ok, ich musste gerade feststellen, dass ich das doch alles andere als einfach finde. :(
So wie ich das sehe, läuft das ganze ja auf einen Widerspruchsbeweis hinaus!? Da ist mir rein vom Prinzip her auch klar, wie das ablaufen soll. Ich gehe davon aus, dass es ein s < e gibt und forme dann geschickt um, so dass ein Widerspruch entsteht, der nicht haltbar ist, was dann bedeutet, dass es doch kein s < e gibt und e somit das Supremum sein muss.
Allerdings scheiter ich schon ganz am Anfang dabei:
Ich schreibe also auf:
Angenommen es gibt eine obere Schranke s mit s < e, dann gilt:
(1 + \frac{1}{n+p})^{n} < s < e
So, und genau da hört dann momentan mein Verständnis für die Mathematik auf. :sad:
Wie, was oder warum und weswegen mach ich jetzt wie und was überhaupt weiter?
Diese Mathematik bringt mich echt noch um den Verstand. Warum geht Physik nicht auch ohne?? ;)
Friedrich Karl Schmidt
19.11.2005, 23:19
Ich wuerde nicht mit einer Abschaetzung nach unten arbeiten,
sondern mit folgendem Satz:
Jede monoton steigende nach oben beschraenkte Folge konvergiert
gegen ihr Supremum.
Naja, e ist ja bereits obere Schranke. Brauchst also nur noch zu
zeigen, dass es keine kleinere obere Schranke als e gibt,
was nicht besonders schwer ist (Angenommen, es gaebe
eine obere Schranke s mit s < e. Dann...)
Idee : So erweitern, dass im Exponenten auch (n+p) steht, so dass der Zähler des enstehenden Bruches unstreitig einfach gegen e konvergiert. Der Zähler konvergiert gegen 1 , was leicht einsehbar ist.
Gruß FKS
Jan84
19.11.2005, 23:35
Idee : So erweitern, dass im Exponenten auch (n+p) steht, so dass der Zähler des enstehenden Bruches unstreitig einfach gegen e konvergiert. Der Zähler konvergiert gegen 1 , was leicht einsehbar ist.
:eek:
Danke, sehr guter Tipp. So spart man sich ja irgendwie jede Menge arbeit. :)