Verständnisfrage zur Cauchyfolge

[DHDW]

Moinmoin!

Wie der Titel schon sagt, es geht um Cauchyfolgen. Und zwar haben wir die Cauchyfolge so definiert:

Eine Zahlenfolge a_n heißt Cauchyfolge, wenn es zu jedem epsilon > 0 eine nat. Zahl N_epsilon gibt, die nur von epsilon und der Folge abhängt, sodass

|a_n - a_m| < epsilon, m,n > N_epsilon.


Was die Definition im Grunde meint, ist mir schon klar. Also dass für große m, n der Abstand gegen Null konvergiert. Aber 2 Stellen sind mir dann doch unklar:

1.) Das epsilon ist nur auf > 0 und nicht 0 < epsilon < 1 eingeschränkt, oder?

2.) Was bedeutet "N_e, [/B]das nur von epsilon und der Folge abhängt[/B] Ist das N_epsilon ein Folgenglied? Oder heißt das nur, dass es bei jeder Folge ein solches geben muss, ab dem die Bedingung (Betrag kleiner epsilon) dann erfüllt ist? Aber warum muss das N_epsilon dann eine natürliche Zahl sein?

Eigentlich dachte ich, dass ich die Def. verstanden hätt, aber wenn ich nochmal genauer nachhake, muss ich feststellen, dass sie mir sooo klar doch nicht ist. Vielleicht kann mir da jemand auf die Sprünge helfen?

[Rosentod]

1.) Das epsilon ist nur auf > 0 und nicht 0 < epsilon < 1 eingeschränkt, oder?Welcher vernünftige Grund fällt dir ein, dass epsilon kleiner 1 sein sollte?

2.) Was bedeutet "N_e, [/B]das nur von epsilon und der Folge abhängt[/B] Ist das N_epsilon ein Folgenglied? Oder heißt das nur, dass es bei jeder Folge ein solches geben muss, ab dem die Bedingung (Betrag kleiner epsilon) dann erfüllt ist? Aber warum muss das N_epsilon dann eine natürliche Zahl sein?N(epsilon) ist die von epsilon abhängige Grenze, ab der die Ungleichung erfüllt ist. Selbstverständlich ist dieser Wert auch von der Folge abhängig. Da m und n aus den natürlichen Zahlen sind, macht es Sinn, dass man auch N(epsilon) darauf beschränkt. Unbedingt nötig wäre das wohl nicht.

[DHDW]

OK, danke schonmal, hat mir auf jeden Fall weitergeholfen!

noch zu 1.) Ich kam drauf, weil unser Prof zwar epsilon > 0 an die Tafel geschrieben hatte, aber irgendwann zwischendurch mal von 0 < epsilon < 1 sprach. Mag sein, dass er sich versprochen oder das anders gemeint hat. Außerdem hatte er an einer anderen Stelle etwas als 1 / epsilon definiert, was mir keinen Sinn zu ergeben schien, falls das epsilon größer 1 ist ... (Was das genau war, weiß ich nicht mehr, ist auch nicht weiter wichtig, nur da kam ich etwas ins Grübeln.)

[crazy_budgie]

Es muss zu JEDEM Epsilon ein N geben, also auch zu Epsilons, die groesser als 1 sind. Aber mathematisch relevant sind natuerlich nur die sehr kleinen Epsilons, weil:
-wenn der Abstand kleiner ist als ein kleines Epsilon, ist er damit ja auch automatisch kleiner als jedes groessere Epsilon
-wir wollen ja Epsilon gegen Null gehen lassen, also betrachtet man sowieso nur die kleinen, bringt nicht viel zu wissen dass der Abstand zweier Folgeglieder kleiner ist als 5 Millionen aber trotdem gibts auch zu den 5 Millionen ein Epsilon...

Gruss, CB

[DHDW]

OK, ich denk das hat mein Prob. gelöst! Danke für eure Antworten :)