Also, ich habe so ein ähnliches Problem wie das Thema davor.
Ich versuche zu beweisen, dass die rekursive Folge:
an+1 = 2* an + 3 - 1 mit a1 = 5
monoton fallend ist (letztendlich um die Konvergenz zu beweisen)
Ich habs mal mit Induktion probiert, aber irgendwie kam da nichts vernünftiges raus...:confused:
Und wenn ich es über die Schiene an+1 - an+2 < an - an+1 versuche kommt was ziemlich kompliziertes mit ner 4. Potenz raus...
Bin irgendwie langsam frustriert von der Aufgabe :(
Kann mir nicht irgendjemand helfen bitte? Danke :)
Rosentod
16.11.2005, 17:40
:confused:
Monoton fallend:
an+1-an<0 und an+1/an<1
Ayana
16.11.2005, 21:01
Ja, das ist ja klar, da du im Prinzip 2 Abwandlungen von
an+1 < an
hingeschrieben hast. Aber dann kriege ich nur raus, dass
an > 2
sein muss. Das stimmt zwar, da 2 ja mein Grenzwert ist, aber das ist doch nicht allgemeingültig, da ich es vorher ja noch nicht weiß?
Oder habe ich jetzt hier irgendwo einen Denkfehler :confused:
Ayana
17.11.2005, 20:19
Würde jetzt eigentlich die 1. Ableitung was bringen? Hab ich zwar noch nicht gesehen, aber ich bin an einem Punkt, wo ich selbst das exotischte probiere:D
crazy_budgie
18.11.2005, 19:44
Das ist eine Folge, keine Funktion, die kann man eigentlich nicht ableiten das sind ja im Prinzip nur einzelne "Punkte".
Gruss, CB
Rosentod
18.11.2005, 21:07
Ich darf den Definitionsbereich von Funktionen doch beliebig einschränken. Also auch auf die natürlichen Zahlen. Ich denke trotzdem nicht, dass Ableitungen hier Mittel der Wahl sind. Es ist letztlich eine Aufgabe für die man wohl recht lange knobeln muss.
crazy_budgie
19.11.2005, 11:06
Zum einen ist die Folge nur rekursiv gegeben, wie willst Du da eine Funktion durchlegen?? Und zum zweiten, selbst wenn die Vorschrift explizit waere, kann man zwar die Steigung der (stetigen) Funktion berechnen, die durch diese Punkte geht, aber der Differenzenquotient existiert nur fuer stetige Funktionen, wenn ich auf die natuerlichen Zahlen einschraenke ist das aber alles andere als stetig, ein einzelner Punkt kann einfach keine Ableitung haben!
Gruss, CB
Rosentod
20.11.2005, 22:55
Und zum zweiten, selbst wenn die Vorschrift explizit waere, kann man zwar die Steigung der (stetigen) Funktion berechnen, die durch diese Punkte geht, aber der Differenzenquotient existiert nur fuer stetige Funktionen, wenn ich auf die natuerlichen Zahlen einschraenke ist das aber alles andere als stetig, ein einzelner Punkt kann einfach keine Ableitung haben!1. Man könnte versuchen, die explizite Vorschrift zu finden.
2. Wer behauptet, dass eine Funktion deren Def.-Bereich die Natürlichen Zahlen sind, nicht stetig sein kann? Außerdem ließe sich doch auch eine Funktion mit reellem Def.-Breich untersuchen, die durch die gegebenen Punkte geht.
crazy_budgie
20.11.2005, 23:09
1. Man könnte versuchen, die explizite Vorschrift zu finden.
2. Wer behauptet, dass eine Funktion deren Def.-Bereich die Natürlichen Zahlen sind, nicht stetig sein kann?
Soweit ich weiss ist Stetigkeit nur auf den reellen Zahlen definiert, weils bei allem anderen einfach keinen Sinn machen wuerde, die einzige Funktion, bei der ich mir vorstellen koennte dass sie auch auf den natuerlichen Zahlen als stetig angesehen werden kann, ist eine konstante Funktion. Aber wenn das so nicht stimmt lass ich mich da gern belehren.
Außerdem ließe sich doch auch eine Funktion mit reellem Def.-Breich untersuchen, die durch die gegebenen Punkte geht.
Mir faellt jetzt spontan nichts ein, was dagegen spricht dass dann auch die Folge monoton fallend ist, ich weiss aber auch keinen Beweis dafuer, dass es so ist, und ich habe noch nie gesehen dass jemand das Folgenproblem ueber eine eingeschraenkte Funktion geloest hat, genau das habe ich mich aber auch schonmal gefragt ob das geht, weiss da jemand mehr drueber oder hat einen Beweis?
Gruss, CB
Rosentod
20.11.2005, 23:16
Aber wenn das so nicht stimmt lass ich mich da gern belehren.http://mathworld.wolfram.com/ContinuousFunction.html
Mir faellt jetzt spontan nichts ein, was dagegen spricht dass dann auch die Folge monoton fallend ist, ich weiss aber auch keinen Beweis dafuer, dass es so ist, und ich habe noch nie gesehen dass jemand das Folgenproblem ueber eine eingeschraenkte Funktion geloest hat, genau das habe ich mich aber auch schonmal gefragt ob das geht, weiss da jemand mehr drueber oder hat einen Beweis?Wenn man den Definitionsbereich einschränkt, ändert das doch nichts an der Monotonie.
Ich kenn schon die Definition von Stetigkeit, aber da man nicht einfach ne reelle Funktion nehmen und dann jedem definierten Wert einfach ne natuerliche Zahl zuordnen kann (dann waeren die reellen Zahlen und die natuerlichen ja gleichmaechtig), krieg ich als einzige "stetige" Funktion auf den natuerlichen Zahlen immer noch nur die konstante Funktion...
Wenn man den Definitionsbereich einschränkt, ändert das doch nichts an der Monotonie.
Genau so war auch meine Ueberlegung gewesen, aber wir durften das nie so verwenden, von daher gehe ich davon aus, dass da wohl doch irgendwo ein Haken ist.
Gruss, CB
Rosentod
21.11.2005, 10:04
Ich kenn schon die Definition von Stetigkeit, aber da man nicht einfach ne reelle Funktion nehmen und dann jedem definierten Wert einfach ne natuerliche Zahl zuordnen kann (dann waeren die reellen Zahlen und die natuerlichen ja gleichmaechtig), krieg ich als einzige "stetige" Funktion auf den natuerlichen Zahlen immer noch nur die konstante Funktion...Umgekehrt. Man ordnet jeder natürlichen Zahl einen reellen Wert zu. Eine solche Funktion kann durchaus stetig sein. Warum sollte eine konstante Funktion stetig sein können, beispielsweise eine lineare jedoch nicht?
1. f(x_0) is defined, so that x_0 is in the domain of f.Da steht nirgends, dass die Domäne mit den reellen Zahlen identisch sein muss.
Genau so war auch meine Ueberlegung gewesen, aber wir durften das nie so verwenden, von daher gehe ich davon aus, dass da wohl doch irgendwo ein Haken ist.Mir ist kein Haken bekannt. Ich muss allerdings zugeben, dass ich den Monotonienachweis von Folgen auch noch nie über die Ableitung gemacht habe. Es ist einfach nicht üblich. Wenn jemand einen Grund dafür weiß, wüßte ich ihn gern.
crazy_budgie
22.11.2005, 23:45
Umgekehrt. Man ordnet jeder natürlichen Zahl einen reellen Wert zu. Eine solche Funktion kann durchaus stetig sein. Warum sollte eine konstante Funktion stetig sein können, beispielsweise eine lineare jedoch nicht?
Ok nehmen wir doch mal eine lineare reelle Funktion, Steigung 1, durch den Punkt (0;1). Dann fange ich mal so an, dass ich der 1 die 0 zuordne. So, was soll ich jetzt der 2 zuordnen?
Mir ist kein Haken bekannt. Ich muss allerdings zugeben, dass ich den Monotonienachweis von Folgen auch noch nie über die Ableitung gemacht habe. Es ist einfach nicht üblich. Wenn jemand einen Grund dafür weiß, wüßte ich ihn gern.
Ja, ich auch.
Rosentod
23.11.2005, 09:43
Ok nehmen wir doch mal eine lineare reelle Funktion, Steigung 1, durch den Punkt (0;1). Dann fange ich mal so an, dass ich der 1 die 0 zuordne. So, was soll ich jetzt der 2 zuordnen?Schlechtes Beispiel, da eine Funktion von N nach N. Nehmen wir lieber:
f(x)=0,5x+0,5;\ x\in\mathbb{N},\ y\in \mathbb{R}
\Rightarrow f(0)=0,5;\ f(1)=1;\ f(2)=1,5;\ ...
Btw: Hast du die gleichen Probleme mit rationalen oder komplexen Funktionen?
crazy_budgie
23.11.2005, 23:30
Schlechtes Beispiel, da eine Funktion von N nach N. Nehmen wir lieber:
f(x)=0,5x+0,5;\ x\in\mathbb{N},\ y\in \mathbb{R}
\Rightarrow f(0)=0,5;\ f(1)=1;\ f(2)=1,5;\ ...
Hallo eine Gerade kann ich ja wohl von R nach R definieren, ist sogar die weitverbreiteste Definition oder definierst Du Geraden immer von N nach N?
Und wo ist die Funktion die Du angegeben hast stetig, wenn man sie auf N einschraenkt? Oder reden wir gerade voellig aneinander vorbei??
Gruss, CB
Rosentod
24.11.2005, 10:53
Hallo eine Gerade kann ich ja wohl von R nach R definieren, ist sogar die weitverbreiteste Definition oder definierst Du Geraden immer von N nach N?Wir wollten aber doch N nach R betrachten, oder?
Und wo ist die Funktion die Du angegeben hast stetig, wenn man sie auf N einschraenkt?Na, wie ist denn die Definition von Stetigkeit?
crazy_budgie
24.11.2005, 20:03
Wir wollten aber doch N nach R betrachten, oder?
Wir wollten Funktionen von R nach R betrachten und die dann auf N einschraenken und dabei sollen die stetig bleiben, was Deine Funktion meiner Meinung nach nicht tut.
Gruss, CB
Rosentod
24.11.2005, 21:07
1. Wenn ich den Def.Bereich auf N einschränke (was mir ja freisteht), habe ich eine Funktion von N nach R.
2. Nach der Definition der Stetigkeit ist die von mir gepostete Funktion sehr wohl stetig. Es wird dir nicht gelingen, das Gegenteil zu beweisen.
crazy_budgie
28.11.2005, 11:45
1. Wenn ich den Def.Bereich auf N einschränke (was mir ja freisteht), habe ich eine Funktion von N nach R.
Klar geht das, hab in keinster Weise irgendetwas Gegenteiliges behauptet.
2. Nach der Definition der Stetigkeit ist die von mir gepostete Funktion sehr wohl stetig. Es wird dir nicht gelingen, das Gegenteil zu beweisen.
1. In dem von Dir geposteten Link sind zwei Definitionen fuer Stetigkeit angefuehrt, aber nach diesem Kommentar
1. f(x_0) is defined, so that x_0 is in the domain of f.
deinerseits gehe ich davon aus, dass Du die erste anwenden wolltest. Kennst Du die muendliche Formulierung dieser Stetigkeitsdefinition?
Urbilder offener Mengen von stetigen (komplexen) Funktionen sind offene Mengen.
Diese Definition stammt aus der komplexen Analysis und bezieht sich typischerweise auf Teilmengen der komplexen Ebene. Aber wenn Du es schon schaffst, zu beweisen, dass Funktionen auf natuerlichen Zahlen stetig sind, hast Du bestimmt auch kein Problem damit, zu zeigen, dass die natuerlichen Zahlen als Urbild Deiner Funktion eine offene Menge in der komplexen Ebene darstellen (geschweige dass die Zielmenge selbst auch schon eine offene Menge war).
2. Falls Du doch die Epsilon-Delta-Definition anwenden willst (die hier angebracht waere, da ich die natuerlichen Zahlen immer noch als Teilmenge von R (also insbesondere eindimensional auf dem Zahlenstrahl) betrachte und nicht als Teilmenge der komplexen Ebene:
Bestimme doch bitte ein Delta fuer epsilon = 0,1.
Ach, und uebrigens:
Btw: Hast du die gleichen Probleme mit rationalen oder komplexen Funktionen?
Fuer komplexe Funktionen: Stetigkeitsdefinition siehe oben.
Fuer rationale Funktionen: gleiches Thema wie natuerliche Zahlen, auch hier ist eine Stetigkeitsdiskussion voelliger Unsinn, das koennte schon daran liegen dass die rationalen Zahlen (ebenso wie die natuerlichen Zahlen) unvollstaendig sind!!
Gruss, CB
Rosentod
28.11.2005, 16:22
:surrender:
Rosentod
28.11.2005, 21:18
Können wir uns auf folgendes einigen?
Wenn eine reelle Funktion auf einem Intervall monoton steigend/fallend ist, bleibt sie auch bei Einschränkung des Definitionsbereiches auf diesem Intervall monoton steigend/fallend.
Und da Ableitungen ein Mittel zur Untersuchung der Monotonie von reellen Funktionen ist, ließe sich dieses Mittel auch auf Folgen anwenden, sofern diese ohne Probleme auch auf \mathbb{R} definierbar sind.
crazy_budgie
28.11.2005, 22:36
Wie schon gesagt, meiner Meinung nach sollte man das schon machen koennen, ich weiss nix was dagegenspricht, aber Analysis ist nicht so wirklich mein Ding und ein Komilitone, dem das deutlich besser liegt, hat damals gemeint das duerfte man nicht, da wuerde irgendwas schiefgehn (was wusste er leider auch nicht so genau), auf jeden Fall vertrau ich dem mehr als meiner Intuition...
Gruss, CB
Rosentod
28.11.2005, 22:40
(was wusste er leider auch nicht so genau), auf jeden Fall vertrau ich dem mehr als meiner Intuition...Mmh.
:thinking:
crazy_budgie
28.11.2005, 23:04
Mich wuerds auch ziemlich interessieren was da schiefgeht, das waere so eine schoene Loesungsstrategie sonst, wo ist der Haken? :watch:
Gruss, CB
DonCarlos
30.11.2005, 03:24
Soweit ich weiss ist Stetigkeit nur auf den reellen Zahlen definiert, weils bei allem anderen einfach keinen Sinn machen wuerde, die einzige Funktion, bei der ich mir vorstellen koennte dass sie auch auf den natuerlichen Zahlen als stetig angesehen werden kann, ist eine konstante Funktion. Aber wenn das so nicht stimmt lass ich mich da gern belehren.
Stetigkeit kann man auf jeder beliebigen Menge betrachten. Man muss sich vorher nur auf eine Topologie festlegen, d. h. man entscheidet vorher, welche Menge man als "offen" bezeichnen moechte. In diesem Sinne kann man die feinste Topologie auf IN betrachten, dann ist jede natuerliche Zahl offen. Sofern ist jede Funktion f: IN -> IN stetig. Dies ist wahrscheinlich nicht so spannend...
DonCarlos
30.11.2005, 03:34
..., aber der Differenzenquotient existiert nur fuer stetige Funktionen,...
Nur als kleine Anmerkung gedacht:
Nicht jede stetige Funktion ist auch differenzierbar. Erstaunlichlicherweise gibt es sogar Funktionen, die ueberall stetig sind, aber nirgends differenzierbar. Eine solche findet sich z. B. in Koenigsberger, Analysis, Band 1 (leider habe ich das Buch nicht zur Hand).
DonCarlos
30.11.2005, 04:24
Wie schon gesagt, meiner Meinung nach sollte man das schon machen koennen, ich weiss nix was dagegenspricht, aber Analysis ist nicht so wirklich mein Ding und ein Komilitone, dem das deutlich besser liegt, hat damals gemeint das duerfte man nicht, da wuerde irgendwas schiefgehn (was wusste er leider auch nicht so genau), auf jeden Fall vertrau ich dem mehr als meiner Intuition...
Gruss, CB
Eine (reellwertige) Folge ist nichts anderes als Funktion von IN nach IR. Die Idee diese Funktion von IN nach IR fortzusetzen und eine eventuelle Monotonie dann ueber eine moeglicherweise vorhandene Ableitung nachzuweisen, scheitert daran, dass die Fortsetzung nicht eindeutig ist.
Beispiel: Betrachte die konstante Folge a_n: IN -> IN
mit a_n =0 fuer alle n in IN. Durch diese Punkte koennte man die Funktion f: IR -> IR mit f(x) = 0 fuer alle x in IR legen. Die Restriktion von f auf IN ist dann a_n. f ist (auch ohne Ableitung) offenbar monoton.
Naja, jetzt koennte man sich die Funktion g: IR -> IR anschauen, die wie folgt definiert wird:
g(x) = sin(PI*x) fuer alle x in IR. Auch die Restriktion von g auf IN ergibt a_n. g ist aber in keinster Weise monoton auf IR.
Gute Nacht!
Rosentod
30.11.2005, 10:23
Beispiel: Betrachte die konstante Folge a_n: IN -> IN
mit a_n =0 fuer alle n in IN. Durch diese Punkte koennte man die Funktion f: IR -> IR mit f(x) = 0 fuer alle x in IR legen. Die Restriktion von f auf IN ist dann a_n. f ist (auch ohne Ableitung) offenbar monoton.
Naja, jetzt koennte man sich die Funktion g: IR -> IR anschauen, die wie folgt definiert wird:
g(x) = sin(PI*x) fuer alle x in IR. Auch die Restriktion von g auf IN ergibt a_n. g ist aber in keinster Weise monoton auf IR.
Gute Nacht!Soweit klar. Aber wenn es mir gelingt, eine monotone reelle Funktion zu finden, die durch alle Punkte der Folge geht, muss dann nicht auch die Folge monoton sein? In deinem Bsp.: Da sich die monotone Funktion f(x)=0 finden lässt, die durch alle Punkte der Folge a_n=0 geht, muss a_n auch monoton sein. Es ist dabei dann doch völlig belanglos, dass sich auch nichtmonotone Funktionen finden lassen, die durch alle Punkte gehen, solange man nur mindestens eine monotone Funktion finden kann.
D.h.: Diese Methode ließe sich verwenden, um Monotonie zu beweisen, nicht jedoch, um Nichtmonotonie zu beweisen.
crazy_budgie
30.11.2005, 15:38
Soweit klar. Aber wenn es mir gelingt, eine monotone reelle Funktion zu finden, die durch alle Punkte der Folge geht, muss dann nicht auch die Folge monoton sein? In deinem Bsp.: Da sich die monotone Funktion f(x)=0 finden lässt, die durch alle Punkte der Folge a_n=0 geht, muss a_n auch monoton sein. Es ist dabei dann doch völlig belanglos, dass sich auch nichtmonotone Funktionen finden lassen, die durch alle Punkte gehen, solange man nur mindestens eine monotone Funktion finden kann.
D.h.: Diese Methode ließe sich verwenden, um Monotonie zu beweisen, nicht jedoch, um Nichtmonotonie zu beweisen.
So in der Art haette ich auch argumentiert...
Wir wollen ja von R nach N und nicht umgekehrt, und diese Richtung muesste doch eigentlich eindeutig sein.
Gruss, CB
DonCarlos
30.11.2005, 16:10
So in der Art haette ich auch argumentiert...
Wir wollen ja von R nach N und nicht umgekehrt, und diese Richtung muesste doch eigentlich eindeutig sein.