Beweis des 1. Grenzwertsatzes

[AvP]

Für den Grenzwert einer Summenfolge cn=an+bn gilt lim(cn))=lim(an+bn)=a+b. Dieser Satz soll bewiesen werden.

Klar ist mir noch, dass |(an+bn)-(a+b)|<epsilon sein muss. Wie führe ich den Beweis jetzt weiter?

[Rosentod]

Ein Tipp: Sowas steht in Mathebüchern.

|(an+bn)-(a+b)|<=|an-a|+|bn-b|
<epsilon/2+epsilon/2=epsilon für n>=max{N1(epsilon/2), N2(epsilon/2)}

<= "kleiner gleich"
>= "größer gleich"

[AvP]

Ich hatte auch gehofft, dass ich es in einem Mathebuch finden würde. Leider wurde ich in zwei seperaten Werken nicht fündig. Da wir den Satz auch im Unterricht nie bewiesen haben, wollte ich die Beweisidee trotzdem für die Klausur nächsten Donnerstag kennen.

Ich habe zur unteren Zeile ein Verständnisproblem. Wie kommt epsilon/2+epsilon/2 zu Stande? Wie ist n>=max{N1(epsilon/2), N2(epsilon/2)} gemeint?

[nobody]

es ist halt so, dass du erst mal zeigen musst, dass an und bn konvergent sind.

def.: für alle epsilon > 0 existiert ein n0 element der menge N : |an - g| < epsilon für alle n >= n0

daraus folgt dann folgendes:

|an - a| < epsilon
|bn - b| < epsilon

wenn du jetzt die beiden einzelglieder zusammensetzt bekommst du folgendes:

|(an - a) + (bn - b)| = |an - a| + |bn - b| < epsilon + epsilon = 2*epsilon

damit haben fast alle summenfolgen-glieder einen kleineren abstand als ein beliebig kleines vorgegebenes epsilon.


EDIT:
Ich habe zur unteren Zeile ein Verständnisproblem. Wie kommt epsilon/2+epsilon/2 zu Stande?
da epsilon eine beliebig kleine positive zahl ist, hat rosentod hier einfach mal epsilon/2 genommen. ist ja bei einer kleine positiven zahl hier egal, ob du nun epsilon selbst oder die hälfte davon nimmst... :) ich glaub er hats gemacht, dass der grenzwert von cn mit epsilon verglichen wird. und nicht mit 2*epsilon, wie ich das gemacht hab. ist ja auch fast egal.

[AvP]

Der Beweis für Differenzenfolgen sollte dann ja eigentlich analog zu errechnen sein. Wie aber sieht es bei Produkt- bzw. Quotientenfolgen aus?

[Langfingerli]

Ist nicht mehr ganz so einfach, läuft über die algebraische Identität. Einfach geschickt ein paar Terme hinzufügen und wieder mit Dreiecksungleichung abschätzen.

ad Epsilon/2:
Konvergenz wird im allgemeinen für c*Epsilon bewiesen, wobei c>0.
Die Epsilon/2 nimmt man nur aus ästhetischen Gründen, damit am Ende <2*Epsilon/2=Epsilon dasteht.
Die Abschätzung die Rosentod gemacht hat, ist die Dreiecksungleichung, das beliebteste Mittel der Analysis.

[nobody]

Die Abschätzung die Rosentod gemacht hat, ist die Dreiecksungleichung, das beliebteste Mittel der Analysis.
wieso ist das eigentlich eine abschätzung? ich find das total logisch, so, wie rosentod und ich das gemacht haben. man geht halt von der allgemeinen definition aus und rechnet damit ein bisschen rum. und ich wüsste nicht, was ich da geschätzt hätte.

[Langfingerli]

Weil diese Aussage:
|(an - a) + (bn - b)| = |an - a| + |bn - b|
nicht stimmt!
Nur mal als Bsp:
|(3-5)+(5-4)|=1, |3-5|+|5-4|=3
Das ist sehr wohl eine Abschätzung! Und zwar oben genannte Dreiecksungleichung.
Gruß
Lf