als mir in der schule heute mal wieder langweilig war, ist mir was interessantes aufgefallen... ich habe auch schon eine erklärung, hätte aber gerne einen richtig mathematischen beweis... kann mir da vielleicht jemand weiterhelfen...
was mir aufgefallen ist.. :
jede zahl mit der quersumme 7 addiert mit einer beliebigen zahl mit der quersumme 11 gibt ein ergebnis was durch 9 teilbar ist... das zu erklären war nicht schwer, denn wenn man jeweils die ersten zahlen mit der quersumme betrachtet (7 und 29) gibt das 36, was ja durch 9 teilbar ist. sowohl bei 7 als auch bei 11 sind die jeweils nächsten zahlen immer um 9 höher als die vorigen (zB 16 und 38, macht 54...), später gibt es dann in den 9er reihen lücken, aber immer um eine durch 9-teilbare zahl..., also sind alle weiter ergebnisse einer solchen addition, auch durch 9 teilbar...
und dazu hätte ich gerne nen beweis... also falls jemand ne ahnung hat ?!
ich hoffe, mein gelaber ist halbwegs verständlich.. ;)
bin für jede idee dankbar...
doppelelch
04.02.2002, 17:59
Ja, war schon verständlich.
Nette Aussage.
Ich will versuchen, das in eine übliche Form zu bringen:
Voraussetzungen:
Gegeben seien zwei natürliche Zahlen N1 und N2, mit
Nehmen wir nun zunächst an es gelte für alle i mit 0 < = i < = n
xi+yi < 10.
Dann gibt es in diesen Einzelsummanden keine Überträge, die Einfluss auf die Quersumme von (N1+N2) hätten.
Dessen Quersumme beträgt dann 7+11=18.
Da die Quersumme (=18) der Zahl durch 9 teilbar ist, ist die Zahl selbst auch durch 9 teilbar (Dies ist ein Satz aus dem Schuljahrgang 6, der aber bei Bedarf auch relativ leicht hergeleitet werden könnte).
Was ist nun, für den Fall, dass es i gibt mit
xi+yi > = 10.
Dann verändert sich die Quersumme aufgrund von Überträgen.
Aber, schauen wir da genauer hin:
Im Falle eines Übertrages verringert sich die Quersumme insgesamt um 10 und erhöht sich um 1 (das ist die "1" von der hinzukommenden nächsten 10er-Potenz) , verringert sich insgesamt also um 9.
Damit bleibt die Teilbarkeit der Quersumme durch 9 insgesamt von Überträgen unbeeinflusst.
Und damit bleibt die Teilbarkeit der Zahl selbst durch 9 unbeeinflusst.
q.e.d
Gruß
de
P.S.: Viel Spaß beim Nachvollziehen :D
nobody
04.02.2002, 18:19
erstmal danke :)
das hat man davon wenn man sich in der schule wieder mit was anderem beschäftigt... aber sah echt interessant aus, und dann son beweis ;) aber ist doch sagen wir relativ verständlich für mich...trotzdem ne schöne sache :) also dankeschön
p.s: aber doch, ich hab ne frage... was ist i ? ich hoffe die frage war nicht zu blöd ;)
Tomboy
04.02.2002, 18:49
i wie irgendeine ganze Zahl. Sieh's als eine Art Hilfsvariable an... (OK, kann nun wieder sein, dass ich was erzähle, was überhaupt nicht stimmt, aber wenn ich einigermaßen in der Schule aufgepasst habe, dann wird i meistens in einem ähnlichen Sinne verwendet)
nobody
04.02.2002, 18:53
eine frage noch... warum n < m ?
Tomboy
04.02.2002, 18:57
In dem Zusammenhang wüsste ich auch gerne, was O.B.d.A. heißen soll.... :silly:
nobody
04.02.2002, 19:00
guuute frage ;)
vielleicht was mit O. Beweis der Annahme ?
kein plan... immer dieses fach-chninesisch...
(sobald ich weiß was es heißt, werde ich es selbst verwenden ;) )
Tomboy
04.02.2002, 19:05
So schaut's aus... :D :D :D
Lim_Dul
04.02.2002, 19:34
O.B.d.A. steht für Ohne Beschränkung der Allgemeinheit.
Die Aussage ist einfach, das die Zahl mit der Quersumme 7 kürzer ist, als die mit der Quersumme 11. Anderesrum, läuft der Beweis genauso ab, es ergibt sich quasi kein Unterschied.
Man benutzt sowas (O.B.d.A.) gerne um irgendwelche Fallunterscheidungen zu vermeiden, obwohl der Beweis entweder für beide Fälle genauso ist oder man einfach den einen Fall in den anderen überführen kann.
z.b. ist dies der Fall, wenn man etwas über die Summe 2er Zahlen aussagen will. Dann kann man Ohne beschränkung der Allgemeinheit annehmen, das die erste Zahl grösser ist, als die zweite, sonst könnte man einfach die Zahlen umdrehen. Sowas verhindert dann z.b. bei Umformungen lästigen Unterscheidungen, wenn man dann z.b. Differenzen betrachtet. (<0, >0 etc.)
doppelelch
04.02.2002, 19:42
Bitte!
Zu Deinen/Euren Fragen:
O.B.d.A = "Ohne Bedenken des Autors" LOL
Nein, warn Spaß.
O.B.d.A: heißt "Ohne Beschränkung der Allgemeinheit", da es grundsätzlich wurscht für den nachfolgenden Gedankengang ist, ob n < m, n > m oder n=m. Die Grundüberlegungen sind für alle Fälle gleich (Sie wären dann nur jeweils entsprechend zu modifizieren), weshalb man sich bedenkenlos auf einen der Fälle beschränken kann. (Naja, m=n, sollte man als Spezialfall vielleicht nicht gerade auswählen, wäre aber auch möglich).
(Es gibt übrigens sogar ein Mathebuch mit diesem Titel "O.B.d.A." *g. Da geht es, soweit ich gehört habe, in locker geschriebener Art, um einige Prinzipien mathematischer Beweisführung)
Und Tb hatte Recht mit seiner Bemerkung, bezüglich des i´s (Schreibt man eigentlich ohne " ´ ", ich weiß. Hätte aber sonst zu Missverständnissen geführt) - Eine Einschränkung aber: i ist nicht unbedingt eine ganze Zahl. "Natürlich" reicht hier aus!
Das mit dem i sollte heißen: Egal welche Zahl zwischen 0 und n Du für das i einsetzt, es soll immer die genannte Bedingung gelten. Das erspart einem das lästige Aufzählen all dieser Fälle.
(Die Frage war überhaupt nicht blöd).
Gruß
de
P.S.: Entschuldigt bitte das Fachchinesisch, aber diablo hatte nach einem Beweis gefragt und da dachte ich, ich kann da ja ruhig mal vom Leder ziehen ;) , schaden kanns ja nicht.
Tomboy
04.02.2002, 19:43
Aber stimmt das dann auch?
Denn es gibt ja schließlich auch Zahlen mit Quersumme 7, die länger sind als andere Zahlen mit Quersumme 11 (z.B. ist ja 151 länger als 29).
doppelelch
04.02.2002, 19:46
Ich sage nur:
O.B.d.A. , tb.
:D
Gruß
de
Lim_Dul
04.02.2002, 19:51
Originalnachricht erstellt von Tomboy
Aber stimmt das dann auch?
Denn es gibt ja schließlich auch Zahlen mit Quersumme 7, die länger sind als andere Zahlen mit Quersumme 11 (z.B. ist ja 151 länger als 29).
Denk dir einfach einfach genug Nullen vor die Zahl, bis sie wieder länger ist. Ändert nix an der Zahl und der Quersumme und man hat die Vorraussetzungen erfüllt.
Im Prinzip sagt O.B.d.A. auch genau das aus, die anderen Fälle die man nicht betrachtet sind genau nach dem gleichen Schema durchzurechnen und es ergeben sich keine Änderungen.
Tomboy
04.02.2002, 19:52
:hmpf: du meinst man kann n und m einfach vertauschen? aber dann doch zumindest n<=m, oder?
Tomboy
04.02.2002, 19:55
huups, Lim war vor mir...
OK, dann eben so wie Lim, aber trotzdem n <= m, oder nicht?
Lim_Dul
04.02.2002, 19:59
Schau dir den Beweis an, versuch ihn nachzuvollziehen, überleg was sich ändert wenn man n=m oder m<n macht und du wirst feststellen, nichts :)
Tomboy
04.02.2002, 20:04
:silly: OK, ich geb auf.....
Lim_Dul
04.02.2002, 20:16
*g* Ich kenn da noch ein Zitat aus einem Mathebuch, das hier passen würde:
Der einfache Beweis wird dem geneigten Leser zur Übung überlassen. ;)
Tomboy
04.02.2002, 20:19
Dazu kann ich nur sagen :p
:D
doppelelch
04.02.2002, 20:51
Nettes Schlusswort, Lim - LOL
Es gibt da eine Anekdote von einem englischen Mathematiker (an dessen Namen ich mich leider nicht mehr erinnern kann, aber er tut hier wirklich nichts zur Sache!).
Demnach soll er seine Vorlesung heruntergeschnurrt haben, immer wieder durchsetzt von der Floskel "...that´s trivial...", um dann jeweils gleich weiterzumachen. Nach einem dieser "that´s trivial"s hielt er plötzlich inne, begann kurz zu grübeln, machte ein Schritt weg von der Tafel, schaute sich noch einmal das Geschriebene an...dachte wieder nach...verschwand in einem Hinterkämmerchen. Es dauert und dauert, bis er schließlich zurückkommt, mit einem zufriedenen Lächeln auf dem Gesicht, und meint: "That´s trivial" um dann sogleich weiterzumachen.
Auch nett ist die Floskel: "Wie sich leicht zeigen lässt!" - g*
Naja...nach wie vor: Viel Spaß mit dem Beweis.
de
Lim_Dul
04.02.2002, 20:56
So einen Professor hatte ich auch im ersten Semester in Linearer Algebra I, trival war ein sehr beliebtes Wort. Gut meistens war wirklich simpel, WENN man mal hinter das Prinzipg gestiegen war. Andererseits muss ich momentan in Stochastik öfters ganz schön schlucken, wenn der Professor da an der Tafel was vorrechnet bei einem Beweis und und von simplenen Umformungen redet. Meistens kann ich folgen, aber ab und an bin ich auch schonmal gewaltig ins Schleudern geraten. Vor allen dingen finde ich die Ansätze immer interessant. Wir wollen einen Integral nach x integrieren und was machen wir dazu, wir leiten es erstmal nach t ab ;)
doppelelch
04.02.2002, 21:03
Klar! - LOL
(Na Du scheinst ja auch viel Spaß mit der Mathematik zu haben. :D )
Oh, ich habe gerade gesehen, ich habe vergessen in den Voraussetzungen noch etwas zu erwähnen. (War aber stillschweigend wohl ohnehin jedem klar!) Kann es jetzt aber dummerweise nicht mehr einfügen.
Nämlich
x0,x1,...,xn,y0,...ym sind alle aus der Menge {0,1,...9}