Hallo zusammen,
ich habe hier zwei merkwürdige "Beweise", aus denen ich nicht richtig schlau werde. Ich hoffe, jemand kann mir sagen, wo der Haken bei den vorgenommenen Umformungen liegt, denn das, was "bewiesen" wird, ist schon sehr eigenartig. Seht selbst :
Man nehme die imaginäre Einheit zum Quadrat : i2=-1
ist gleich <font class="serif">√(-1)*(-1)</font> = -1 , da i ja die Wurzel aus -1 ist.
Nun ist (-1)*(-1) ja gleich 1, daraus folgt :
<font class="serif">√1</font> = -1
==> 1 = -1 hä
Zum zweiten "Beweis" :
Wir starten mit folgender Gleichung :
exp(i*2*<font class="serif">π</font>) = 1 (1)
Auf beiden Seiten mit e multiplizieren :
exp(i*2*<font class="serif">π</font>+1) = e (2)
Da exp(i*2*<font class="serif">π</font>) gleich 1 ist, bekommt man durch Umformen :
exp(-4*<font class="serif">π</font>2 ) = 1
natürl. Logarithmus ziehen :
-4*<font class="serif">π</font>2 = 0
Dumm gelaufen , oder was ? Ich hab keine Ahnung, wo der Denkfehler liegt, aber es muß wohl irgendwas mit der Vieldeutigkeit bzw. Periodizität der komplexen Zahlen zu tun haben.
P.S. Wie kriegt man den Strich bei der Wurzel eigentlich richtig hin (s.o.) ?
ork
02.02.2002, 08:45
Zu "Beweis" Eins:
An der Stelle
v(-1)*(-1) = -1
arbeitest Du nur mit der positiven Wurzel weiter,
anstatt mit +/- Wurzel.
doppelelch
02.02.2002, 16:22
Eben!
Ich denke auch, die Crux (in beiden Fällen!) ist, dass das Potenzieren nicht immer eine (und speziell das Quadrieren KEINE) Äquvalenzumformung darstellt. Du veränderst damit die Lösungsmenge von Gleichungen.
Bsp.:
x=2
daraus folgt x2=4
daraus folgt x= +/- 2
Ich denke, die Ergebnisse der von Dir genannten Umformungen basieren auf einer ähnlichen problematischen Erweiterung der Lösungsmenge.
(i2 und (...)2*Pi*i)
Ähm...zu Deiner zweiten Umformung fällt mir gerade noch etwas auf! Ich habe bisher keine Definition finden können, die beschreibt, was unter einer komplexen Potenz zu verstehen ist. Klar, das mit
ei*Winkel
ist mir auch bekannt, aber Du machst da ja noch mehr!! a hoch c, wobei c eine komplexe Zahl ist, könnte womöglich definitorische Probleme aufwerfen. Der "Bronstein" - die "Bibel" unter den Formelsammlungen - meldet schon Schwierigkeiten bei irrationalen Exponenten an! (Er schreibt, die Potenz sei in diesem Fall "unendlich vieldeutig"!)
Gruß
de
P.S.: Aber vielleicht kommen ja auch noch andere Vorschläge.
doppelelch
02.02.2002, 23:05
Ähem...das war jetzt vielleicht doch noch nicht ganz deutlich! Ich meinte die definitorischen Schwierigkeiten für den Fall, dass sowohl die Basis a als auch der Exponent c komplex sind. (a reell und c komplex bereiten kein Problem, das ist klar!)
Gruß
de
Syntaxerror
07.02.2002, 21:52
Danke nochmal für eure Hinweise. Mir ist inzwischen einiges klarer geworden. Beim ersten Fall kann man auch einfach sagen, daß die Multiplikation von komplexen Zahlen (in diesem Fall i mit i) so nicht definiert ist, sondern nach einer bestimmten Formel funktioniert.
ork
08.02.2002, 07:52
Und ist Dir zum zweiten Fall auch irgendwas
eingefallen?
Syntaxerror
08.02.2002, 14:12
Wie doppelelch oben schon sagte : Das mit dem Potenzieren mit einer komplexen Zahl ist so wohl nicht eindeutig. Wie das mit der Mehrdeutigkeit da aber genau aussieht, weiß ich auch nicht.
doppelelch
09.02.2002, 20:07
Na da haben wir ja was gemeinsam - LOL
upsidedown
18.03.2002, 14:30
Also denn, auf besonderen Wunsch :)
(1) (kann man leicht beweisen, weswegen ich es mir hier auch erspare)
-----------
Es gilt ea1 + i b1 =ea2 + i b2 genau dann, wenn a1=a2 und b2 = b1 + 2k Pi mit k Element Z
-----------
(2)
Desweiteren ist exp:C -> C\{0} surjektiv, wegen (1) aber nicht injektiv.
Hier wird jetzt die Strenge des Funktionenbegriffes fallengelassen und für exp:C->C\{0} eine Umkehrfunktion zugelassen, der sog. komplexe Logarithmus.
Er hat die Form, falls z=r ei phi ist:
<font class="serif">Ξ</font>z = {ln(r) + i (phi + 2k Pi): k Elem. Z}
log(z)=ln(r) + i (phi + 2k Pi) für k aus Z beliebig aber fest heisst ein Logarithmus von z. Das ganze führt dann im Rahmen der komplexen Analysis/Funktionentheorie zu den sog. Riemannschen Flächen. (Aber da verlasse ich jetzt auch mir vertrautes Gebiet)
Nochmal schön als Gleichung zusammengefasst:
Es gilt
r ei phi = ez
genau dann, wenn z Element <font class="serif">Ξ</font>z
-----------------------------------------------------------
Im folgenden wird unterschieden zwischen:
exp(a + i b) = exp(a) (cos(b) + i sin(b)) -> EINDEUTIG!
e(a + i b) = exp(a - b 2k Pi) ( cos (a 2k Pi + b) + i sin( (a 2k Pi + b))) -> i.allg. mehrdeutig
-----------------------------------------------------------
Was hat das konkret mit den Potenzen zu tun? Es gilt:
(a1 + i b1)a2 + i b2 = exp((a2 + i b2) z)
wobei z ein beliebiger log(a1 + i b1) ist. Da log() unendlich vieldeutig ist, gibt es im allgemeinen auch mehr als einen Wert für (a1 + i b1)a2 + i b2
Und wenn man soweit gekommen ist fängt man an seitenweise Spezialfälle wie z.B. die Wurzeln aus komplexen Zahlen und all son Krams zu diskutieren.
Der Quell dieser meiner Weisheit ist übrigens ein sehr gutes Buch das ich de auch mal sehr ans Herz legen möchte:
R.Liedl/K.Kuhnert
Analysis in einer Variablen
Eine Einführung für in praxisorientiertes Studium
Kann man hervorragend wahlweise mathematische Probleme oder den Aufgabensteller mit erschlagen :p
Noch ein kurzes Zitat aus dem Klappentext:
"Die Behandlung verschiedener Standpunkte zu einem Thema entspricht den Bedürfnissen des Lehrers" :D
Gruß,
UpsideDown
doppelelch
19.03.2002, 12:28
@upside
Ein/zwei Fragen hätte ich ja schon noch, jetzt wo ich nochmal Muße hatte hier in Ruhe reinzuschauen!
Wenn ich das jetzt richtig verstanden haben wird ein neuartiger Logarithmus DEFINIERT (Ich nenne ihn einfach - wie im anderen thread nicht ganz ernst gemeint vorgeschlagen - loc statt log)
(Es sollte nach dessen Definition auch keinen Sinn ihm eine Basis verpassen zu wollen, wie im Falle der reellen Logarithmen - klaro! Deshalb kann man natürlich auch einfach log schreiben. Das wird aber, wie ich finde, etwas unübersichtlich).
Es geht mir nun um die folgende Behauptung:
Originalnachricht erstellt von upsidedown
Es gilt:
(a1 + i b1)a2 + i b2 = exp((a2 + i b2) z)
Dies muss meinem Empfinden nach auf zwei Dingen basieren:
1.
f1(z)=ez und
f2(z)=loc(z)
müssen Umkehrfunktionen sein.
(Der Beweis hapert an der eigens definierten Vieldeutigkeit. Aber Du hast ja schon gesagt, dass die Strenge des Funktionenbegriffs fallengelassen wird, dass das mit der fehlenden Bijektivität offensichtlich nicht so eng gesehen wird ?)
Aber wie rechtfertigt sich dann die Umformung
z=eloc(z) ?
(Und bestimmt möchte man ja außerdem auch gerne, dass auch z=loc(ez) gilt).
2.
Es müsste gelten loc(ab)=b*loc(a) (für alle komplexen Zahlen a und b).
Auch dieser Beweisversuch scheitert (zumindest bei mir) an der netten kleinen Vieldeutigkeit.
Das ist doppelt ärgerlich, da damit zum einen o.g. Umformung noch zweifelhafter wird, zum anderen DIE Logarithmeneigenschaft schlechthin ins Wanken gerät. (Mit welcher Berechtigung wird dann noch von einem "Logarithmus" gesprochen)?
Alles ziemlich plöt, wie ich finde.
Hoffe auf Rettungsversuche Deinerseits.
Gruß
ein in Schweiß gebadeter de :p
upsidedown
19.03.2002, 14:27
An die Mehrdeutigkeit hast du dich wohl noch nicht so ganz gewöhnt.
1. log(z) ist jeweils nur ein bestimmter Logarithmus und darf in keiner Weise mir der Menge <font class="serif">Ξ</font>z verwechselt werden.
2.
Originalnachricht erstellt von upsidedown
-----------------------------------------------------------
Im folgenden wird unterschieden zwischen:
exp(a + i b) = exp(a) (cos(b) + i sin(b)) -> EINDEUTIG!
e(a + i b) = exp(a - b 2k Pi) ( cos (a 2k Pi + b) + i sin( (a 2k Pi + b))) -> i.allg. mehrdeutig
-----------------------------------------------------------
ist nicht ohne Sinn eingeführt worden! Es macht das ganze überhaupt erst handhabbar.
Deine obige Aussage
Dies muss meinem Empfinden nach auf zwei Dingen basieren:
f1(z)=ez und
f2(z)=loc(z)
Ist somit falsch.
Übrigens:
Aber Du hast ja schon gesagt, dass die Strenge des Funktionenbegriffs fallengelassen wird, dass das mit der fehlenden Bijektivität offensichtlich nicht so eng gesehen wird ?
Das du dich da unwohl fühlst liegt wahrscheinlich daran, dass man an dieser Stelle forschen Schrittes in Richtung Funktionentheorie schreitet - ohne mich!
Und was deine verzweifelten Rufe nach der Berechtigung das ganze noch Logarithmus zu nennen - die Antwort steckt hier drin:
Es gilt
r ei phi = ez
genau dann, wenn z Element ?z
Lass es dir einfach noch mal auf der Zunge zergehen und versuch nicht immer vom Spezialfall des reellen ln (der das einzige relle log(z) für z elem. R ist!!) auf den allgemeineren Fall zu übertragen... Ich weiss, die Verlockung ist gross, aber :nono:
Gruß,
UpsideDown
nobody
19.03.2002, 17:36
@upsidedown
Das du dich da unwohl fühlst liegt wahrscheinlich daran, dass man an dieser Stelle forschen Schrittes in Richtung Funktionentheorie schreitet - ohne mich!
wieso hast du davor so viel "Respekt"
Gruß
Dreshmore
upsidedown
19.03.2002, 17:43
Es ist ja nicht so das ich 'viel Respekt' hätte :rolleyes:, aber da gehts mir dann doch in eine Richtung in der ich mich nahezu nicht auskenne und auch nicht erkennen kann inwiefern da Aufwand in dieser Richtung für mich lohnend sein könnte. Wenn ichs wirklich mal brauchen sollte werd ichs halt lernen - aber nicht früher.
Du weisst ja - man will kann zwar alles lernen, aber das heisst noch lange nicht, das man auch alles lernen kann :D
Gruß,
UpsideDown
doppelelch
19.03.2002, 21:04
Originalnachricht erstellt von upsidedown
...dass man an dieser Stelle forschen Schrittes in Richtung Funktionentheorie schreitet - ohne mich!
Nachdem ich nun einige Bücher zur komplexen Analysis angefangen habe durchzublättern, werde ich mich der obenstehenden Aussage anschließen.